分布（数学的解析）

f  : R → Rが局所的に積分可能な関数であると仮定します。このとき、対応する分布T _{f は}次のように定義できます。

${\displaystyle \left\langle T_{f},\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f(x)\varphi (x)\,dx\quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

この積分は、線形かつ連続的に依存する実数です。${\displaystyle \varphi }$逆に、D( R )のテスト関数上の分布T _fの値は、 R上の関数fのほぼ至る所での点ごとの値を決定します。慣習的な表記の乱用では、fは元の関数fと対応する分布T _fの両方を表すためによく使用されます。この例は、分布をテスト関数の空間 D( R ) 上の線形かつ適切な意味で連続な汎関数として定義することを示唆しています。

同様に、μがR上のラドン測度である場合、対応する分布Rμ_は次のように定義される。

${\displaystyle \left\langle R_{\mu },\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }\varphi \,d\mu \quad {\text{for}}\quad \varphi \in D(\mathbf {R} ).}$

この積分は、${\displaystyle \varphi }$したがって、R _μは分布です。μ が密度fとd μ = f dxを持つルベーグ測度に関して絶対連続である場合、 R _μのこの定義はT _fの前の定義と同じですが、μ が絶対連続でない場合、R _{μ は}関数​​に関連付けられていない分布です。たとえば、PがR上の点質量測度で、単一集合 {0} に測度 1 を割り当て、0 を含まない集合に測度 0 を割り当てる場合、

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\varphi \,dP=\varphi (0),}$

つまり、R _P = δはディラックのデルタ関数である。

分布は実数と乗算して加算することで、実ベクトル空間を形成する。分布は無限回微分可能な関数と乗算することもできるが、 通常の関数の点ごとの積を拡張し、同じ代数的性質を持つ一般分布の積を定義することはできない。この結果はシュワルツ（1954）によって示され、通常はシュワルツの不可能性定理と呼ばれている 。

分布の導関数の定義として、少なくとも滑らかな関数から導出される分布については、次の性質を持つものを選択することが望ましい。${\displaystyle T'_{f}=T_{f'}}$。 もし${\displaystyle \varphi }$これはテスト関数なので、部分積分を使って確認することができます。

${\displaystyle \left\langle f',\varphi \right\rangle =\int _{\mathbf {R} }f'\varphi \,dx={\Big [}f(x)\varphi (x){\Big ]}_{-\infty }^{\infty }-\int _{\mathbf {R} }f\varphi '\,dx=-\left\langle f,\varphi '\right\rangle }$

ここで最後の等式は次の事実から導かれる。${\displaystyle \varphi }$コンパクトなサポートを持つため、有界集合の外側ではゼロになります。これは、もし${\displaystyle T}$は分布なので、その導関数を定義する必要があります。${\displaystyle T'}$による

${\displaystyle \left\langle T',\varphi \right\rangle =-\left\langle T,\varphi '\right\rangle .}$

実はこれが正しい定義なのです。これは導関数の通常の定義を拡張したもので、すべての分布が無限回微分可能になり、導関数の通常の性質が成り立ちます。

例：ディラックデルタ（いわゆるディラックデルタ関数）は、次の式で定義される分布であることを思い出してください。

${\displaystyle \left\langle \delta ,\varphi \right\rangle =\varphi (0).}$

これは、ヘヴィサイド階段関数Hに対応する分布の導関数です。任意のテスト関数に対して${\displaystyle \varphi }$、

${\displaystyle \left\langle H',\varphi \right\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }H(x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi (\infty )+\varphi (0)=\left\langle \delta ,\varphi \right\rangle ,}$

したがって、H ′ = δ。注、${\displaystyle \varphi }$(∞) = 0 なぜなら${\displaystyle \varphi }$テスト関数の定義により、コンパクトなサポートが得られます。同様に、ディラックのデルタ関数の導関数は、次の式で定義される分布です。

