無理数

無理数の存在を最初に証明したのはピタゴラス派の学者（おそらくメタポントゥムのヒッパソス）^{[ 4 ]}で、彼は五芒星の辺を識別しているときに無理数を発見したと考えられている^{[ 5 ]}。 ピタゴラス派の方法では、これらの長さの一方にも他方にも均等に収まる、十分に小さく分割不可能な単位が存在するはずだと主張していた。しかし、紀元前5世紀のヒッパソスは、共通の測定単位は存在せず、そのような存在の主張は矛盾であると推論することができた。彼は、二等辺直角三角形の斜辺が実際に一辺と比例するとすれば、その測定単位で測定された長さの一方が奇数かつ偶数でなければならないが、それは不可能であることを示すことによってこれを行った。彼の推論は次のとおりである。

• 辺の長さが整数a、b、cで​​ある二等辺直角三角形から始めます(二等辺三角形なのでa = bです)。斜辺と脚の比はc : bで表されます。
• a、b、cは可能な限り最小の項（つまり、共通因数を持たない項）で表されていると仮定します。
• ピタゴラスの定理より、c ² = a ² + b ² = b ² + b ² = 2 b ²。(三角形は二等辺三角形なので、a = bです)。
• c ² = 2 b ²なので、c ²は 2 で割り切れ、したがって偶数です。
• c ²は偶数なので、c は偶数でなければならない。
• cは偶数なので、cを2で割ると整数になります。この整数をyとします（c = 2y ）。
• c = 2 yの両辺を二乗すると、 c ² = (2 y ) ²、つまりc ² = 4 y ²となります。
• 最初の式 ( c ² = 2 b ^{2 ) で}c ²の代わりに4 y ^{2を代入すると、4} y ² = 2 b ²となります。
• 2で割ると、2 y ² = b ²となります。
• y^は整数であり、2y² = ^b²なので、b²は²で割り切れ、したがって偶数です。
• b ²は偶数なので、b は偶数でなければならない。
• 先ほど、 bとcは両方とも偶数でなければならないことを示した。したがって、それらは2という共通因数を持つ。しかし、これは共通因数を持たないという仮定と矛盾する。この矛盾は、cとbが両方とも整数であることはあり得ないこと、したがって2つの整数の比として表せない数の存在を証明している。^{[ 6 ]}

ギリシャの数学者たちは、この比較不可能な量の比をアロゴス、つまり表現不可能と呼んだ。しかし、ヒッパソスの努力は称賛されなかった。ある伝説によれば、彼は航海中にこの発見をし、その後、宇宙のすべての現象は整数とその比に還元できるという教義を否定する要素を宇宙に生み出したとして、仲間のピタゴラス派によって海に投げ込まれたという。^{[ 7 ]}別の伝説では、ヒッパソスはこの発見のために追放されただけだとされている。ヒッパソス自身にとってどのような結果になったにせよ、彼の発見はピタゴラス数学にとって非常に深刻な問題となった。なぜなら、それは数と幾何学は切り離せないという前提、つまり彼らの理論の基礎を打ち砕いたからである。

比較不可能な比率の発見は、ギリシャ人が直面していたもう一つの問題、すなわち離散的なものと連続的なものの関係を示唆していた。これは、数量が離散的で、与えられた大きさの有限個の単位から構成されているという概念に疑問を呈したエレアのゼノンによって明らかにされた。過去のギリシャの概念では、数量は必然的にそうでなければならないとされていた。「整数は離散的な対象を表し、比較可能な比率は離散的な対象の2つの集合間の関係を表す」 ^{[ 8 ]}からである。しかしゼノンは、実際には「数量」は一般的に単位の離散的な集合ではないことを発見した。これが比較不可能な[数量]の比率が現れる理由である。「数量は言い換えれば連続的である」^{[ 8 ]} 。これは、当時の一般的な概念に反して、いかなる数量に対しても分割不可能な最小の測定単位は存在し得ないことを意味する。実際、これらの数量の分割は必然的に無限でなければならない。例えば、線分を考えてみましょう。この線分を半分に分割し、その半分をさらに半分に分割し、さらにその半分を半分に分割する、といった具合に分割を繰り返すことができます。分割できる半分が常に存在するので、このプロセスは無限に続けることができます。線分を半分に分割する回数が増えるほど、測定単位はゼロに近づきますが、完全にゼロになることはありません。ゼノンが証明しようとしたのはまさにこのことでした。彼は、当時の数学的思考に内在する矛盾を示す4つのパラドックスを定式化することで、これを証明しようとしました。ゼノンのパラドックスは当時の数学的概念の欠陥を正確に示しましたが、代替案の証明とはみなされませんでした。ギリシャ人の考えでは、ある見解の妥当性を否定することが必ずしも別の見解の妥当性を証明することにつながるわけではなく、したがって、さらなる調査が必要でした。

