数学の芸術に関する9つの章

数学の芸術に関する9つの章
『数学術に関する九章』 (1820年版)のページ
繁体字中国語	九章算術
中国語（簡体字）	九章算術
文字通りの意味	算数に関する9章
転写 標準中国語 漢語ピンイン 九章宗書 ウェイド・ジャイルズ チウ3チャン1スアン4 -シュ4 中期中国語 中期中国語 /kɨu X t͡ɕɨɐŋ suɑn X ʑiuɪt̚/ 古代中国語 鄭章 /kuʔ kjaŋ sloːnʔ ɦljud/

『九章算術』は中国の数学書で、紀元前10世紀から2世紀にかけて数世代の学者によって編纂され、最終段階は紀元1世紀にさかのぼる。この本は中国で現存する最古の数学書の一つで、他の2冊は『算術書』（紀元前202年 - 紀元前186年）と『周壁算経』（漢代から2世紀後半にかけて編纂）である。この本は、問題を解く最も一般的な方法を見つけることに重点を置いた数学へのアプローチを提示しており、これは、初期の公理の集合から命題を演繹する傾向があった古代ギリシャの数学者に共通したアプローチとは対照的である。

本書の記述は通常、問題の説明、それに続く解決策の説明、そして解決策に至った手順の説明という形式をとっています。これらについては、3 世紀に 劉徽によって注釈が付けられました。

この本は後に唐初期のコレクションである『十算蔵』に収録されました。

『九章の数学術』の完全なタイトルは、西暦179年に作られた2枚の青銅製の標準器に記載されていますが、それ以前に同じ本が異なるタイトルで存在していたという推測があります。^[1]

この書名は『後漢書』第24巻にも馬續が研究した書物の一つとして記載されている。この既知の知識に基づいて、馬續の弟である馬融は、その成立時期を西暦93年以降としている。^[2]

ほとんどの学者は、 『九章論』が最終形態に達するまで、中国の数学と古代地中海世界の数学は多かれ少なかれ独立して発展してきたと考えている。第7章の方法は13世紀までヨーロッパでは見つからず、第8章の方法はカール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）以前にガウスの消去法を使用している。 ^[3]ピタゴラスの定理の論文には数学的な証明も与えられている。^[4] 『九章論』の影響は、韓国と日本の地域で古代数学の発展に大きく貢献した。中国の数学思想への影響は清朝時代まで続いた。

劉徽は263年に詳細な注釈を書いた。彼は『 九章』の手順を段階的に分析しており、読者にそれらが信頼できると確信させるように設計されていることは明らかだが、ユークリッド式の正式な証明を提供することには関心がない。劉の注釈はそれ自体が数学的に非常に興味深い。劉は、この本の最初の編纂と注釈を、初期の数学者である張蒼（紀元前165年活躍 - 紀元前142年没）と耿守昌（紀元前75年活躍 - 紀元前49年）（天球儀を参照）に帰しているが、漢王朝の記録には注釈の著者の名前は示されておらず、3世紀まで言及されていない^[5]。

『 九章書』は作者不明の著作であり、その由来は明らかではない。近年まで、景芳（紀元前78年 - 紀元前37年）、劉鑫（23歳没）、張衡（紀元前78年 - 139年）などの数学書と、紀元前4世紀の墨子の幾何学条項を除いて、これに関連する数学書の実質的な証拠はなかった。しかし、今ではそうではない。算數書（ Suàn shù shū）は、 190枚の竹簡に書かれた約7000字の古代中国の数学書である。1983年に考古学者が湖北省の墓を開いた際に、他の書物と共に発見された。これは張家山漢竹文として知られる文書集成の中に入っている。文献から、この墓は前186年、西漢初期の頃に閉じられたことが分かっている。この墓と『九章書』との関係は今も学者の間で議論されているが、内容の一部は明らかに『九章書』と類似している。しかし、『算書』のテキストは『九章書』ほど体系的ではなく、複数の出典から引用された、多かれ少なかれ独立した短いテキストのセクションから構成されているようだ。数学と天文学のテキストである『周壁算経』も漢の時代に編纂され、180年頃には蔡邕によって数学の学派として言及されている。

この本のタイトルはさまざまな方法で翻訳されてきました。

1852 年、アレクサンダー・ワイリーはこれを「9 セクションの算術規則」と呼びました。

日本の数学史家三上義夫は、わずかな変更を加えて、タイトルを『九部算術』に短縮した。^[6]

デイヴィッド・ユージン・スミスは、その著書『数学史』（スミス、1923年）の中で、三上義夫が用いた慣例に従った。

数年後、ジョージ・サートンはこの本に注目しましたが、注目度は低く、正の数と負の数を表す赤と黒の棒の使用についてのみ言及していました。

1959年、ジョセフ・ニーダムと王凌（歴史家）は『九章算術』を初めて 『九章算術』として翻訳した。

1994年後半、ラム・レイ・ヨンはこの本の概要でこのタイトルを使用し、ジョン・N・クロスリーやアンソニー・W・C・ルンを含む他の数学者も、リー・ヤンとドゥ・シランの『中国の数学：簡潔な歴史』 （Li and Du 1987）の翻訳でこのタイトルを使用しました。^[6]

その後、 「The Nine Chapters on the Mathematical Art」という名前が定着し、この本の標準的な英語タイトルとなりました。

9つの章の内容は次のとおりです。

『九章算術』では自然数、つまり正の整数とその演算については論じられていないが、広く使われており、自然数に基づいて書かれている。分数に関する本ではないが、分数の意味、性質、四則演算については十分に論じられている。例えば、複合除算（加算）、減算（減算）、乗算（乗算）、歪除算（除算）、除算（比較大小）、縮減（簡約分数）、二等分（平均）。^[9]

