ピタゴラスの三つ組

ピタゴラス数とは $、a²$ $+$ $b²$ $=$ $c²$ $を$ $満たす$ 3つの正の整数 $a$ 、 $b$ 、 $cからなる$ $数$ です。このような数は一般的に $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ と表記され、よく知られた例としては $(3、4、5)$ があります。 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $)$ がピタゴラス数であれば、任意の正の整数 $kに対して$ $($ $ka$ $、$ $kb$ $、$ $kc$ $)$ もピタゴラス数となります。辺の長さがピタゴラス数である三角形は直角三角形であり、ピタゴラス三角形と呼ばれます。

原始ピタゴラス数とは、 $a$ 、 $b$ 、 $cが$ 互いに素である（つまり、1 より大きい共通の約数を持たない）数です。 ^{[ 1 ]}例えば、 $(3, 4, 5)$ は原始ピタゴラス数ですが、 $(6, 8, 10)はそうではありません。すべてのピタゴラス数は、$ $(a 、 b 、 c)$ をそれらの最大公約数で割ることによって、一意の原始ピタゴラス数にスケーリングできます。逆に、すべてのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の要素に正の整数 (3 つの要素すべてに同じ) を掛けることによって得られます。

その名前はピタゴラスの定理に由来しており、すべての直角三角形の辺の長さは次の式を満たすと述べている。 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ したがって、ピタゴラス数は直角三角形の3つの整数辺の長さを表します。ただし、辺の長さが整数でない直角三角形はピタゴラス数を形成しません。たとえば、辺の長さがの三角形は $a=b=1$ そして $c={\sqrt {2}}$ 直角三角形ですが、 $(1,1,{\sqrt {2}})$ はピタゴラス数ではありません。なぜなら、2の平方根は整数ではないからです。さらに、 $1$ そして $\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 整数倍を持たない理由は $\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 非合理的である。

ピタゴラス数は古代から知られています。最も古い記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリムプトン322で、六十進法で書かれています。^{[ 2 ]}

整数解を求める場合、方程式 $a² + b² = c² は$ ディオファントス方程式です。したがって、ピタゴラス数は $、$ 非線形ディオファントス方程式の最も古くから知られている解 $の$ 一つです。

例

100までの数の原始的なピタゴラスの三つ組は16個あります。

(6, 8, 10) のような他の小さなピタゴラス数 3 は原始的ではないためリストには含まれていません。たとえば、(6, 8, 10) は (3, 4, 5) の倍数です。

これらの各点（およびその倍数）は、右側の散布図において放射状に伸びる線を形成します。

以下は、300までのピタゴラス数の残りの三つ組です。

トリプルを生成する

原始ピタゴラス数（グラフ上で三角形として表される） — 原始ピタゴラス三つ組。奇数番目の辺 $a$ は横軸に、偶数番目の辺 $b は縦軸にプロットされます。曲線グリッドは、ユークリッドの公式で定数$ $m - n$ と定数 $m + n$ の曲線で構成されています。

ユークリッドの公式^{[ 3 ]} $は、 m$ $>$ $n$ $> 0$ を満たす任意の整数のペア $m$ と $n$ が与えられたときにピタゴラス数を生成するための基本公式です。この公式は、整数が

$a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}$

ピタゴラス数を形成する。例えば、整数

$m=2,\ \,n=1$

原始的な3つ組(3, 4, 5)を生成する。

$a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.$

ユークリッドの公式によって生成される三つ組は、 $m$ と $nが$ 互いに素であり、かつそのうちのちょうど一方が偶数である場合に限り、原始的である。mと $nが$ 両方とも奇数の場合、 $a$ 、 $b$ 、 $cは$ 偶数となり、三つ組は原始的ではない。しかし、mとnが両方とも奇数で互いに素である場合、a、b、cを2で割る $と$ $、$ $依然として$ $原始$ 的 $な$ 三つ組 $が$ 得られる。^[⁴^]

$すべての原始ピタゴラス数は、（aが$ 偶数の場合、 $a$ と $b$ を入れ替えた後）互いに素な数のペア $m$ と $n$ から生じ、そのうちの1つは偶数である。したがって、原始ピタゴラス数は無限に存在する。ユークリッドの公式によるa、b、cとm、nの関係は、この $記事$ の $残り$ $の$ 部分 $で$ 参照 $さ$ れる。

ユークリッドの公式はすべての原始三つ組を生成するものの、すべての三つ組を生成するわけではありません。例えば、(9, 12, 15) は整数 $m$ と $n$ を使用して生成することはできません。これは、公式にパラメータ $k$ を追加することで解決できます。すべてのピタゴラス三つ組は、次のように一意に生成されます。

$a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})$

ここで、 $m$ 、 $n$ 、 $k$ は正の整数であり、 $m > n$ であり、 $m$ と $nは$ 互いに素であり、両方とも奇数ではない。

これらの式がピタゴラス数を生成することは、初等代数を用いて $a 2 + b 2$ を展開し、結果が $c$ $2$ と等しいことを確認することで検証できます。すべてのピタゴラス数は整数 $kで割って原始数を得ることができるため、$ $m$ と $n$ を用いた式で原始数を作成し、最後の式のように $k$ を掛けることで、すべてのピタゴラス数を一意に生成できます。

$特定の整数列からm$ と $nを$ 選ぶと、興味深い結果が得られます。たとえば、 $m$ と $nが$ 連続するペル数である場合、 $a$ と $bは$ 1だけ異なります。^{[ 5 ]}

ユークリッドの時代以来、特定の性質を持つ三つ組を生成するための多くの公式が開発されてきた。

ユークリッドの公式の証明

a、b、cがユークリッドの公式を満たせば三角形がピタゴラス三角形になるのに十分であることは、正の整数 $m$ と $n$ ( $m > n)$ に対して、公式で与えられる $a$ 、 $b$ 、 $c$ はすべて正の整数であること、そして

$a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.$

任意の原始ピタゴラス数に対してa、b、c がユークリッドの公式で表される必要があることの証明は次のとおりです。 ^[⁶^] $すべてのこのような原始ピタゴラス数は($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ と書くことができ、 $ここで a2$ + $b2$ $=$ $c2$ $で$ $あり$ $、$ $a$ 、 $b$ 、 $c$ は $互いに素$ です。したがって、 $a$ 、 $b$ 、 $cは$ ペアごとに互いに素です(素数が 2 つを割り切る場合、3 番目も割り切る必要があります)。a と b は互いに素なので $、$ $少なくとも$ 1つは奇数です。aが奇数であると仮定すると、 $b$ は偶数で $c$ $は$ 奇数になります ( $a$ と $b の$ 両方が奇数の場合、 $c は$ 偶数になり、 $c2$ $は$ 4 の倍数になりますが、奇数の平方数は 1 を法として 4 に合同であるため $、a2$ + $b2$ $は$ $2$ $を$ 法として 4 に合同になります)。

から $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ $a$ が奇数であると仮定します。 $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ そしてそれゆえに $(ca)(c+a)=b^{2}.$ それから ${\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(ca)}}.$ 以来 ${\tfrac {(c+a)}{b}}$ は有理数なので、それをに等しく設定します。 ${\tfrac {m}{n}}$ 最小単位で。したがって ${\tfrac {(ca)}{b}}={\tfrac {n}{m}},$ 逆数 ${\tfrac {(c+a)}{b}}.$ そして解決する