次の段階はクニドスのエウドクソスによって踏み出され、彼は比較可能な量と比較不可能な量を考慮に入れた新しい比例理論を体系化した。彼の考えの中心は、大きさと数の区別であった。大きさは「…数ではなく、線分、角度、面積、体積、時間など、私たちが言うところの連続的に変化する実体を表すものであった。大きさは、4から5のようにある値から別の値へと飛び移る数とは対照的であった」^{[ 9 ]} 。数は何らかの最小の分割不可能な単位から構成されるのに対し、大きさは無限に縮小可能である。大きさには定量的な値が割り当てられなかったため、エウドクソスは、比をその大きさで定義し、比例を2つの比の間の等式として定義することにより、比較可能な比と比較不可能な比の両方を説明することができた。彼は、方程式から定量的な値（数）を取り除くことで、無理数を数として表現しなければならないという落とし穴を回避した。 「エウドクソスの理論は、ギリシャの数学者たちが、互いに通約不可能な比率に必要な論理的基礎を提供することによって、幾何学において大きな進歩を遂げることを可能にした。」^{[ 10 ]}この通約不可能性は、ユークリッドの『原論』第10巻第9命題で扱われている。無理数と有理数の比率の両方を考慮した比例の理論をエウドクソスが開発するまで、無理数の強力な数学的基礎は築かれていなかった。^{[ 11 ]}

数と大きさの区別ができた結果、幾何学は不可分な比率を考慮できる唯一の方法となった。それまでの数学的基礎は不可分性の概念とまだ相容れなかったため、ギリシャ人は代数などの数学的概念から離れ、ほぼ完全に幾何学に焦点を移した。実際、多くの場合、代数的概念は幾何学的用語に再定式化された。これが、私たちが今でもx ²とx ^3をx の2 乗とxの3 乗ではなく、 xの 2 乗とxの 3 乗として捉えている理由かもしれない。また、不可分な大きさに関するゼノンの研究にとって重要だったのは、以前のギリシャ数学の基礎が崩壊した結果生じた演繹的推論への根本的な焦点であった。既存の理論内の基本的な概念が現実と矛盾しているという認識は、その理論の根底にある公理と仮定の完全かつ徹底的な調査を必要とした。この必要性から、エウドクソスは、一種の背理法である徹底的証明法を開発し、 「明示的な公理に基づいて演繹的な組織を確立し」、さらに「証明のために演繹的推論に頼るという以前の決定を強化した」^{[ 12 ]} 。この徹底的証明法は、微積分学の創成における最初のステップである。

キュレネのテオドロスは17までの整数の無理数の無理性を証明したが、おそらく彼が用いた代数学が17の平方根には適用できなかったため、そこで止めたのだろう。^{[ 13 ]}

平方根などの無理数を含む幾何学的および数学的問題は、インドのヴェーダ時代に非常に早くから取り組まれていました。そのような計算については、サムヒター、ブラーフマナ、シュルバ・スートラ（紀元前800年以前）に言及されています。 ^{[ 14 ]}

インドの数学者たちは、紀元前7世紀にマナヴァ（紀元前750年頃- 690年頃）が2や61などの数の平方根は正確には決定できないと信じていたことから、無理数の概念を暗黙のうちに受け入れていたと示唆されている。 ^{[ 15 ]}しかし、歴史家のカール・ベンジャミン・ボイヤーは、「そのような主張は十分に裏付けられておらず、真実である可能性は低い」と述べている。^{[ 16 ]}

その後、インドの数学者たちは論文の中で、加算、減算、乗算、有理化、平方根の分離と抽出を含む無理数の算術について記述した。^{[ 17 ]}

ブラフマグプタ（西暦628年）やバースカラ1世（西暦629年）といった数学者たちは、この分野に貢献し、後世の数学者たちも同様の功績を残した。12世紀には、バースカラ2世がこれらの公式の一部を評価し、その限界を指摘して批判した。

