二項定理

aとbが正の値の場合、 n =2の二項定理は、辺の長さがa + bの正方形を、辺の長さがaの正方形、辺の長さがbの正方形、および辺の長さがaとbの2つの長方形に分割できるという幾何学的に明白な事実です。n =3の場合、この定理は、辺の長さがa + bの立方体を、辺の長さがaの立方体、辺の長さがbの立方体、3つのa × a × bの長方形、および3つのa × b × bの長方形に分割できることを示しています。

微積分学では、この図は導関数の幾何学的証明も与える。${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$^{[ 2 ]}もし設定するならば${\displaystyle a=x}$そして${\displaystyle b=\Delta x,}$b をaの微小変化と解釈すると、この図はn次元超立方体の体積の微小変化を示しています。${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$ここで、線形項の係数（${\displaystyle \Delta x}$） は${\displaystyle nx^{n-1},}$n個の面の面積（各面の寸法はn - 1）： $${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$これを差分商を介して導関数の定義 に代入し、極限を取ると、高次の項は、${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$およびそれ以上では無視できるほど小さくなり、次の式が得られます。${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$これは、「辺の長さが変化する際のn次元立方体の体積の微小変化率は、その( n − 1)次元面のn 面の面積である」と解釈される。微積分学の基本定理を適用することに相当するこの図を積分すると、カヴァリエリの求積公式、すなわち積分が得られる。${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$詳細はカヴァリエリの求積公式の証明を参照してください。 ^{[ 2 ]}

x ^{n − k} y ^kの係数は次の式で与えられます。 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$これは階乗関数n ! で定義されます。言い換えれば、この式は次のように書くことができます。 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$分数の分子と分母の両方にk個の因数 があります。この式には分数が含まれていますが、二項係数は${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$実際には整数です。

二項係数${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$これは、 n個の要素の集合からk個の要素を選択する方法の数（組み合わせ）として解釈できます。これは、次の理由で二項式と関連しています。 ( x + y ) ⁿを積として書くと$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$分配法則 によれば、積の各二項式からxまたはyのいずれかを選択するたびに、展開式には 1 つの項が存在します。たとえば、各二項式からx を選択する場合に対応する項x ^{n は}1 つだけです。しかし、 x ^{n −2} y ²の形の項は複数存在し、これは 2 つの二項式を選択してyを寄与させる方法ごとに 1 つずつ存在します。したがって、同類項をまとめると、 x ^{n −2} y ²の係数は、n個の要素の集合からちょうど2 つの要素を選択する方法の数に等しくなります。

( x + y ) ⁿを展開すると、 e ₁ e ₂ ... e _nの形の2 ⁿ個の積の和が得られます。ここで、各e _{i は}xまたはyです。因数を並べ替えると、各積はx ^{n − k} y ^kに等しくなります (k は 0 から n の間の値) 。与えられたk に対して、次の式が順に等しいことが証明されます。  

• 展開式におけるx ^{n − k} y ^kに等しい項の数
• n文字の文字列x , yのうち、 yがちょうどk個の位置にあるものの数
• {1, 2, ..., n }のk個の要素からなる部分集合の数
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$定義によって、または定義する場合は簡単な組み合わせ論的議論によって${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$として${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

これは二項定理を証明する。

帰納法は二項定理の別の証明を与える。n = 0の場合、 x ⁰ = 1なので両辺は1 に等しくなり、${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$ここで、与えられたnに対して等式が成り立つと仮定します。n + 1の場合について証明します。j 、k ≥ 0に対して、[ f ( x、y )] _j、kを多項式f ( x、y )におけるx ^j y ^kの係数とします。帰納的仮定により、( x + y ) ⁿはxとyに関する多項式であり、[( x + y ) ⁿ ] _j、kは${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$j + k = nの場合、それ以外の場合は0 となる。 $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$( x + y ) ^{n +1}もxとyの多項式である ことを示し、 $${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$j + k = n + 1 の場合、( j − 1) + k = nおよびj + ( k − 1) = nとなります。右辺は $${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$パスカルの恒等式 より。^{[ 3 ]}一方、j + k ≠ n + 1の場合、( j – 1) + k ≠ nかつj + ( k – 1) ≠ nとなるので、0 + 0 = 0となる。したがって $${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$これは、 nの代わりにn + 1を代入した 帰納的仮説であり、帰納的ステップを完了します。

前述の標準二項定理は、${\displaystyle (x+y)^{n}}$指数${\displaystyle n}$は非負の整数です。一般化された二項定理は、有限和を無限級数に置き換えるという代償を伴いますが、非整数、負、または複素数の指数も許容します。

これを行うには、任意の上限インデックスを持つ二項係数に意味を与える必要がありますが、これは通常の階乗の公式ではできません。しかし、任意の数rに対して、次のように定義できます。 $${\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}},}$$ ここで、最後の式は、下降階乗の現代的な表記法を導入しています。これは、 rが非負整数の場合の通常の定義と一致します。次に、 xとyが| x | > | y |を満たす実数で、^{[注 2 ]} r が任意の複素数である場合、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

rが非負整数の場合、 k > rの二項係数はゼロとなるため、この式は通常の二項定理に帰着し、非ゼロ項は最大でr + 1個となります。rがその他の値の場合、この級数は無限に多くの非ゼロ項を持ちます。