${\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}$

のために ${\tfrac {c}{b}}$ そして ${\tfrac {a}{b}}$ 与える

${\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.$

として ${\tfrac {m}{n}}$ は完全に既約であり、 $m$ と $n$ は互いに素であり、両方とも偶数になることはありません。両方とも奇数の場合、分子は ${\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}$ は 4 の倍数になります (奇数の平方数は 4 を法として 1 と合同であるため)。分母 2 mnは 4 の倍数ではありません。分子の最小の偶数因数は 4 であり、分母の最大の偶数因数は 2 であるため、 $aは奇数と定義されていても偶数になります。したがって、$ $m$ と $n$ の一方は奇数で、もう一方は偶数であり、分母 2 mnの 2 つの分数の分子は奇数です。したがって、これらの分数は完全に約分されています (この分母を割り切る奇素数は、 $m$ と $nの一方を割り切りますが、もう一方は割り切りません。したがって、$ $m 2 \pm n 2$ を割り切ることはありません)。このように、分子と分子、分母と分母を等しくすることができ、ユークリッドの公式が得られます。 $a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}$ $m$ と $nは$ 互いに素であり、偶奇性が異なる。

より長く一般的な証明は、Maor (2007) ^{[ 7 ]}および Sierpiński (2003) ^{[ 8 ]}で示されています。別の証明は、次数 2 のすべての同次ディオファントス方程式に適用される一般的な方法の例として、ディオファントス方程式 § ピタゴラストリプルの例で示されています。

ユークリッドの公式におけるパラメータの解釈

ピタゴラス三角形の辺の長さを $m 2 - n 2$ 、 $2 mn$ 、 $m 2 + n 2とし、長さ$ $m 2 - n 2$ の脚と長さ $m$ $2$ $+$ $n$ $2$ の斜辺との間の角度を $β$ とします。すると、 $\tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}$ そして全角の三角関数値は $\sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}$ 、 $\cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}$ 、そして $\tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}$ ⁠ .^{[ 9 ]}

変種

ユークリッドの公式の次の変形は、 $m$ と $nに関してより対称的であるため（$ $m$ と $n$ に関して同じ偶奇条件）、場合によってはより便利です。

$m$ と $nが$ $m > nを$ 満たす2つの奇数である場合、 $a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}$ $は、ピタゴラス数を構成する3つの整数であり、 m$ と $nが$ 互いに素である場合に限り、原始ピタゴラス数となります。逆に、すべての原始ピタゴラス数は、（ $a$ が偶数の場合、 $a$ と $b$ を交換した後）互いに素な奇数の一意のペア $m$ $>$ $n$ $> 0から生じます。$

aとbを交換しない

上記の説明では、すべてのピタゴラス数は「aが偶数の場合、aとbを入れ替えた後」にユークリッドの公式から一意に得られると述べられています。ユークリッドの公式と上記の変形を以下のように組み合わせることで、この入れ替えを回避し、次の結果を得ることができます。

すべての原始ピタゴラス数は一意に記述できる $a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),$ ここで、 $m$ と $n$ は互いに素な正の整数であり、 $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ $m$ と $n$ が両方とも奇数の場合、 $\varepsilon =1$ そうでなければ。同様に、 $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ $a$ が奇数の場合、 $\varepsilon =1$ $a$ が偶数の場合。

原始ピタゴラス数の基本的な性質

一般特性

$a$ $<$ $b$ $<$ $c$ を満たす原始ピタゴラス数 $(a, b, c) ($ $a$ と $b$ のどちらが偶数でどちらが奇数かを指定しない場合)の性質には、次のものが含まれます。

$a$ 、 $b$ 、 $c$ のうち、正方形はせいぜい1つだけである。^{[ 10 ]}
ピタゴラス三角形の面積は、整数の平方^{[ 11 ]}^{： p.17}または平方の2倍^{[ 11 ]}^{： p.21にはなり得ません。}
$aと$ $b$ のうち、ちょうど1つだけが2で割り切れる（偶数）で、斜辺 $c$ は常に奇数である。^{[ 12 ]}
$aと$ $b$ のうち、ちょうど一方が3で割り切れるが、 $cは$ 決して割り切れない。^{[ 13 ]}^{[ 8 ]}^{： 23-25}
$aと$ $b$ のうち、ちょうど1つが4で割り切れるが、 $cは$ 決して割り切れない（ $c$ は決して偶数ではないため）。 ^{[ 8 ]}
$a$ 、 $b$ 、 $c$ のうち、ちょうど1つだけが5で割り切れる。^{[ 8 ]}
abc を常に割り切れる最大の数は 60 です。^{[ 14 ]}
$2 m +1$ の形の任意の奇数（ $m$ は整数でm $> 1$ ）は、原始ピタゴラス数の奇数側の辺になり得ます。詳細は、下記の「ほぼ二等辺の原始ピタゴラス数の節」を参照してください。ただし、原始ピタゴラス数の偶数側の辺になり得るのは、4 で割り切れる偶数のみです。これは、上記の偶数側の辺に関するユークリッドの公式が $2 mn$ $であり、 m$ または $n$ のいずれかが偶数でなければならないためです。
斜辺 $c$ (常に奇数) は 2 つの平方数の和です。これは、すべての素因数が $4$ $n$ $+ 1$ の形の素数である必要があることを意味します。^{[ 15 ]} $したがって、c は4 n + 1$ の形です。原始ピタゴラストリプルの可能な斜辺の数のシーケンスは( OEISのシーケンスA008846 )で見つけることができます。
面積 $（ K = ab /2）$ は6で割り切れる合同数^{[ 16 ]}である。
すべてのピタゴラス三角形において、内接円の半径と3つの外接円の半径は正の整数です。具体的には、原始三重三角形の場合、内接円の半径（inradius）は $r = n (m - n)であり、辺$ $m 2 - n 2$ 、2mn、および斜辺 $m 2 + n 2$ の対辺の外接円の半径は、それぞれ $m (m - n)$ 、 $n (m + n)$ 、および $m (m + n)$ です。^{[ 17 ]}
直角三角形の場合、タレスの定理の逆によれば、外接円の直径は斜辺に等しくなります。したがって、原始的な3つ組の場合、外接円の直径は $m 2 + n 2$ であり、外接円の半径はその半分であるため、有理数ですが整数ではありません ( $m$ と $n は$ 偶奇性が反対であるため)。
すべてのピタゴラス三角形において、 ${\tfrac {(ca)(cb)}{2}}$ は完全平方数である^{[ 18 ]} 、すなわち $\left({\tfrac {a+bc}{2}}\right)^{2},$ これは直角三角形の内接円の二乗である。^{[ 19 ]}
ピタゴラス三角形の面積に、その内接円と3つの外接円の曲率を掛けると、それぞれ正の整数 $w > x > y > z$ が得られます。整数 $- w 、 x 、 y 、 z は$ デカルトの円の方程式を満たします。^{[ 20 ]}同様に、任意の直角三角形の外側ソディ円の半径は、その半周長に等しくなります。外側ソディ中心は $D$ に位置し、 $ACBD$ は長方形、 $ACB は$ 直角三角形、 $AB は$ その斜辺です。^{[ 20 ]}^{: p. 6}
原始ピタゴラス数の2辺は同時に素数になり得るのは2辺のみである。なぜなら、原始ピタゴラス数を生成するユークリッドの公式によれば、1辺は合成数かつ偶数でなければならないからである。^{[ 21 ]}ただし、1辺だけが完全べき乗の整数になり得る。 $p\geq 2$ なぜなら、両辺が同じ指数を持つ完全べき乗の整数である場合 $p$ それは、ディオファントス方程式に整数解が存在しないという事実と矛盾するだろう。 $x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}$ 、と $x$ 、 $y$ そして $z$ 互いに素であること。^{[ 22 ]}
斜辺と1辺が別のピタゴラス三角形の2辺となるようなピタゴラス三角形は存在しない。これはフェルマーの直角三角形の定理の等価な形式の一つである。^{[ 11 ]}^{： p.14}
$各原始ピタゴラス三角形は、面積K$ と二乗半周長 $s$ の比を持ち、それはその三角形に固有のものであり、 ^[²³^]で与えられます。

