先史時代 最も初期の数え方は指を使うもので、指数え と呼ばれる習慣である。[ 1 ] 正の字 や、5や10を表すために手を使うことで模倣されている。さらに、世界のほとんどの数体系は10、5、20で構成されていることから、数える際に手足を使うことが示唆される。言語を超えて、これらの量を表す用語は語源的に 手足に基づいている。最後に、量を認識する脳の部分 と指を「認識する」部分（指認識）の間には神経学的な つながりがあり、これは人間が数える際に手を使うように神経学的に素質を持っていることを示唆している。 [ 5 ] 考古学的証拠 には残されていないが、先史時代の手のステンシル の中には指数えと解釈されているものもある。指が作り出すことができる32種類のパターンのうち、フランスのコスケール洞窟 で見られるのは5種類（通常1から5まで数えるときに使われるもの）だけです。
指の容量と持続性には限界があるため、指による計数は 通常、木材やその他の素材で作られた計数器など、容量と持続性の高い装置によって補完される。木、骨、石に刻まれた計数マークは 、少なくとも4万年前の考古学的記録に現れる。これらの計数マークは、日数や月の周期などの時間を数えるため、または動物やその他の貴重な 商品 の数などの数量を記録するために使用された可能性がある。しかし、現在、表面に刻まれた先史時代の線状マークの社会的目的や用途を確実に判断できる診断技術はなく、現代の民族誌的例は、同様の遺物 が非数値的な目的で作られ使用されていることを示している。
レボンボ骨は、 南アフリカ とエスワティニの 間にあるレボンボ山脈 で発見された、刻み目のあるヒヒの腓骨 です。この骨は42,000年前のものとされています。『普遍数学書』 ページ 、 」 ことを示唆しています。しかし、骨は明らかに片端が折れているため、29個の切り込みはより大きな数列の一部を表しているにすぎない可能性があります。オーストラリアなどの同時代の社会からの同様の遺物も、このような切り込みは数字を意味するのではなく、記憶術 や慣習的な機能を果たす可能性があることを示唆しています。
イシャンゴ骨 は、おそらく彫刻のために片方の端に鋭利な石英 片が取り付けられた遺物です。これは25,000年前のものとされています。 この遺物は、道具の長さに沿って3列に彫られた、集計記号と解釈される一連の記号があることから、最初は集計棒だと考えられていました。最初の列は10から20までの 素数 （つまり19、17、13、11）と解釈され、2番目の列は10と20に1を加えたり引いたりしているように見えます（つまり9、19、21、11）。3番目の列には、半分と2倍の量が含まれている可能性がありますが、これらは一貫性がありません。ジャン・ド・ハインツェリンなどの研究者は、このような数字が偶然に生成される統計的確率に注目し、切り込みのグループ分けは単純な数え方をはるかに超えた数学的理解を示していると示唆しています。また、これらの印は、ハンドルの握りやすさを向上させるなど実用的な目的、あるいは数学とは関係のない何らかの理由で付けられた可能性も示唆されている。これらの切り込みの目的と意味については、学術文献で議論が続いている。
粘土製のトークン ウルク時代 ：スーサ出土の会計トークンが束になった球状の封筒。 ルーブル美術館所蔵。 記録を残すための最古の文字は、小さな粘土製のトークンを使用した会計システムから生まれた。トークンとされる最古の遺物は、紀元前1万年に遡るシリアのユーフラテス川上流域のテル・アブ・フレイラ遺跡 [ 16 ] ザグロス山脈の ガンジ・ダレ・テペ 遺跡[ 17 ]
「羊2頭」を表す記録を作成するために、1単位を表すトークンが2つ使用されました。異なる種類のオブジェクトも異なる方法で数えられました。ほとんどの離散オブジェクト（羊などの動物を含む）で使用される計数システムでは、1つのアイテム（単位）用のトークン、10個のアイテム（10）用の別のトークン、6つの10（60）用の別のトークンなどがありました。60進法では、10または6のより大きなグループを記録するために、異なるサイズと形状のトークンが使用されました。 トークンの形状とサイズのさまざまな組み合わせによって、異なる計数システムがエンコードされました。考古学者のデニス・シュマント＝ベセラは 、数字に使用される単純な幾何学的トークンには、列挙される商品を識別する複雑なトークンが伴っていたと主張しています。羊などの有蹄類の場合、この複雑なトークンは、4分割された円がマークされた平らな円盤でした。しかし、複雑なトークンの使用とされるものには、いくつかの理由から批判もされています。