14世紀から16世紀にかけて、サンガマグラーマのマダヴァとケーララの天文学と数学の学派は、πや特定の三角関数の無理数など、いくつかの無理数の無限級数を発見した。ジェーシュタデーヴァは、ユクティバーサーでこれらの無限級数の証明を提供した。^{[ 18 ]}

中世には、イスラム教徒の数学者による代数学の発展により、無理数を代数的対象として扱うことが可能になった。^{[ 19 ]}中東の数学者たちはまた、「数」と「大きさ」の概念を実数というより一般的な概念に統合し、ユークリッドの比の概念を批判し、合成比の理論を発展させ、数の概念を連続的な大きさの比に拡張した。^{[ 20 ]}ペルシアの数学者アル・マハニ（没年874/884）は、 『原論』第10巻の注釈で、二次無理数と三次無理数を調べ、分類した。彼は、無理数として扱った有理数と無理数の大きさの定義を提供した。彼はそれらを自由に扱ったが、幾何学的な用語で次のように説明した。^{[ 20 ]}

「例えば、10、12、3%、6%などと言う場合、その値は定量的に表現できるため、有理数（大きさ）となります。有理数でないものは無理数であり、その値を定量的に表現することは不可能です。例えば、10、15、20などの平方数ではない数の平方根や、立方数ではない数の辺などが挙げられます。」

ユークリッドが線として量を概念化したのとは対照的に、アル・マハニは整数と分数を有理量、平方根と立方根を無理量とみなした。また、無理量には次のような性質があるとし、無理性の概念に算術的なアプローチを導入した。 ^{[ 20 ]}

「それらの和または差、あるいは有理数へのそれらの加算の結果、あるいはこの種の数を無理数から減算した結果、あるいは有理数を無理数から減算した結果。」

エジプトの数学者アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラム（850年頃- 930年）は、無理数を二次方程式の解、または平方根や4乗根の形の方程式の係数として初めて受け入れた人物である。^{[ 21 ]} 10世紀には、イラクの数学者アル・ハーシミが、乗算、除算、その他の算術関数を考察し、無理数に対する一般的な証明（幾何学的証明ではなく）を提供した。^{[ 20 ]}

これらの概念の多くは、12世紀のラテン語訳以降のある時期にヨーロッパの数学者によって最終的に受け入れられました。12世紀にイスラム相続法を専門としたフェズ出身のモロッコの数学者アル・ハッサールは、分子と分母を水平線で区切る分数棒の使用について最初に言及しました。彼の議論の中で彼は次のように書いています。「…、たとえば、5分の3と5分の3を書くように言われたら、次のように書きます。${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$[ ^{22 ]この同じ分数表記は、} 13世紀のレオナルド・フィボナッチの著作にもすぐに登場する。 ^{[ 23 ]}

17 世紀には、虚数がアブラハム・ド・モアブル、そして特にレオンハルト・オイラーの手によって強力な道具となった。19世紀に複素数論が完成すると、無理数が代数的数と超越数に区別され、超越数の存在が証明され、ユークリッド以来ほとんど無視されていた無理数論の科学的研究が復活した。1872 年に、カール・ワイエルシュトラス(彼の弟子エルンスト・コサックによる)、エドゥアルト・ハイネ(クレレの日記、74)、ゲオルク・カントール(アナレン、5)、リヒャルト・デデキントの理論が出版された。メレーは1869年にハイネと同じ出発点に立ったが、この理論は一般的に1872年のものとされている。ワイエルシュトラスの方法は1880年にサルヴァトーレ・ピンシェルレによって完全に提示され^{[ 24 ]}、デデキントの方法は著者の後期の著作(1888)とポール・タンネリー(1894)の支持によってさらに注目を集めた。ワイエルシュトラス、カントール、ハイネは理論を無限級数に基づいて構築しているが、デデキントはすべての有理数の体系における切断(シュニット)の考えに基づいて、それらを特定の特性を持つ2つのグループに分離している。この主題は後にワイエルシュトラス、レオポルド・クロネッカー(クレレ、101)、シャルル・メレーによって貢献された。