{\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.

原始ピタゴラス三角形は斜辺からの高さが整数にならない。つまり、すべての原始ピタゴラス三角形は分解不可能である。^{[ 24 ]}
すべての原始ピタゴラス三つ組の集合は、自然な形で根付き三項木を形成します。原始ピタゴラス三つ組の木を参照してください。
ピタゴラス三角形の鋭角はどちらも有理数度にはなり得ない。^{[ 25 ]} （これはニブンの定理から導かれる。）

特別なケース

さらに、特定の追加特性を持つ特別なピタゴラス数が存在することが保証されている。

2より大きい整数で、2 mod 4 と合同でないもの（つまり、2より大きい整数で、4k + 2 の形ではないもの）はすべて、 $原始$ $ピタゴラス$ 数の一部です。（整数が 4k の形である場合は $、$ ユークリッドの公式で $n$ $= 1$ $、$ m $=$ $2k$ $と$ することができます。整数が $2k$ $+ 1の形である場合は$ $、n$ $=$ $k$ $、$ m $=$ $k$ $+$ $1$ $と$ することができます。）
2より大きい整数はすべて、原始ピタゴラス数または非原始ピタゴラス数の組の一部です。たとえば、整数6、10、14、18は原始ピタゴラス数の組の一部ではありませんが、非原始ピタゴラス数の組 $(6, 8, 10)$ 、 $(14, 48, 50)$ 、 $(18, 80, 82)$ の一部です。
斜辺と最長辺の差がちょうど 1 であるピタゴラスの三つ組は無限に存在する。このような三つ組は必ず原始的であり、 $(2 n + 1, 2 n 2 + 2 n, 2 n 2 + 2 n +1)$ の形をとる。これは、ユークリッドの公式において、条件が三つ組が原始的であり、 $(m 2 + n 2) - 2 mn = 1$ を満たさなければならないことを意味することに注意することで得られる。これは $(m - n) 2 = 1$ を意味し、したがって $m = n + 1$ となる。上記の三つ組の形は、ユークリッドの公式において $n$ $+ 1を$ $m$ に置き換えることによって得られる。
斜辺と最長辺の差がちょうど 2 であるような原始ピタゴラス三つ組は無限に存在する。これらはすべて原始ピタゴラス三つ組であり、ユークリッドの公式に $n = 1$ を代入することで得られる。より一般的には、任意の整数 $k > 0に対して、斜辺と奇数辺の差が$ $2 k 2$ であるような原始ピタゴラス三つ組は無限に存在する。これらは、ユークリッドの公式に $n = k$ を代入することで得られる。
2つの辺の差がちょうど1であるピタゴラスの三つ組は無限に存在します。例えば、20² ⁺ 21² ⁼ 29²^です。これらは、ユークリッドの公式によって生成されます。 ${\tfrac {mn}{n}}$ 収束する $\displaystyle {\sqrt {2}}.}$
$任意の正の整数k$ に対して、斜辺の長さが異なり、面積が同じ $k$ 個のピタゴラス数が存在する。
任意の正の整数 $k$ に対して、同じ辺 $a$ を持つ少なくとも $k 個$ の異なる原始ピタゴラス数列が存在する。ここで $a は$ ある正の整数である（偶数辺の長さは 2 mnであり、多くの因数分解を持つ $a を$ 選択すれば十分である。例えば、 $a$ $= 4$ $b$ のように、 $bが$ $k 個$ の異なる奇素数の積である場合、少なくとも $2$ $k 個$ の異なる原始ピタゴラス数列が生成される）。^[⁸^]^:³⁰
$任意の正の整数k$ に対して、同じ斜辺を持つ少なくとも $k 個の異なるピタゴラス数が存在する。$ ^{[ 8 ]}^{: 31}
$c = p e が$ 素数のべき乗である場合、素数 $pが$ $4$ $n$ $+ 1$ の形である場合に限り、原始ピタゴラス数 $a 2 + b 2 = c 2$ が存在します。この三つ組は、 aとbの交換を除いて一意です。
より一般的には、正の整数 $c$ が原始ピタゴラス三つ組の斜辺となるのは、 $c$ の各素因数が $4 を$ 法として $1$ と合同である場合、すなわち各素因数が $4$ $n$ $+ 1の形である場合に限る。この場合、$ $a$ $<$ $b$ となる原始ピタゴラス三つ組 $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ の数は $2$ $k$ $-1$ であり、ここで $kは$ $c$ の異なる素因数の数である。^[²⁶^]
斜辺 $c$ と脚の和 $a + b$ の両方が平方数であるピタゴラス三つ組は無限に存在する。フェルマーによれば、そのような三つ組の最小値^{[ 27 ]}は、辺 $a = 4,565,486,027,761$ 、 $b = 1,061,652,293,520$ 、 $c = 4,687,298,610,289$ である。ここで、 $a + b = 2,372,159 2$ および $c = 2,165,017 2である。これは、パラメータ値$ $m = 2,150,905$ および $n = 246,792$ を使用したユークリッドの公式によって生成される。
斜辺からの高さが整数である非原始ピタゴラス三角形が存在する。^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}このようなピタゴラス三角形は、この高さに沿って2つの別々のより小さなピタゴラス三角形に分割できるため、分解可能であることが知られている。 ^{[ 24 ]}

ユークリッドの公式の幾何学

単位円上の有理点

ユークリッドのピタゴラス数公式

$a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}$

単位円上の有理点の幾何学の観点から理解することができる（トラウトマン 1998 ）。

実際、座標 $($ $x$ $,$ $y$ $)を持つ$ デカルト平面上の点は $、$ $x²$ $+$ $y²$ $= 1$ の場合、単位円に属します。xと $y$ $が$ 有理数である場合、つまり、互いに素な整数 $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ が存在して $、$ $\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}\!+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$

両方の要素に $c 2$ を掛けることで、円上の有理点が原始ピタゴラス三つ組と一対一に対応していることがわかります。

単位円は媒介変数方程式によって定義される場合もある。 $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.$ ユークリッドのピタゴラス数の公式と逆関係 $t = y / (1 + x)は、$ $(-1, 0)$ を除いて、円上の点 $(x, y)が有理数であるのは、対応する$ $t$ の値が有理数である場合に限ることを意味します。 $t = y / (1 + x) = b / (c + a) = n / m$ $は、長さb$ の三角形の辺の対角の半分の正接でもあることに注意してください。