${\displaystyle \langle \delta ',\varphi \rangle =-\varphi '(0).}$

後者の分布は、関数や測度から導出されない分布の一例である。その物理的な解釈は、双極子源の密度である。ディラックのインパルスが弱極限において、振幅が増大し、支持点が狭まる様々な種類の定数ノルムバンプ関数の列として実現できるのと同様に、その導関数は定義上、前述の関数の負の導関数の弱極限として実現でき、それらは最終的な分布の特異点支持点に関して反対称となる。

U上のテスト関数の空間 D( U )は次のように定義されます。${\displaystyle \varphi }$ U → Rは、Uのコンパクト部分集合Kが存在して、${\displaystyle \varphi }$( x ) = 0 はU \ Kのすべてのxに対して成り立つ。 D( U )の要素は無限回微分可能な関数である。${\displaystyle \varphi }$ :コンパクト サポートを持つU → R –バンプ関数とも呼ばれます。これは実ベクトル空間です。D ( U ) の要素の列の極限を定義することで位相を与えることができます。列 (${\displaystyle \varphi }$D( U ) における_k )は、${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( U ) は、次の 2 つの条件が満たされる場合です。^{[ 1 ]}

• すべてのサポートを含むコンパクト集合K  ⊂ Uが存在する ${\displaystyle \varphi }$_k :

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K.}$

• 各多重指数αについて、偏微分のシーケンス${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{k}}$均一に​${\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi }$。

この定義により、D( U )はハイネ・ボレル特性を満たす完全局所凸位相ベクトル空間となる。^{[ 2 ]}

このトポロジーは、次の一般的な構成の文脈に位置づけることができる。

${\displaystyle X=\bigcup \nolimits _{i}X_{i}}$

X は可算な増加集合の局所凸位相ベクトル空間の和集合であり、 ι _i  : X _i → Xは包含写像である。この文脈において、X上の帰納的極限位相、または最終位相τ は、すべての包含写像を構成する最も細かい局所凸ベクトル空間位相である。${\displaystyle \iota _{i}}$連続。位相 τ は、次のように明示的に記述できます。βを、すべてのiに対してW ∩ X _iが開集合であるような、Xの凸平衡部分集合Wの集合とします。すると、帰納的極限位相 τ の基底は、 xがXの要素でWがβの要素であるような、x + Wの形の集合で構成されます。

τ がベクトル空間位相であることの証明は、各X _iが局所凸であるという仮定を利用します。構成上、βはτの局所基底です。X上の任意の局所凸ベクトル空間位相がτ を必ず含むということは、それが最も弱い位相であることを意味します。また、各iについて、部分空間位相X _{i が}τ から継承するものが元の位相と一致することも示すことができます。各X _iがフレシェ空間である場合、( X , τ) はLF 空間と呼ばれます。

ここで、U_を、 { U _i }がコンパクト閉包K _i = U _iを持つUの可算入れ子開部分集合族であるU iの和集合とする。すると、可算増加和集合が得られる。

${\displaystyle \mathrm {D} (U)=\bigcup \nolimits _{i}\mathrm {D} _{K_{i}}}$

ここで、D _{K i}はU上のすべての滑らかな関数の集合であり、そのサポートはK _iに含まれる。各 D _{K i}上で、半ノルムによって与えられる位相を考える。

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha }=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|,}$

すなわち、任意の階数の導関数の一様収束の位相である。これにより、各 D _{K i は}フレシェ空間となる。結果として得られるD( U ) 上のLF 空間構造は、この節の冒頭で説明した位相である。

D( U )上では、半ノルムによって与えられる位相も考慮することができる。

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha ,K_{i}}=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|.}$

しかし、この位相には完全性がないという欠点があります。一方、D _{K i}の特殊な特徴により、この集合が τ に関して有界であるのは、それが何らかの D _{K i}に含まれる場合に限ります。したがって、( D ( U ), τ)の完全性は、 D _{K i}の完全性から導かれます。