例えば、r = 1/2の場合、平方根の級数は次のようになります。 $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

r = − 1の場合、一般化二項級数は次のようになります。 $${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$これは収束ケース| x | < 1 の等比級数の和の公式であり、その公比は− xです。

より一般的には、r = − sの場合、| x | < 1に対して次のようになります。^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-s}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}x^{k}.}$$

例えば、s = 1/2の場合、 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

xを-xに置き換えると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}x^{k}.}$$

例えば、s = 1/2の場合、| x | < 1に対して次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

一般化二項定理は、 xとyが複素数の場合にも拡張できます。この場合も、 | x | > | y | ^{[注 2 ]}を仮定し、 x + yとxのべき乗を、xを中心とする半径| x |の開円盤上で定義されたlog の正則 分岐を用いて定義します。一般化二項定理は、 xy = yxであり、x が可逆であり、‖ y / x ‖ < 1 である限り、バナッハ代数の要素xとyに対しても有効です。

二項定理の変形版は、次のポッホハマー記号のような多項式の族に対して有効である。与えられた実定数cに対して、次のように定義する。${\displaystyle x^{(0)}=1}$そして $${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$ のために${\displaystyle n>0.}$そして^{[ 5 ]}$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$c = 0 の場合、通常の二項定理が再現される。

より一般的には、シーケンス${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$多項式の は、次の場合に二項式型であると言われます。

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$すべての人々のために${\displaystyle n}$、
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$、 そして
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$すべての人々のために${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle n}$。

オペレーター${\displaystyle Q}$多項式の空間上のは、数列の基底演算子であると言われている。${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$もし${\displaystyle Qp_{0}=0}$そして${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$すべての人々のために${\displaystyle n\geqslant 1}$シーケンス${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$二項式であるのは、その基底演算子がデルタ演算子である場合に限る。^{[ 6 ]}書き方${\displaystyle E^{a}}$シフトのために${\displaystyle a}$上記の「ポッホハマー」多項式族に対応するデルタ演算子は、後方差分である。${\displaystyle I-E^{-c}}$のために${\displaystyle c>0}$の通常の微分${\displaystyle c=0}$、そしてフォワード差${\displaystyle E^{-c}-I}$のために${\displaystyle c<0}$。

二項定理は、2つ以上の項を持つ和のべき乗を含むように一般化できます。一般化されたバージョンは次のとおりです。

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

ここで、総和は、すべてのk _iの合計がnとなるような、非負整数インデックスk ₁からk _mまでのすべてのシーケンスについて取られます。（展開の各項について、指数はnに合計されなければなりません）。係数  ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$これらは多項係数として知られており、次の式で計算できます。 $${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

組み合わせ論的に、多項係数${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$n個の要素からなる集合を、サイズk ₁、 ...、k _mの互いに素な部分集合に分割する異なる方法の数を数えます。

多次元を扱う場合、二項式の積を扱うことがしばしば有用です。二項定理によれば、これは次のようになります。 $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

これは、多重添え字表記法によって、より簡潔に次のよう に記述できます。$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

一般的なライプニッツの法則は、 2 つの関数の積のn階導関数を二項定理と同様の形式で与える。^{[ 7 ]}$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

ここで、上付き文字( n )は関数のn階導関数を表します。${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$f ( x ) = e ^axおよびg ( x ) = e ^bxと設定すると、各項から共通因数e ^{( a + b ) xを消去することで、通常の二項定理が得られます。 [ 8 ]}

複素数の場合、二項定理をド・モアブルの公式と組み合わせることで、正弦と余弦の多角公式が得られます。ド・モアブルの公式によれば、 $${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

二項定理を用いると、右辺の式を展開することができ、実部と虚部を取ることでcos( nx )とsin( nx )の公式が得られます。例えば、 $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$ しかし、ド・モアブルの公式は左辺を次のように定義している。${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$、 それで $${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$ これらは通常の倍角の公式です。同様に、 $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$ ド・モアブルの公式は $${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$ 一般的に、 $${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$ そして $${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$チェビシェフ多項式を用いた同様の公式も存在する。

数eはしばしば次の式で定義されます。 $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

この式に二項定理を適用すると、eの通常の無限級数が得られます。具体的には次のようになります。 $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

この和のk番目の項 は$${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

n → ∞のとき、右辺の有理式は1 に近づき、したがって $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

これは、eが数列として表せることを示している。 $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

実際、二項展開の各項はnの増加関数であるため、級数の単調収束定理から、この無限級数の和はeに等しくなります。 

二項定理は、負の二項分布の確率質量関数と密接に関連しています。独立したベルヌーイ試行の（可算）集合の確率${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$成功の確率${\displaystyle p\in [0,1]}$起こらないことは $${\displaystyle P{\biggl (}\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}{\biggr )}=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{\binom {|S|}{n}}(-p)^{n}.}$$ この量の上限は${\displaystyle e^{-p|S|}.}$^{[ 32 ]}