立体視的アプローチ

単位円の $x$ 軸への立体投影。単位円上の点 $P$ から点N = (0, 1)（北極）まで $線$ $を$ 引きます。この線が $x$ 軸と交わる点 $P$ $'が、$ $P$ の立体投影です。逆に、 $x$ 軸上の点 $P$ $'から$ $N$ まで線を引くと、その線が単位円と交わる点 $P$ が、逆立体投影となります。

単位円上の有理座標を持つ点と原始ピタゴラス数との間には対応関係がある。この点において、ユークリッドの公式は三角法を用いるか、あるいは立体投影法を用いることによって導出することができる。

立体投影法の場合、 $P$ ′は有理座標を持つ $x$ 軸上の点であると仮定します。

$P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).$

すると、基本的な代数計算によって、点 $P$ の座標が次のようになることが示される。

$P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).$

$これにより、 x$ 軸上の各有理点が単位円上の有理点に対応することが証明されます。逆の、単位円上のすべての有理点が $x軸上のそのような点から生じることは、逆立体投影を適用することで得られます。P$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ $が$ $x$ と $yが$ 有理数である単位円上の点であるとします。すると、 $x$ 軸への立体投影によって得られる点 $P$ ′の座標は次のようになります。

$\left({\frac {x}{1-y}},0\right)$

それは合理的だ。

代数幾何学の観点から言えば、単位円上の有理点の代数多様体は、有理数上のアフィン直線と双有理関係にある。したがって、単位円は有理曲線と呼ばれ、この事実によって、単位円上の（有理数）点を有理関数を用いて明示的にパラメータ化することが可能になる。

2次元格子におけるピタゴラス三角形

2次元格子は、孤立した点の規則的な配列であり、いずれかの点をデカルト座標の原点（0, 0）として選択すると、他のすべての点は $（ x, y ）$ に位置し、 $x$ と $yは$ すべての正負の整数をとることができます。3つの頂点 $（ a, b, c ）$ を持つ任意のピタゴラス三角形は、座標 $（0, 0）$ 、 $（ a, 0）$ 、 $（0, b ）$ に頂点を持つ2次元格子内に描画できます。三角形の境界内に厳密に存在する格子点の数は、次のように表されます。 ${\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};$ ^{[ 30 ]}原始ピタゴラス三つ組の場合、この内部格子数は ${\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.$ 面積（ピックの定理によれば、内部格子数から1を引いた値に境界格子数の半分を加えた値に等しい）は ${\tfrac {ab}{2}}$ 。

同じ面積を共有する 2 つの原始ピタゴラストリプルの最初の出現は、辺の長さが $(20, 21, 29)、(12, 35, 37)$ で、共通面積が 210 の三角形( OEISのシーケンスA093536 )で発生します。同じ内部格子数を共有する 2 つの原始ピタゴラストリプルの最初の出現は、 $(18108, 252685, 253333)、(28077, 162964, 165365)$ で、内部格子数が 2287674594 ( OEISのシーケンスA225760 )で発生します。面積が同じである3つの原始ピタゴラス数 $（4485, 5852, 7373）$ 、 $（3059, 8580, 9109）$ 、 $（1380, 19019, 19069）$ が発見されており、面積は13123110です。今のところ、内部格子数が同じである3つの原始ピタゴラス数のセットは発見されていません。

原始ピタゴラス三つ組の列挙

ユークリッドの公式によれば、すべての原始ピタゴラス数は整数から生成できる。 $m$ そして $n$ と $m>n>0$ 、 $m+n$ 奇妙で $\gcd(m,n)=1.$ したがって、有理数（既約分数）と原始ピタゴラス数の間には1対1の対応関係があり、 ${\tfrac {n}{m}}$ 区間内 $(0,1)$ そして $m+n$ 奇数。

原始トリプルからの逆マッピング $(a,b,c)$ どこ $c>b>a>0$ 合理的な ${\tfrac {n}{m}}$ 2つの和を研究することで達成される $a+c$ そして $b+c.$ これらの合計のうちの1つは、次の式に等しい平方数になります。 $(m+n)^{2}$ そしてもう一方は次の値に等しい2乗の平方根になります $2m^{2}.$ そうすれば、合理的な値を決定することができる。 ${\tfrac {n}{m}}.$

原始ピタゴラス三つ組を列挙するために、有理数は順序対として表現できる。 $(n,m)$ そして、カントールのペアリング関数などのペアリング関数を用いて整数にマッピングされる。例は（OEISのシーケンスA277557）で見ることができる。

8,18,19,32,33,34,\dots

そして、その根拠を示す。

{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots

これらは、さらにプリミティブなトリプルを生成する。

(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots

スピノルとモジュラー群

ピタゴラス数も同様に、次の形式の正方行列にエンコードできます。 $X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.$ この形式の行列は対称行列です。さらに、 $X$ の行列式は $\det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,$ $これは、 (a, b, c)$ がピタゴラスの定理を満たす場合にゼロになります。X $が$ ピタゴラス数に対応する場合、行列としてはランク1 でなければなりません。

$X$ $は$ 対称行列でランク 1 $で$ あるため $、$ 線形代数の結果から $、$ $外積$ $が$

ここで、 $Tは$ 行列の転置を表します。ξ と -ξ は同じピタゴラス数を生成するため、ベクトル ξ はスピノル(ローレンツ群SO(1, 2) の場合) とみなすことができます。抽象的に言えば、ユークリッドの公式は、各原始ピタゴラス数は、( 1 )のように、整数成分を持つスピノルとそれ自身との外積として記述できることを意味します。

モジュラー群Γは、整数要素を持つ2×2行列の集合である。

$A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}$

行列式が 1 に等しい場合: $αδ - βγ = 1$ 。この集合は群を形成します。Γ 内の行列の逆行列は再び Γ 内にあり、Γ 内の 2 つの行列の積も同様です。モジュラー群は、すべての整数スピノルの集合に作用します。さらに、この群は、互いに素な要素を持つ整数スピノルの集合に対して推移的です。なぜなら $、[m n] T$ が互いに素な要素を持つ場合、

${\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}$

ここで、 $u$ と $vは$ （ユークリッドアルゴリズムによって） $mu + nv = 1$ となるように選択される。

( 1 )のスピノルξに作用することで、Γの作用はピタゴラス三つ組への作用に変わります。ただし、負の成分を持つ三つ組も許容する必要があります。したがって、 $Aが$ $Γ$ の行列である場合、

これは、( 1 $) の行列X$ に対する作用を生み出します。これは、原始トリプルを非原始トリプルに変換する可能性があるため、原始トリプルに対する明確に定義された作用を与えません。この時点で ( Trautman 1998に従って)、 $c$ $> 0で、$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)が$ 互いに素であるか、または $($ $a$ $/2,$ $b$ $/2,$ $c$ $/2)$ が互いに素で $a$ $/2$ が奇数である場合に、トリプル ( a , b , c ) を標準と呼ぶのが便利です $。$ $スピノル$ $[$ $m$ $n$ $]$ $T$ が互いに素なエントリを持つ場合 $、$ $($ $1$ $)$ $によって$ 決定される関連するトリプル( a $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ $は$ $標準$ トリプルです。したがって、モジュラー群の作用は標準トリプルの集合に対して推移的です。