位相τはベールのカテゴリー定理によって距離化できない。なぜならD( U )はD( U )における第一カテゴリーの部分空間の和集合だからである。^{[ 3 ]}

U上の分布は、連続線形関数T : D( U ) → R (またはT : D( U ) → C )である。つまり、分布Tは各テスト関数にそれを割り当てる。        ${\displaystyle \varphi }$実数（または複素数）スカラーT（${\displaystyle \varphi }$) のように

${\displaystyle T(c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2})=c_{1}T(\varphi _{1})+c_{2}T(\varphi _{2})}$

すべてのテスト機能について${\displaystyle \varphi }$₁、${\displaystyle \varphi }$₂およびスカラー c ₁、 c ₂。さらに、Tが連続であるのは、次の場合に限る。

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }T(\varphi _{k})=T{\Bigl (}\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}{\Bigr )}}$

収束するすべての数列に対して${\displaystyle \varphi }$_kは D( U ) に属する。 (D( U )の位相は距離化可能ではないが、D( U ) 上の線形汎関数は、それが列的に連続である場合に限り連続である。) 同様に、Tが連続であるのは、 Uのコンパクト部分集合Kに対して、正の定数C _Kと非負の整数N _Kが存在し

${\displaystyle |T(\varphi )|\leq C_{K}\sup {\bigl \{}|\partial ^{\alpha }\varphi (x)|\mathrel {\big |} x\in K,|\alpha |\leq N_{K}{\bigr \}}}$

すべてのテスト機能について${\displaystyle \varphi }$Kに含まれるサポート付き。^{[ 4 ]}

U上の分布の空間はD′( U )で表され、これはD( U ) の連続双対空間です。 D′( U )にどのような双対位相が置かれていても、分布の列がこの位相で収束するのは、それが点ごとに収束する場合に限ります (ただし、これはネットでは必ずしも真である必要はありません)。そのため、位相は弱*位相として定義されることがあります。しかし、多くの場合、有界収束の位相(この場合はコンパクト集合上の一様収束の位相と同じです) が D′( U ) に置かれます。これは、この位相によって D′( U ) が核モンテル空間になり、この位相によってシュワルツの核定理が成り立つためです。^{[ 5 ]}どの位相が選択されても、D′( U ) は距離化不可能な局所凸位相ベクトル空間になります。

D′( U )における分布Tとテスト関数との間の双対性ペアリング${\displaystyle \varphi }$D( U ) は山括弧を用いて次のように表される。

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {D} '(U)\times \mathrm {D} (U)\to \mathbf {R} \\(T,\varphi )\mapsto \langle T,\varphi \rangle ,\end{cases}}}$

⟨ T、​${\displaystyle \varphi }$⟩ = T (${\displaystyle \varphi }$この表記は、テスト関数に作用する分布Tとして解釈される。${\displaystyle \varphi }$スカラー値を与える、またはテスト関数として対称的に${\displaystyle \varphi }$分布Tに作用する。

分布列 ( T _k ) が D′( U )上の弱*位相に関して分布Tに収束するのは、

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle \to \langle T,\varphi \rangle }$

すべてのテスト関数について${\displaystyle \varphi }$D( U ) において。例えば、f _k  : R → Rが関数である場合

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}k&{\text{if}}\ 0\leq x\leq 1/k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

そしてT _kはf _kに対応する分布であり、

${\displaystyle \langle T_{k},\varphi \rangle =k\int _{0}^{1/k}\varphi (x)\,dx\to \varphi (0)=\langle \delta ,\varphi \rangle }$

k → ∞のとき、 D′( R ) においてT _k → δ となる。したがって、 kが大きい場合、関数f _kはディラックのデルタ分布の近似とみなすことができる。