負の数の概念は『九章算術』にも登場する。方程式のアルゴリズムと連携するため、正と負の数の加減法の規則が与えられている。減算は「同名除、異名得」。加算は「異名除、同名得」。このうち、「除」は減算、「得」は加算、「無記入」は相手がいないことを意味するが、乗算と除算は記入されない。^[9]

『九章算術』では、自然数、分数、正数と負数、およびいくつかの特殊な無理数について一定の議論がなされており、一般的に言えば、現代数学で使用されている実数体系の原型となっています。

『九章算術』に含まれる幾何学図形は、農業分野への応用に重点が置かれているため、直線と円形の図形がほとんどである。さらに、土木建築のニーズに応えて、『九章算術』では、直線と円形の3次元立体の体積アルゴリズムについても論じている。これらの体積アルゴリズムの配置は単純なものから複雑なものまで多岐にわたり、独特の数学体系を形成している。^[9]

本書では、まさにピタゴラスの定理の中国版である狗谷定理の直接的な応用について、狗谷相互追求、狗谷整数、狗谷双容量、狗谷相似の 4 つの主なカテゴリに分類しています。

Gou Gu 相互探索では、直角三角形の 1 辺の長さを他の 2 辺がわかっている状態で求めるアルゴリズムについて説明します。Gou Gu 整数とは、有名な 3、4、5 の 3 倍を含む、いくつかの重要な整数ピタゴラス数を求めることです。Gou Gu 双対容量では、円に内接する長方形やその他の多角形の面積を計算するアルゴリズムについて説明します。これは、円周率を計算するアルゴリズムとしても機能します。最後に、Gou Gu 相似では、相似な直角三角形の数学的根拠に基づいて、建物の高さと長さを計算するアルゴリズムを提供します。

『九章算術』に挙げられている平方完成法や立方完成法、連立一次方程式の解法は、古代中国数学の主要な内容の一つとみなすことができます。『九章算術』ではこれらのアルゴリズムについて非常に詳細に議論されています。これらの議論を通じて、古代中国数学の発展の成果を理解することができます。^[9]

平方完成と立方完成は、2つの未知数を持つ2つの線形方程式の連立を解くことができるだけでなく、一般的な2次方程式や3次方程式も解くことができます。これは古代中国における高次方程式を解くための基礎であり、数学の発展にも重要な役割を果たしています。^[9]

方成章で論じられた「方程式」は、今日の連立一次方程式に相当する。「方成式」と呼ばれる解法は、今日ではガウス消去法として最もよく知られている。方成章に挙げられている18の問題の中には、2つの未知数を持つ連立一次方程式に相当するものもあれば、3つの未知数を持つ連立一次方程式に相当するものもあり、最も複雑な例では、最大5つの未知数を持つ連立一次方程式の解を解析する。^[9]

古代中国語では、「九」という語は単なる数字以上の意味を持つ。実際、九は最も大きな数字なので、壮大なものや最高権力を指すことが多い。さらに、「章」という語も単に「章」を意味する以上の意味を持つ。章は、セクション、記事のいくつかの部分、または論文全体を指すこともある。^[10]

この観点から、中国数学史の多くの学者は、東洋数学の発展における『九章算術』の重要性を、西洋数学の伝統における『ユークリッド原論』の重要性と比較している。 ^{[11] [12]しかし、} 『九章算術』の影響は、ユークリッド原論が確立した演繹的で公理的な伝統とは対照的に、実用的な問題と帰納的証明方法に焦点を当てているため、現代数学の発展には至っていない。

しかし、『九章の数学術』が現代の数学にまったく影響を与えていないと言うのは軽視すべきことである。『九章の数学術』のスタイルと構造は、「問題、公式、計算」とまとめるのが最も適切である。^[13]応用数学の問題を解くこのプロセスは、現在では応用数学の分野における標準的なアプローチとみなすことができる。^[要出典]

• 要約された英語訳：三上義雄：「九節算術」、『中国と日本の数学の発展』、1913年。
• 高度に要約された英語訳: Florian Cajori : 「Arithmetic in Nine Sections」、A History of Mathematics、第 2 版、1919 年 (おそらく三上からコピーまたは言い換えられたもの)。
• 要約された英語訳：Lam Lay Yong：Jiu Zhang Suanshu：概要、Archive for History of Exact Sciences、Springer Verlag、1994年。
• 九章の完全な翻訳と研究、および劉慧の解説は、カンシェン・シェン著『数学の九章』（オックスフォード大学出版、1999年）に掲載されています。ISBN 0-19-853936-3 
• 詳細な学術的補遺と、 Karine Chemlaと Shuchun Guoによるこの本とその解説の両方の中国語テキストの批判版を含むフランス語翻訳は、Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentairesです。パリ: デュノー、2004 年。ISBN 978-2-10-049589-4。 
• ドイツ語翻訳: Kurt Vogel、Neun Bücher Arithmetischer Technik、Friedrich Vieweg und Sohn Braunsweig、1968 年。
• ロシア語翻訳: E. I Beriozkina、Математика в девяти книгах (Mathematika V Devyati Knigah)、モスクワ: GITTL、1957。

• ハイダオ・スアンジン
• 数学の歴史
• 幾何学の歴史

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九章算術

• 本書の全文（中国語）