$あるいは、 m$ が奇数で $n$ が偶数であるような $m$ と $n$ の値に限定して考察する。Γの部分群Γ(2)を群準同型の核とする。

$\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})$

ここで、 $SL(2, Z 2)は、$ 整数の有限体 $Z$ 2上の $2 を$ 法とする特別な線形群です。すると、Γ(2) は、各要素の偶奇性を保存するユニモジュラー変換の群になります。したがって、ξ の最初の要素が奇数で、2 番目の要素が偶数であれば、すべての $A$ $\in Γ(2)$ に対して $A$ $ξ$ についても同じことが言えます。実際、作用 ( 2 ) の下で、群 Γ(2) は原始ピタゴラストリプルの集合( Alperin 2005 )に推移的に作用します。

群Γ(2)は、生成元が行列である自由群である。 $U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.$ $したがって、すべての原始ピタゴラス数は、行列U$ と $L$ のコピーの積として一意に得られる。

親子関係

Berggren (1934)の結果により、すべての原始ピタゴラス三つ組は、以下の 3 つの線形変換T ₁、 T ₂、 T ₃を使用して (3, 4, 5) 三角形から生成できます。ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ は三つ組の辺です。

言い換えれば、すべてのプリミティブトリプルは、さらに3つのプリミティブトリプルの「親」になります。a $= 3$ 、 $b$ $= 4$ 、 $c$ $= 5$ の初期ノードから始めて、操作 $T$ $1$ は新しいトリプルを生成します $。$

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13),

同様に、 $T 2$ と $T 3$ は、(21, 20, 29) と (15, 8, 17) のトリプルを生成します。

線形変換 T ₁、 T ₂、および T _3は $、$ 二次形式の言語で幾何学的解釈を持ちます。これらは、整数上の直交群x $2 + y 2 - z 2$ を生成する反射と密接に関連していますが、等しくはありません。 ^{[ 31 ]}

ガウス整数との関係

あるいは、ユークリッドの公式はガウス整数を用いて解析および証明することができる。^{[ 32 ]}ガウス整数は、 $α$ $=$ $u$ $+$ $vi$ の形の複素数であり、 $u$ と $v$ は通常の整数、 $iは$ マイナス 1 の平方根である。ガウス整数の単位は±1 と ±i である。通常の整数は有理整数と呼ばれ、「 $Z$ 」と表記される。ガウス整数は $Z$ $[$ $i$ $]と表記される。$ ピタゴラスの定理の右辺は、ガウス整数で因数分解することができる。

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).$

原始ピタゴラス数とは、 $a$ と $bが$ 互いに素である、つまり、整数の中に共通の素因数を持たない数のことである。このような数では、 $a$ または $b$ のどちらかが偶数であり、もう一方は奇数である。このことから、 $c$ も奇数であることが導かれる。

原始ピタゴラス三つ組の2 つの因子 $z := a + bi$ と $z* := a - bi$ はそれぞれガウス整数の二乗に等しい。これは、すべてのガウス整数が1 を除いて一意にガウス素数に因数分解できるという性質を用いて証明できる。^[³³^] (この一意の因数分解は、大まかに言えば、ユークリッドアルゴリズムのバージョンをそれらに対して定義できるという事実から導かれる。) 証明は 3 つのステップからなる。まず、 $a$ と $b が$ 整数で素因数を共有しない場合、ガウス整数でも素因数を共有しない。 ( $a$ $=$ $gu$ 、 $b$ $=$ $gv$ $とし、 g$ 、 $u$ 、 $v$ をガウス整数とし、 $g$ は単位元ではないと仮定します。すると、 $u$ と $v は$ 原点を通る同じ直線上にあります。このような直線上のすべてのガウス整数は、あるガウス整数 $h$ の整数倍です。しかし、この場合、整数gh ≠ ±1 は $a$ と $b$ の両方を割り切ります。) 第二に、 $z$ と $z*$ も同様にガウス整数に素因数を持たないことがわかります。もし素因数を持つとすれば、それらの共通除数 $δ は$ $z$ $+$ $z*$ $= 2$ $a$ と $z$ $-$ $z*$ $= 2$ $ib$ も割り切ることになります。a と b は互いに素なので $、$ $これ$ はδ が 2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i) 2 を割り切ることを意味します $。$ $式$ $c$ 2 = zz* から $、$ $これ$ $は$ $c$ が偶数であることを意味し $、$ 原始ピタゴラス数であるという仮説に反します。第三に、 $c$ $2 は$ 平方数であるため、その因数分解に含まれるすべてのガウス素数は2倍され、つまり偶数回出現します。z と z* は共通の素因数を持たないため $、$ $この$ 2倍化はそれらにも当てはまります。したがって、 $z$ と $z*$ は平方数です。

したがって、最初の因子は次のように書ける。

$a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.$

この方程式の実部と虚部から、次の2つの式が得られます。

${\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}$

$任意の原始ピタゴラス数に対して、以下の2つの式を満たす整数m$ と $n$ が存在する。したがって、これらの整数のいずれかを選択することで、すべてのピタゴラス数を生成することができる。

完全平方ガウス整数として

ガウス整数の二乗を考えると、ユークリッドの公式をガウス整数の完全二乗を表すものとして直接解釈すると次のようになる。

$(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.$

ガウス整数がユークリッド領域であること、およびガウス整数 p に対して $|p|^{2}$ 斜辺が素数であれば、ピタゴラス数は常に平方数であり、素数ガウス整数の平方数に対応することを示すことができる。

ガウス整数が素数でない場合、それは2つのガウス整数pとqの積であり、 $|p|^{2}$ そして $|q|^{2}$ 整数。ガウス整数では大きさが乗算されるため、積は $|p||q|$ これを二乗してピタゴラス数を求めると、必ず合成数になる。対偶をとれば証明が完了する。

3つ組の分布

ピタゴラス数の分布に関する結果は数多く存在する。散布図には、すでにいくつかの明らかなパターンが見られる。原始的な三つ組の脚 $（ a 、 b ）$ が図に現れる場合、 $（ a 、 b ）$ のすべての整数倍も図に現れる必要があり、この性質によって、図では原点から放射状に伸びる線が現れる。

散布図の中には、点の密度が高く、すべての焦点が原点にあり、四方八方に開いている放物線状のパターン群が存在する。異なる放物線が軸上で交差し、45度の入射角で軸から反射しているように見える。さらに、3つ目の放物線が垂直に入射している。この象限内では、原点を中心とする各弧は、放物線の先端と半正弦との交点の間にある部分を示している。

