大きさ（数学）

数学では、数学的対象の大きさまたはサイズは、その対象が同じ種類の他の対象よりも大きいか小さいかを決定する特性です。より正式には、対象の大きさは、それが属する対象クラスの順序付け(またはランキング)の結果の表示です。概念としての大きさは古代ギリシャにまで遡り、ある対象から別の対象までの距離の尺度として適用されてきました。数値の場合、数値の絶対値は、数値とゼロの間の単位の尺度として一般的に適用されます。

ベクトル空間では、ユークリッドノルムは空間内の 2 点間の距離を定義するために使用される大きさの尺度です。物理学では、大きさは量または距離として定義できます。大きさの桁は通常、1 つの数値と別の数値の 10 進スケール上の桁の間の距離の単位として定義されます。

古代ギリシャ人は大きさをいくつかの種類に区別していました^[1]。

• 正の分数
• 線分（長さ順）
• 平面図形（面積順）
• 固形物（体積順）
• 角度（角度の大きさ順）

彼らは、最初の2つは同じではない、あるいは同型の絶対値システムでさえないことを証明した。^[2]彼らは負の絶対値は意味があるとは考えておらず、絶対値は今でも主に、ゼロが最小のサイズであるか、すべての可能なサイズよりも小さい場合の文脈で使用されている。

数値 の大きさは通常、絶対値または絶対値と呼ばれ、 と表記されます。^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|}$

実数 rの絶対値は次のように定義される: ^[4]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.}$

絶対値は、実数直線上のゼロからの数の距離と考えることもできます。たとえば、70 と -70 の絶対値はどちらも 70 です。

複素数z は、 複素平面と呼ばれる2 次元空間における点Pの位置として考えることができます。zの絶対値 (または係数)は、その空間の原点からのPの距離と考えることができます。z = a + biの絶対値の式は、2 次元ユークリッド空間のベクトルのユークリッドノルムの式に似ています。^[5]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

ここで、実数aとb はそれぞれzの実部と虚部です。たとえば、−3 + 4 iの絶対値は です。あるいは、複素数zの大きさは、複素数 とその複素共役の積の平方根として定義することもできます。ここで、任意の複素数 に対して、その複素共役 は です。 ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$${\displaystyle {\bar {z}}}$${\displaystyle z=a+bi}$${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

（どこ）。 ${\displaystyle i^{2}=-1}$

ユークリッドベクトルは、ユークリッド空間における点Pの位置を表します。幾何学的には、空間の原点 (ベクトルの尾) からその点 (ベクトルの先端) への矢印として記述できます。数学的には、n次元ユークリッド空間のベクトルx は、 n個の実数 ( Pの直交座標)の順序付きリストとして定義できます: x = [ x ₁ , x ₂ , ..., x _n ]。その大きさまたは長さは で表され、^{[6]最も一般的には}ユークリッドノルム(またはユークリッド長)として定義されます: ^[7]${\displaystyle \|x\|}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

たとえば、3次元空間では、[3, 4, 12] の大きさは 13 です。これは、ベクトルとそれ自身の ドット積の平方根 に等しいからです。${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

ベクトルのユークリッドノルムは、ユークリッド距離、つまりベクトルの先端と末尾の間の距離の特殊なケースです。ベクトルxのユークリッドノルムには、2 つの類似した表記法が使用されます。

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

2 番目の表記法の欠点は、スカラーの絶対値や行列の行列式を表すためにも使用できるため、あいまいさが生じる点です。

定義により、すべてのユークリッド ベクトルは大きさを持ちます (上記を参照)。ただし、抽象ベクトル空間内のベクトルは大きさを持ちません。

ユークリッド空間のようなノルムが与えられたベクトル空間はノルムベクトル空間と呼ばれる。^[8]ノルムベクトル空間におけるベクトルvのノルムはvの大きさと考えることができる。

擬似ユークリッド空間では、ベクトルの大きさはそのベクトルの二次形式の値です。

マグニチュードを比較する場合、対数スケールがよく使用されます。例としては、音の大きさ(デシベルで測定)、星の明るさ、地震の強さのリヒタースケールなどがあります。対数マグニチュードは負になることもあります。自然科学では、対数マグニチュードは通常、レベルと呼ばれます。

桁数は、数値 (通常は測定値) の差が 10 倍であることを表します。つまり、小数点の位置が 1 桁異なることを意味します。

数学において、測度の概念は、幾何学的測度（長さ、面積、体積）と、大きさ、質量、事象の確率などの他の共通概念を一般化および形式化したものである。これらの一見異なる概念には多くの類似点があり、単一の数学的文脈で一緒に扱うことができる場合が多い。測度は確率論、積分理論の基礎であり、電荷の場合のように、負の値をとるように一般化できる。測度の広範囲にわたる一般化（スペクトル測度や射影値測度など）は、量子物理学や物理学全般で広く使用されている。

この概念の背後にある直感は、アルキメデスが円の面積を計算しようとした古代ギリシャにまで遡ります。^{[9] [10]}しかし、測度論が数学の一分野となったのは19世紀後半から20世紀初頭になってからのことでした。現代の測度論の基礎は、エミール・ボレル、アンリ・ルベーグ、ニコライ・ルーザン、ヨハン・ラドン、コンスタンタン・カラテオドリ、モーリス・フレシェなどの著作の中に築かれました。

• 数感覚
• ベクトル表記
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