関数f  : U → Rは、 Uの任意のコンパクト部分集合K上でルベーグ積分可能である場合、局所的に積分可能であると呼ばれる。^{[ 6 ]}これは、すべての連続関数とすべてのL ^p関数を含む大きな関数クラスである。D( U ) 上の位相は、任意の局所的に積分可能な関数fが、D( U ) 上の連続線形汎関数（すなわち、D′( U ) の要素）を生成するように定義される。ここでは、 T _fと表記され、テスト関数上での値は   ${\displaystyle \varphi }$これはルベーグ積分によって与えられる。

${\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{U}f\varphi \,dx.}$

慣習的に、T _{f を}fと同一視することで表記法を濫用するが、混乱が生じない限り、T _fと fのペアリングは${\displaystyle \varphi }$よく書かれる

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle .}$

fとgが2つの局所的に積分可能な関数である場合、対応する分布T _fとT _gがD′( U )の同じ要素に等しくなるのは、 fとgがほとんど至るところで等しい場合のみです（例えば、Hörmander (1983 、定理1.2.5)を参照）。同様に、U上のすべてのラドン測度μは、テスト関数上での値がD′( U )の要素を定義します。${\displaystyle \varphi }$∫${\displaystyle \varphi }$ dμ。上記と同様に、表記法を濫用して、ラドン測度μとテスト関数のペアを次のように記述するのが一般的です。${\displaystyle \varphi }$として${\displaystyle \langle \mu ,\varphi \rangle }$逆に、シュワルツの定理（リース表現定理に類似）で示されているように、非負関数上で非負であるすべての分布は、ある（正の）ラドン測度に対してこの形式になります。

テスト関数はそれ自体が局所的に積分可能であり、分布を定義します。そのため、任意の分布T ∈ D′( U ) に対して、正味のD′ ( U ) が存在するという意味で、D ′( U ) 上の位相に関してD′ ( U ) において稠密です。  ${\displaystyle \varphi }$_i  ∈ D( U ) で、

${\displaystyle \langle \varphi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle }$

すべてのΨ  ∈  D( U )に対して。この事実は、弱位相を持つ D′( U )の双対が空間 D( U )であることから、ハーン・バナッハの定理から導かれる。 ^{[ 7 ]}逐次密度のより強い結果は、畳み込みの議論によってより構成的に証明できる。

A  :  D( U )  →  D( U ) を偏微分演算子とする。

${\displaystyle A\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}.}$

もし${\displaystyle \varphi }$ψはD( U )に含まれるので、部分積分により

${\displaystyle \int _{U}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\psi \,dx=-\int _{U}\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx,}$

したがって、A ^t  =  − Aとなります。この演算子は D( U )上の連続線形変換です。したがって、T  ∈  D′( U ) が分布である場合、座標x _kに関するTの偏微分は次の式で定義されます。

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\varphi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

この定義によれば、すべての分布は無限回微分可能であり、 x _k方向の導関数はD′( U ) 上の線形演算子である。

より一般的に、α = (α ₁ , ..., α _n ) が任意の多重インデックスであり、∂ ^αが関連する偏微分演算子である場合、分布T ∈ D′( U ) の偏微分 ∂ ^α Tは次のように定義されます。

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle T,\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle {\mbox{ for all }}\varphi \in \mathrm {D} (U).}$

分布の微分は D′( U )上の連続演算子である。これは、他のほとんどの微分概念には見られない、重要かつ望ましい性質である。

m  : U → Rが無限回微分可能な関数であり、TがU上の分布である場合、積 m Tは次のように定義される。

${\displaystyle \langle mT,\varphi \rangle =\langle T,m\varphi \rangle \qquad {\text{for all}}\ \varphi \in D(U).}$

この定義は転置の定義と一致します。なぜなら、 M  :  D( U )  →  D( U ) が関数mによる乗算演算子(つまり、M${\displaystyle \varphi }$= m${\displaystyle \varphi }$）、 それから