これらのパターンは次のように説明できます。 $a^{2}/4n$ は整数なので、( $a$ 、 $|n-a^{2}/4n|$ 、 $n+a^{2}/4n$ ）はピタゴラス数です。（実際、すべてのピタゴラス数 $（ a 、 b 、 c ）$ は、おそらく $a$ と $b$ を入れ替えた後、整数 $n$ を使ってこのように書くことができます。 $n=(b+c)/2$ （ $a$ と $bは$ 両方とも奇数であってはならない。）したがって、ピタゴラス数は次の曲線上に位置する。 $b=|n-a^{2}/4n|$ つまり、 $a軸で反射した放物線と、$ $a$ と $b$ を入れ替えた対応する曲線です。nが与えられたとき (つまり、与えられた放物線上で)、a を変化させると $、$ n が平方数または平方数の小さな倍数である場合、b の整数値が $比較的$ $頻繁$ $に$ 現れます。そのような値がいくつか近くにある場合、対応する放物線はほぼ一致し、3 つの値は狭い放物線状の帯に集まります。たとえば、38 $2$ $=$ $1444、2$ $\times 27$ $2$ $= 1458、3$ $\times 22$ $2$ $= 1452、5$ × $17$ $2$ $= 1445、10$ × $12$ $2$ $= 1440です。n$ $\approx$ $1450$ 付近の対応する放物線状の帯は、散布図で明確に確認できます。

上述の角度特性は、放物線の関数形式から直ちに導かれる。放物線は $a$ $= 2$ $n$ で $a$ 軸に関して対称移動しており、この点における $bの$ $a$ に関する導関数は –1 である。したがって、入射角は 45° である。クラスターは、すべての三つ組と同様に、整数倍で繰り返されるため、値 $2$ $n$ もクラスターに対応する。対応する放物線は $b$ $= 2$ $n$ $でb$ 軸と直角に交わり、したがって $a$ と $bを入れ替えた際のその対称移動は、$ $a$ $= 2$ $n$ $でa$ 軸と直角に交わる。これは、 $n$ の放物線が $a$ 軸に関して対称移動している点と全く同じである。（もちろん、 $a$ と $b$ を入れ替えた場合も同様である。）

アルベルト・フェスラーらは、これらの放物線が等角写像の文脈において持つ意義についての洞察を提供している。^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}

特殊なケースと関連する方程式

プラトン的シーケンス

$ピタゴラス三つ組のより一般的な構成におけるn = 1$ の場合については、古くから知られていました。プロクロスは、ユークリッドの 『原論』第 1 巻の第47 命題に対する注釈の中で、それを次のように説明しています。

このような三角形を発見するためのいくつかの方法が伝承されており、一つはプラトンに由来するもの、もう一つはピタゴラスに由来するものとされています。（後者の方法は）奇数から始めます。奇数を直角の辺のうち小さい方とし、その二乗を取り、1を引いて、その差の半分を直角の辺のうち大きい方とします。最後にこれに1を加えて、残りの辺、斜辺を形成します。 …一方、プラトンの方法は偶数から論じます。与えられた偶数を直角の辺の一つとし、その数を二等分して半分を二乗し、その二乗に1を加えて斜辺を形成し、その二乗から1を引いて直角のもう一方の辺を形成します。…こうして、他の方法で得られたものと同じ三角形が形成されます。

数式で表すと次のようになります。

$a$ は奇数である（ピタゴラス、紀元前540年頃）：

${\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.$

$a$ は偶数である（プラトン、紀元前380年頃）：

${\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1$

適切なスケーリングを行うことで、すべてのピタゴラス三つ組は、基本的なプラトン数列 ( $a$ 、 $(a 2 - 1)/2$ および $(a 2 + 1)/2$ )から、 $a$ が非整数の有理値をとることを許容することによって得られることが示せる。数列中の $a を分数$ $m / n$ に置き換えると、スケーリング後の結果は「標準」三つ組生成子 (2 mn、 $m 2 - n 2$ 、 $m 2 + n 2$ ) と等しくなる。したがって、すべての三つ組には対応する有理数 $a の$ 値があり、それを使用して相似な三角形 (元の三角形と同じ 3 つの角を持ち、辺の比率が同じ三角形) を生成できる。例えば、 $(56, 33, 65)$ のプラトン的等価数は、 $a = m / n = 7/4によって$ $(a, (a 2 -1)/2, (a 2 +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)$ として生成されます。プラトン数列自体は、ディオファントス II.VIIIで説明されている「正方形を分割する」手順に従うことによって導き出すことができます。

3つの平方数の等差数列

3つの正の整数が与えられた場合 $x<y<z$ ⁠、それらの平方数は等差数列である。 $z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2},$ または同等に $x^{2}+z^{2}=2y^{2}.$

3つの平方数の等差数列は、ピトゴラスの三つ組と1対1に対応する。

実際、もし⁠ $(a,b,c)$ はピタゴラス数であり、 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ⁠、それから $(a-b)^{2},\quad c^{2},\quad (a+b)^{2}$ は、等差数列の 3 つの平方数です。 $(a-b)^{2}+(a+b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})=2c^{2}$ ⁠ .

逆に、もし⁠ $x^{2}<y^{2}<z^{2}$ は等差数列をなす３つの平方数であり、 $y^{2}={\tfrac {x^{2}+z^{2}}{2}}$ ⁠、それから $\left({\tfrac {z-x}{2}},\quad y,\quad {\tfrac {z+x}{2}}\right)$ これはピタゴラス数です。これらの変換は互いに逆の関係にあるため、宣言された1対1対応を定義します。

この一対一の対応関係は、平方数の等差数列のほぼすべての性質が、ピタゴラス数の対応する性質から容易に導き出せることを意味する。

特に、ユークリッドの公式は、3つの平方数のすべての等差数列が次のように得られることを示唆している。 $(m^{2}-n^{2}-2mn)^{2},\quad (m^{2}+m^{2})^{2},\quad (m^{2}-n^{2}+2mn)^{2},$ どこで $m$ そして $n$ は、異なる偶奇性を持つ任意の2つの正の整数です。

また、違い $z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}$ 等差数列の連続する2つの平方数の間の差は常に24の倍数である。これは§ 一般性質で与えられた割り算の関係から導かれる。なぜならこの差は $2ab$ ⁠、そこで⁠ $a$ そして $b$ は、関連するユークリッド三つ組の最初の要素です。

その結果、3つの平方数の最小等差数列は次のようになる。 $(1,25,49).$

ヤコビ・マッデン方程式

方程式、

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}$

は特別なピタゴラス数に相当し、

$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}$

この方程式には無限の解が存在する。なぜなら、変数を解くには楕円曲線が関係するからである。小さな解としては、

$a,b,c,d=-2634,955,1770,5400$

$a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150$

2つの平方数の和が等しい

解決策を生み出す方法の一つは $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$ a、b、c、d を整数m、n、p、q で次のようにパラメータ化します。 ^{[ 36 ]}

$(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.$

2つの4乗の和が等しい

2組のピタゴラス数を与えて、

$(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}$

$(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}$

斜辺でない辺と斜辺の積が等しいものを見つける問題、

$(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})$

これは、次の式と等価であることが容易にわかる。

$a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}$

そして最初にオイラーによって解決された $a,b,c,d=133,59,158,134.$ 彼はこれが楕円曲線上の有理点であることを示したので、解は無限に存在する。実際、彼は7次多項式によるパラメータ表示も発見した。