連分数は、無理数と密接に関連しており（1613年にカタルディによって提唱された）、オイラーの手によって注目され、19世紀初頭にはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの著作によって広く知られるようになった。ディリクレもまた、この分野の一般理論に貢献しており、その応用分野にも多くの貢献者が名を連ねている。

ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは(1761 年) π は有理数にはなり得ず、nが有理数であればe ⁿは無理数である( n = 0 の場合を除く) ことを証明した。^{[ 25 ]}ランベルトの証明はしばしば不完全であると言われるが、現代の評価では満足のいくものとして支持されており、実際、その時代としては異例なほど厳密である。アドリアン＝マリー・ルジャンドル(1794 年) は、ベッセル＝クリフォード関数を導入した後、π ²が無理数であることを示す証明を提供し、そこから π も無理数であることが直ちに導かれる。超越数の存在は、最初にリウヴィル (1844 年、1851 年) によって確立された。その後、ゲオルク・カントール(1873 年)は、実数のすべての区間に超越数が含まれることを示す別の方法でその存在を証明した。シャルル・エルミート（1873年）は、 eが超越数であることを最初に証明し、フェルディナント・フォン・リンデマン（1882年）は、エルミートの結論から出発して、πについても同様のことを証明した。リンデマンの証明は、ワイエルシュトラス（1885年）によって大幅に簡略化され、さらにダフィット・ヒルベルト（1893年）によって簡略化され、最終的にアドルフ・フルヴィッツとポール・ゴルダンによって初等的なものとなった。^{[ 26 ]}  

2の平方根はおそらく最初に無理数であることが証明された数である。^{[ 27 ]}黄金比（${\displaystyle \varphi }$は、よく知られた二次無理数の一つです。これは、二次方程式の正の解として定義できます。${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$そして、その価値は${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$[ ^{28 ]}完全平方数でないすべての自然数の平方根は無理数であり、その証明^は二次無理数の中に見出すことができる。

2の平方根が無理数であることの証明は、算術の基本定理を用いて一般化できます。この定理は、すべての整数は一意の素因数分解を持つと主張しています。これを用いると、有理数が整数でない場合、その整数乗は整数にはなり得ないことを示すことができます。なぜなら、既約分数では、分母に素数が存在し、その素数が分子を何乗しても割り切れないからです。したがって、ある整数が別の整数のk乗でない場合、その最初の整数のk乗根は無理数です。

おそらく、無理数であることを証明するのが最も簡単な数は、特定の対数でしょう。ここに、log _{2 3 が無理数であることを示す}背理法による証明を示します(log ₂ 3 ≈ 1.58 > 0)。     

log ₂  3 が有理数であると仮定します。ある正の整数mとnに対して、次のようになります。

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}.}$

したがって、

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}$

2を任意の正の整数乗にすると偶数になり（ 2で割り切れるため）、 3を任意の正の整数乗にすると奇数になります（素因数の中に2は含まれないため ）。明らかに、整数が同時に奇数かつ偶数であることはあり得ません。これは矛盾です。私たちが立てた唯一の仮定は、log ₂ 3が有理数である（したがって、 n ≠ 0 の整数m / n の商として表せる）というものでした。この矛盾は、この仮定が誤りであることを意味します。つまり、log _{2 3は無理数であり、} n ≠ 0 の整数m / nの商として表すことは決してできません。     

log ₁₀  2 のようなケースも同様に扱うことができます。

実代数的数は、多項式方程式の実数解である。

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

ここで係数は${\displaystyle a_{i}}$は整数であり、${\displaystyle a_{n}\neq 0}$無理代数的数の例としては、x ₀  =  (2 ^1/2  +  1) ^1/3があります。これは明らかに代数的数です。なぜなら、これは整数多項式の根だからです。${\displaystyle (x^{3}-1)^{2}=2}$これは、${\displaystyle (x^{6}-2x^{3}-1)=0}$この多項式には有理根がありません。有理根定理によれば、可能な値は ±1のみですが、x₀_は1より大きいからです。したがって、x₀_は無理数代数です。整数多項式は可算個存在するので、代数数も可算個存在します。

ほとんどすべての無理数は超越数です。例としては、e ^rや π ^rがあり、これらはゼロでないすべての有理数r に対して超越数となります。   

代数的数は実数の部分体であるため、超越数と代数的数を組み合わせることで、多くの無理実数を構成することができます。例えば、 3π  +  2、π  + √2、e√3は無理数（そして超越数）です。