${\displaystyle \int _{U}M\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\varphi (x)\cdot \psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\cdot M\psi (x)\,dx,}$

したがって、M ^t  = Mとなります。 

滑らかな関数による乗算の下では、D′( U ) は環C ^∞ ( U )上の加群です。滑らかな関数による乗算のこの定義により、微積分学の通常の積の法則は有効です。しかし、いくつかの異常な恒等式も生じます。たとえば、δ がR上のディラックのデルタ分布である場合、mδ = m (0) δとなり、δ ′ がデルタ分布の導関数である場合、  

${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .\,}$

これらの微分と乗算の定義により、分布に対する滑らかな係数を持つ線形微分演算子の作用を定義することも可能になります。線形微分演算子P は、分布T  ∈  D′( U )を、次の形式の和で与えられる別の分布PTに変換します。

${\displaystyle PT=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,}$

ここで、係数p _αはU上の滑らかな関数である。分布PTのテスト関数への作用${\displaystyle \varphi }$は

${\displaystyle \left\langle \sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }T,\varphi \right\rangle =\left\langle T,\sum \nolimits _{|\alpha |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(p_{\alpha }\varphi )\right\rangle .}$

任意の分布Tに対してこのような展開が成り立つ最小の整数k をPの位数と呼ぶ。空間 D′( U ) は線形微分作用素環の作用に関するD 加群である。

T をR ⁿの開集合U 上の分布とする。Vを R n の開集合とし、F : V → U とする。Fが^沈め込みであるならば、定義することができる。     

${\displaystyle T\circ F\in \mathrm {D} '(V).}$

これは分布TとFの合成であり、TのFに沿った引き戻しとも呼ばれ、時には次のように表記される。

${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$

引き戻しはしばしばF*と表記されるが、この表記は線形写像の随伴写像を表すために「*」を用いる場合と混同してはならない。

Fが沈み込みであるという条件は、 Fのヤコビ微分dF ( x ) がすべてのx ∈ Vに対して全射線形写像であるという要件と同等である。F ^{# を}分布に拡張するための必要条件 (ただし十分条件ではない)は、 Fが開写像であることである。^{[ 9 ]} 逆関数定理は、沈み込みがこの条件を満たすことを保証する。  

Fが沈み込みである場合、 F ^#は転置写像を見つけることによって分布上で定義されます。F # は D( U ) 上の連続線形作用素であるため、この拡張の一意性は保証されます。^ただし、存在には変数変換公式、逆関数定理 (局所的に)、および単位分割の議論を使用する必要があります。^{[ 10 ]}

F がR ⁿの開集合VからR ⁿの開集合Uへの微分同相写像である特殊な場合、積分の下での変数変換は次のようになる。

${\displaystyle \int _{V}\varphi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\varphi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$

この場合、F ^#は転置式によって定義されます。

${\displaystyle {\bigl \langle }F^{\sharp }T,\varphi {\bigr \rangle }=\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\varphi \circ F^{-1}\right\rangle .}$

UとVをR ⁿの開部分集合とし、_{V ⊂ U とする。E VU} :  D ( V ) → D( U ) を、Vにコンパクト台を持つ与えられた滑らかな関数を、より大きな集合Uにコンパクト台を持つ滑らかな関数にゼロで拡張する演算子とする。このとき、制限写像 ρ _VUはE _VUの転置として定義される。したがって、任意の分布T ∈ D′( U ) に対して、制限 ρ _VU Tは、双対空間 D′( V )における分布として定義される。       

${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\varphi \rangle =\langle T,E_{VU}\varphi \rangle }$

すべてのテスト機能について${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( V ) 。

U  = Vでない限り、 Vへの制限は単射でも全射でもない。分布がVの境界に向かって爆発する可能性があるため、全射性がない。たとえば、U = RかつV = (0, 2) の場合、分布は     