デカルトの円定理

デカルトの円の定理の場合、すべての変数が平方数であるため、

$2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$

オイラーは、これが3つの同時ピタゴラス数に等しいことを示した。

$(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}$

$(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}$

$(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}$

また、解は無限に存在し、特に次の場合には $a+b=c$ すると、方程式は次のように簡略化されます。

$4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}$

小さな解決策として $a,b,c,d=3,5,8,14$ そして、二項二次形式で解くことができる。

ほぼ二等辺三角形のピタゴラス数

ピタゴラスの三つ組は二等辺三角形にはならない。なぜなら、斜辺と他の辺の比は√2だが、√2は2つの整数の比として表すことができないからである。

しかし、直角三角形の中には、斜辺以外の辺の長さが1だけ異なるものもある。例えば、

$3^{2}+4^{2}=5^{2}$

$20^{2}+21^{2}=29^{2}$

そして、他にも無数の種類がある。それらは完全に次のようにパラメータ化できる。

$\left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}$

ここで、{ x, y }はペル方程式の解である。 $x^{2}-2y^{2}=-1.$

$a$ 、 $b$ 、 $c$ がこのタイプの原始ピタゴラス三つ組の辺である場合、ペル方程式の解は次の漸化式で与えられる。

$a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2$ と $a_{1}=3$ そして $a_{2}=20$ $b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2$ と $b_{1}=4$ そして $b_{2}=21$ $c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}$ と $c_{1}=5$ そして $c_{2}=29$ ⁠ .^{[ 37 ]}

この一連の原始ピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数の根付き三項ツリーの中心幹（幹）を形成する。

斜辺と非斜辺の長さの差が1の場合、例えば

$5^{2}+12^{2}=13^{2}$

$7^{2}+24^{2}=25^{2}$

すると、原始ピタゴラス数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の完全な解は次のようになります。

$a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1$

そして

$(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}$

整数 $m>0$ は生成パラメータです。

これは、この種のほぼ二等辺三角形の原始ピタゴラス数には、1より大きいすべての奇数が現れることを示しています。この原始ピタゴラス数の列は、原始ピタゴラス数の根付き三項木の右側の外側幹を形成します。

この種のほぼ二等辺三角形の原始ピタゴラス三つ組のもう1つの特性は、辺が次のような関係にあることです。 $a^{b}+b^{a}=Kc$ ある整数に対して $K$ 言い換えれば $a^{b}+b^{a}$ は割り切れる $c$ 例えば $(5^{12}+12^{5})/13=18799189$ [ ³⁸^]

ピタゴラス数で表されるフィボナッチ数

5から始まるフィボナッチ数列の2番目の数は、整数辺を持つ直角三角形の斜辺の長さ、言い換えれば、ピタゴラス数の中で最大の数であり、次の式から得られます。 $(F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.$ この公式から得られるピタゴラス三角形の列は、辺の長さが

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

これらの三角形のそれぞれの中心辺は、前の三角形の3辺の合計です。^{[ 39 ]}

一般化

ピタゴラス数の概念を一般化する方法はいくつかある。

ピタゴラス $n$ タプル

その表現 $\left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}$ $は、 m$ $2$ $1$ $>$ $m$ $2$ $2$ $+ ... +$ $m$ $2$ $n$ を満たす任意の正の整数の組 $($ $m$ $1$ $, ...,$ $m$ $n$ $)$ に対するピタゴラス $n$ 組です。ピタゴラスn組は $、$ その値の最大公約数で割ることによって原始数にすることができます。

さらに、この方法で任意の原始ピタゴラス $n$ タプル $a 21 + ... + a 2 n = c 2$ を見つけることができます。上記の式を使用して $(m 1, ..., m n) = (c + a 1, a 2, ..., a n)$ を使用してピタゴラス $n$ タプルを取得し、最大の共通整数除数である $2 m 1 = 2(c + a 1)で割ります。これらの$ $(m 1, ..., m n)$ の値の最大共通除数で割ると、同じ原始ピタゴラス $nタプルが得られます。また、$ $m$ $2$ $1$ $>$ $m$ $2$ $2$ $+ ... +$ $m$ $2$ $n$ を満たす集合的に互いに素な正の整数のタプル $(m 1, ..., m n)$ と原始ピタゴラス $n$ タプルの間には 1 対 1 の対応があります。

集合ごとの互いに素な値間の関係の例 ${\vec {m}}$ また、原始的なピタゴラス $n$ タプルには以下が含まれます: ^{[ 40 ]}

${\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}$

連続する正方形

$m$ $2$ から始まる $k 個$ の連続する正方形の合計 $F (k, m)$ は、次の式で与えられるので、^[⁴¹^]

$F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}$

$F$ $($ $k$ $,$ $m$ $)$ が平方数となるような値 $($ $k$ $,$ $m$ $)$ を見つけることができる。例えば、ヒルシュホルンによるもので、項の数自体が平方数となる^[⁴²^]。

$m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}$

また、 $v \geq 5$ は 2 または 3 で割り切れない任意の整数です。最小の場合 $v = 5$ なので $k = 25となり、これは$ ルーカスの有名な砲弾積み上げ問題になります。

$0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}$

リーチ格子に関連する事実。

さらに、ピタゴラス $n$ タプル ( $n \geq 4$ ) において、1 つを除いてすべての加数が連続している場合は、次の式を使用できます。^{[ 43 ]}

$F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}$

$p$ の 2 乗が相殺されるため、これは線形であり、簡単に解くことができます。 $p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}$ ただし、 $p$ が整数になるように $k$ 、 $mを$ 選択する必要があり、簡単な例として $k$ $= 5$ 、 $m$ $= 1$ の場合、

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}$

$したがって、ピタゴラスn$ タプルを生成する 1 つの方法は、さまざまな $x$ に対して、^[⁴⁴^]を使用することです。

$x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},$

ここでq = n –2 であり、

$p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.$

フェルマーの最終定理

ピタゴラス数の概念を一般化すると、 $a$ $n$ $+$ $b$ $n$ $=$ $c$ $n$ $を満たす正の整数a$ 、 $b$ 、 $c$ の三つ組を探すことになります。ただし、 $n$ は 2 より厳密に大きい数です。ピエール・ド・フェルマーは1637 年に、そのような三つ組は存在しないと主張しました。この主張は、フェルマーの他のどの予想よりも証明または反証に時間がかかったため、フェルマーの最終定理として知られるようになりました。最初の証明は1994 年にアンドリュー・ワイルズによって行われました。

$n - 1$ または $n$ $乗の合計が$ $n$ 乗になる乗

$もう一つの一般化は、最後の項のn乗が前の項の$ $n$ 乗の和となるような、 $n + 1 個$ の正の整数の数列を探すことである。既知の $n$ の値に対する最小の数列は次のとおりである。

$n$ = 3: {3, 4, 5; 6}。
$n$ = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
$n$ = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
$n$ = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
$n$ = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

n $= 3 の$ $場合$ 、 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},$ フェルマー三次方程式と呼ばれるこの方程式には、すべての解を与える一般式が存在する。

$少し異なる一般化では、 (k + 1)$ $n$ 乗の和が $(n - k)$ $n$ 乗の和に等しくなることが許容されます。例えば、次のようになります。

( $n = 3$ ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ^3は、1729という数が2 つの立方数の和として 2 通りの異なる方法で表すことができる最小の数であるというラマヌジャンとの会話をハーディが回想したことで有名になりました。