嚢胞および数値印象と併用する トークンが紛失したり、種類や数量が改ざんされたりしないように、トークンはブッラ（bulla ）と呼ばれる中空の球状の粘土製の封筒に入れられました。ブッラの表面には所有者印と証人印が押印され、表面は何も押印されないままにされることもありました。トークンが入ったブッラが封印された後にトークンを検証する必要がある場合は、ブッラを破って開ける必要がありました。紀元前4千年紀半ば頃、トークンをブッラの外側に押し付けてから封印するようになりました。これはおそらく、トークンを見るためにブッラを破る必要がないようにするためだったと考えられます。このプロセスにより、ブッラの表面に、中に封入されたトークンの大きさ、形、数量に対応する外部の刻印ができました。やがて、ブッラの内側のトークンと外側の刻印によって生じる冗長性が認識され、平らな粘土板への刻印が数値情報を記録する好ましい方法となりました。刻印とトークンの対応関係、およびそれらが構成する形態の年代は、ピエール・アミエなどの学者によって最初に発見され、発表されました。
数字の痕跡が古代の数字についての洞察を与えた頃には、シュメール人は すでに複雑な算術を 発達させていた。計算はトークン、そろばん 、または計算盤 のいずれかを使用して行われたと考えられる。
数字記号と数字
紀元前4千年紀中期から後期にかけて、ブッラに用いられていた数字の刻印は、粘土に丸いスタイラス を異なる角度で押し当てて数字記号に用いられる様々な形を作り出した原楔形文字の数字を刻んだ数字板に置き換えられた。[ 27 ] ウルク 市の初期の原楔形文字表記の分析から理解されるように、12種類以上の異なる計数システムが存在したこれには、ほとんどの個別の物体（動物、道具、人など）を数えるための一般的なシステムと、チーズや穀物製品、穀物の体積（小数 単位を含む）、土地の面積、時間を数えるための特殊なシステムが含まれていた。対象物指定による計数は珍しいことではなく、世界中の現代人にも見られることが記録されています。このような現代のシステムは、古代シュメールの数体系がどのように機能していたかを理解する上で良い手がかりとなります。
アララフ 出土の中期バビロニア時代の法律文書（封筒入り）紀元前2700年頃、丸いスタイラスは、楔形の印影を生み出す葦のスタイラスに取って代わられ始め、これが楔形文字の 名称の由来となった。トークン、数字の印影、原楔形数字の場合と同様に、楔形数字は今日でも、それが表す数値が曖昧な場合がある。この曖昧さは、対象指定型の計数システムの基本単位が常に理解されているとは限らないことと、シュメールの数字体系には整数と分数、あるいは高い指数と低い指数を区別するための小数点のような慣習がなかったことに起因する。紀元前2100年頃、位取りの ある共通の六十進法が開発され、対象指定型の計数システム間の変換を助けるために使用された。六十進法の 数体系の十進法版である、今日ではアッシリア・バビロニア共通数体系と呼ばれるものは、紀元前2千年紀に発展し、アッカド人やエブラ人などのセム系民族の影響力の増大を反映している。今日では六十進法ほど知られていないが、最終的には、特にシュメール文化の影響力が衰え始めると、この地域全体で使用される支配的なシステムとなった。
六十進法は、トークン、数字の刻印、原楔形文字の数字記号に特徴的な、10と6の交互の基数を保持した混合基数体系でした。六十進法は、商業だけでなく、天文学やその他の計算にも使用されました。 アラビア数字 では、六十進法は現在でも時間（1分あたりの秒数、1時間あたりの分数）や角度（度数 ）を数えるのに使用されています。
ローマ数字 ローマ数字は紀元前1千年紀半ば頃にエトルリアの記号から発展した。 エトルリアの体系では、記号1は1本の縦線、記号10は2本の垂直に交差した正の字、記号100は3本の交差した正の字（現代の星印*に似た形）であった。5（逆V字型）と50（逆V字型を1本の縦線で分割したもの）は10と100の記号の下半分から派生した可能性があるが、ローマ数字の100を表す記号Cが、その星印型のエトルリアの原型からどのように派生したかについては、説得力のある説明はない。
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