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$

D′( V )に含まれるが、D′( U )への拡張は認められない。

T  ∈ D′( U ) を開集合U上の分布とする。Tが制限写像 ρ _VUの核に含まれる場合、TはUの開集合V上で消滅すると言う。具体的には、T がV上で消滅するのは、

${\displaystyle \langle T,\varphi \rangle =0}$

すべてのテスト機能について${\displaystyle \varphi }$ ∈ C ^∞ ( U ) で、 Vにサポートを持つ。Vを分布T がゼロになるような極大開集合とする。すなわち、VはT がゼロになるすべての開集合の和集合である。TのサポートはUにおけるVの補集合である。したがって

${\displaystyle \operatorname {supp} \,T=U\setminus \bigcup \left\{V\mid \rho _{VU}T=0\right\}.}$

分布Tは、そのサポートがコンパクト集合である場合にコンパクトサポートを持つ。具体的には、すべてのテスト関数に対して、 Uのコンパクト部分集合Kが存在し、${\displaystyle \varphi }$そのサポートは完全にKの外側にあるので、 T があります(${\displaystyle \varphi }$) = 0。コンパクト台を持つ分布は、空間 C ^∞ ( U ) 上で連続線形汎関数を定義します。C ^∞ ( U )上の位相は、テスト関数の列が${\displaystyle \varphi }$_{k が}0 に収束するのは、すべての導関数が 0 に収束する場合に限る。${\displaystyle \varphi }$_{k は}Uのすべてのコンパクト部分集合上で一様に 0 に収束します。逆に、この空間上のすべての連続線形汎関数はコンパクト台を持つ分布を定義することが示せます。それぞれの位相が与えられた空間における C _c ^∞ ( U ) から C ^∞ ( U ) への埋め込みは連続であり、像は稠密です。したがって、コンパクト台を持つ分布は、C _c ^∞ ( U ) から C ^∞ ( U ) に拡張できる分布と同一視できます。

f  ∈ S ′( R ⁿ ) が緩増加分布である場合、定数C > 0 と正の整数MおよびNが存在し、すべてのシュワルツ関数に対して次の式が成り立つ。   ${\displaystyle \varphi }$ ∈ S ( R ⁿ ) 

${\displaystyle \langle f,\varphi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\varphi ).}$

この推定値と関数解析のいくつかの手法を用いることで、連続的にゆっくりと増加する関数Fと多重指数αが存在し、

${\displaystyle f=D^{\alpha }F.\,}$

f  ∈  D′( R ⁿ )の場合、任意のコンパクト集合K  ⊂ R ⁿに対して、 R ⁿ内にコンパクト台を持つ連続関数F ( K自体よりも大きな集合上にも存在する可能性がある) と多重指数αが存在し、 C _c ^∞ ( K ) 上でf = D ^α Fとなる。これは、局所化の議論によって、先に引用した緩増加分布に関する結果から導かれる。   

f が単一点 { P }でサポートを持つ場合、 f は実際にはPにおけるδ関数の分布微分の有限線形結合である。つまり、整数mと多重指数| α | ≤ mに対する複素定数a _αが存在し、  

${\displaystyle f=\sum \nolimits _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$

ここでτP_は並進演算子である。

上記の定理の別バージョンは、次の意味で局所的に成り立つ（Rudin 1991 ）。TをU上の分布とすると、任意の多重指数αに対して、次の連続関数g _{αを見つけることができる。}

${\displaystyle \displaystyle T=\sum \nolimits _{\alpha }D^{\alpha }g_{\alpha }}$

また、Uの任意のコンパクト部分集合K は、有限個のg _αのサポートとのみ交差します。したがって、 Uにコンパクトサポートを持つ与えられた滑らかな関数fのTの値を評価するには、有限個のg _αだけが必要です。したがって、上記の無限和は分布として適切に定義されます。分布Tが有限次数である場合、有限個の g α のみが非ゼロになるようにg _{α を選択できます。}