$n乗の和が$ $n$ 乗になるような $n - 1 個の$ 正の整数も存在しうる（ただし、フェルマーの最終定理によれば、 $n$ $= 3 の場合はそうではない）。これらは$ オイラーのべき乗和予想に対する反例である。既知の最小の反例は^[⁴⁵^]^[⁴⁶^]^[¹⁴^{]である。}

$n = 4$ : (95800, 217519, 414560; 422481)
$n = 5$ : (27, 84, 110, 133; 144)

ヘロニアン三角形の三つ組

ヘロニアン三角形は、辺の長さが整数で面積も整数である三角形として一般的に定義されます。このような三角形の辺の長さは、 $a$ $\leq$ $b$ $\leq$ $c$ を満たすヘロニアン三つ組 $(a, b, c)$ を形成します。ピタゴラス三つ組は、少なくとも一方の辺 $a$ または $b が$ 偶数でなければならないため、面積ab /2 が整数となることから、すべてのピタゴラス三つ組がヘロニアン三つ組です。ただし、面積が 24 である例 $(4, 13, 15)が示すように、すべてのヘロニアン三つ組がピタゴラス三つ組であるとは限りません。$

$(a, b, c)$ がヘロニアントリプルである場合、 $k$ が任意の正の整数である $(ka, kb, kc)もヘロニアントリプルです。その面積は、$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ 三角形の面積の $k$ $2$ 倍の整数になります。ヘロニアントリプル $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)は、$ a , b , cが互いに素である場合に原始的です。(原始ピタゴラストリプルの場合、それらが互いに素であるというより強い条件も適用されますが、原始ヘロニアン三角形の場合、より強い条件は $(7, 15, 20)$ のように常に真であるとは限りません。) 以下は、ピタゴラストリプルではない最も単純な原始ヘロニアントリプルのいくつかです。

（4、13、15）面積24

（３、２５、２６）面積３６

（７、１５、２０）面積４２

（6、25、29）面積60

（11、13、20）面積66

（13、14、15）面積84

（13、20、21）面積126

ヘロンの公式によれば、 $a$ $<$ $b$ $<$ $c$ を満たす正の整数の三つ組 $(a, b, c)$ がヘロン的であるための追加条件は、

(a 2 + b 2 + c 2) 2 - 2(a 4 + b 4 + c 4)

または同等に

2(a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2) - (a 4 + b 4 + c 4)

16で割り切れる、ゼロ以外の平方数であること。

暗号学への応用

原始ピタゴラス三つ組は、暗号学において乱数列や鍵の生成に用いられてきた。^{[ 47 ]}

注記

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外部リンク

クリフォード代数とユークリッドによるピタゴラス数のパラメータ化
誤ってコピーされた二次関数の奇妙な結果
ピタゴラス数の性質に関する議論、対話型計算機、パズルと問題
等差数列を用いてピタゴラス数を生成する
「ピタゴラス数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ピタゴラス数のための対話型計算機
負のペル方程式とピタゴラス数
単一の多項式三重項によるピタゴラス三つ組のパラメータ化
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ピタゴラス数と単位円、第2～3章、「数論への親しみやすい入門」ジョセフ・H・シルバーマン著、第3版、2006年、ピアソン・プレンティス・ホール、アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州、ISBN 0-13-186137-9
ピタゴラス数と単位円の関係を示すインタラクティブなアプレット「cut -the-knot」
ピタゴラスの三つ組
三角形の驚くべき内接円
ピタゴラス数に関連する二次適合ペアの解
ピタゴラス数の理論的性質と幾何学との関連性
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[Richinik-29] Richinick, Jennifer (2008年7月)、「92.48 逆ピタゴラスの定理」、The Mathematical Gazette、92 (524): 313–316、doi : 10.1017/s0025557200183275、JSTOR 27821792、S2CID 125989951

[30] Yiu, Paul (2003)、「レクリエーション数学」（PDF）、講義ノート、フロリダ・アトランティック大学数学科、第2章、110ページ

[31] （アルペリン 2005 ）

[32] スティルウェル、ジョン（2002）「6.6 ピタゴラス数」『数論の基礎』シュプリンガー、110–2頁、ISBN 978-0-387-95587-2

[Gauss_1832-33] ガウス CF (1832)、「Theoria residuorum biquadraticorum」、Comm.社会登録科学。ゴット。記録、４．Werke、2 :67–148も参照。

[34] 1988年のプレプリントは、 2011年8月9日にWayback Machineにアーカイブされました。3ページの図2を参照してください。後にFässler, Albert (1991年6月～7月)、「複数のピタゴラス数の三つ組」、American Mathematical Monthly、98 (6): 505– 517、doi : 10.2307/2324870、JSTOR 2324870として出版されました。

[35] Benito, Manuel; Varona, Juan L. (2002年6月)、「 $n$ 未満の辺を持つピタゴラス三角形」、Journal of Computational and Applied Mathematics、143 (1): 117–126、Bibcode : 2002JCoAM.143..117B、doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4 PDFとして

[36] ナヒン、ポール J. (1998)、架空の物語： ${\sqrt {-1}}$ プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、25～ 26ページ、ISBN 0-691-02795-1MR 1645703

[37] Sloane, N. J. A. (編)、「数列A001652」、オンライン整数列百科事典、 OEIS Foundation ; Sloane, N. J. A. (編)、「数列A001653」、オンライン整数列百科事典、 OEIS Foundation

[38] Sloane, N. J. A. (編)、「数列A303734」、オンライン整数列百科事典、 OEIS Foundation

[39] パグニ、デイビッド（2001年9月）「フィボナッチとピタゴラスの出会い」、Mathematics in School、30（4）：39–40、JSTOR 30215477

[40] Sloane, N. J. A. (編)、「数列A351061 (n 個の正の完全平方数の和として表せる最小の正の整数)」、オンライン整数列百科事典、OEIS Foundation

[41] 連続する立方数の和は立方数に等しい、2008年5月15日にオリジナルからアーカイブ済み

[42] Hirschhorn, Michael (2011年11月)、「連続する平方数の和が平方数になるのはいつか？」、The Mathematical Gazette、95 : 511–2、doi : 10.1017/S0025557200003636、ISSN 0025-5572、OCLC 819659848、S2CID 118776198

[43] Goehl, John F. Jr. (2005年5月)、「読者の感想」、Mathematics Teacher、98 (9): 580、doi : 10.5951/MT.98.9.0580

[44] Goehl, John F., Jr.、「3つ組、4つ組、5つ組」、 Mathematics Teacher 98、2005年5月、p. 580。

[45] キム、スコット（2002 年 5 月）、「難問」、Discover : 82、方程式 w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ = z ⁴は難しい。1988 年、数学者たちが 200 年にわたって不可能であることを証明しようと試みた後、ハーバード大学のノーム・エルキースが反例 2,682,440 ⁴ + 15,365,639 ⁴ + 18,796,760 ⁴ = 20,615,673 ⁴を発見した。

[46] エルキーズ、ノーム(1988)、「A ⁴ + B ⁴ + C ⁴ = D ⁴について」、Mathematics of Computation、51 (184): 825–835、doi : 10.2307/2008781、JSTOR 2008781、MR 0930224

[47] Kak, S.および Prabhu, M. 原始ピタゴラス三つ組の暗号学的応用. Cryptologia, 38:215–222, 2014.

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