平方根

数学において、数xの平方根とは、となる数y のことです。言い換えると、その平方（数 y にそれ自身を掛け合わせた値、つまり）がx となる数yのことです。^[1]たとえば、4 と −4 は であるため、16 の平方根です。 ${\displaystyle y^{2}=x}$${\displaystyle y\cdot y}$${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$

すべての非負の 実数 x は、一意の非負の平方根を持ちます。これは主平方根または単に平方根（定冠詞付き、下記参照）と呼ばれ、 で表されます。ここで、記号「 」は根号^[2]または基数と呼ばれます。たとえば、9 の主平方根が 3 であることを表すには、 と書きます。平方根が考慮されている項（または数）は、被導関数と呼ばれます。被導関数は、根号の下の数または式であり、この場合は 9 です。非負のxの場合、主平方根はのように指数表記で書くこともできます。 ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$${\displaystyle x^{1/2}}$

すべての正の数 x には 2 つの平方根があります: (正) と(負)。この 2 つの根は、± 記号を使用してと簡潔に表記できます。正の数の主平方根は 2 つの平方根のうちの 1 つに過ぎませんが、主平方根を指すために「平方根」という呼称がよく使用されます。^{[3] [4]}${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$

負の数の平方根は、複素数の枠組みの中で議論することができます。より一般的には、平方根は、数学的対象の「平方」の概念が定義されているあらゆるコンテキストで考えることができます。これには、関数空間や正方行列、その他の数学的構造が含まれます。

イェール大学バビロニアコレクションの粘土板YBC 7289は紀元前1800年から紀元前1600年の間に作成され、2本の対角線が交差する正方形の上に、それぞれ1;24,51,10と0;42,25,35の60進数の数字が示されています。 ^[5] (1;24,51,10) 60進数は1.41421296に相当し、小数点以下5桁まで正確です (1.41421356...)。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

リンド数学パピルスは、紀元前1650年に作成された、以前のベルリン・パピルスと他の文書（おそらくカフン・パピルス ）のコピーであり、エジプト人が反比例法で平方根を抽出した方法を示しています。^[6]

古代インドでは、平方と平方根の理論的および応用的な側面に関する知識は、紀元前800～500年頃（おそらくはるか以前）のスルバ・スートラ^{と同じくらい古いものでした。 [7]} 2と3の平方根の非常に良い近似値を求める方法が、バウダヤナ・スルバ・スートラに示されています。^[8] 紀元前600年頃のアパスタンバは、小数点以下5桁まで正確な の驚くほど正確な値を与えています。^{[9] [10] [11]}アーリヤバータは、アーリヤバーティヤ（セクション2.4）で、桁数の多い数の平方根を求める方法を与えています。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$

古代ギリシャ人には、完全な平方でない正の整数の平方根は常に無理数、つまり2 つの整数の比として表すことができない数(つまり、 と正確に書くことができない数、ここでmとnは整数) であることが知られていました。これはユークリッドの定理 X, 9であり、紀元前 380 年頃のテアイテトスによるものであることはほぼ確実です。^[12] 2 の平方根 の特定のケースを含め、無理数の発見はピタゴラス学派と広く関連しています。^{[13] [14]}一部の報告ではこの発見をヒッパソスに帰していますが、一次資料の希少性と同胞団の秘密主義のため、具体的な発見者は不明です。^{[15] [16]これは、ちょうど}一辺が 1 の正方形の対角線の長さです。 ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$

紀元前202年から紀元前186年にかけて漢代初期に書かれた中国の数学書『算用書』では、平方根は「余剰と不足」法を使って近似されており、「余剰と不足を除数として組み合わせ、不足分子に余剰分母を掛け、余剰分子に不足分母を掛けたものを被除数として組み合わせる」と述べられている^{[17] 。}

複雑なRで書かれた平方根の記号は、レギオモンタヌス（1436-1476）によって発明されました。ジェロラモ・カルダーノの『アルス・マグナ』では、平方根を表す基数としてRが使用されました。^[18]

数学の歴史家DE スミスによると、平方根を求めるアリヤバータの方法は、 1546 年にカタネオによってヨーロッパで初めて導入されました。

ジェフリー・A・オークスによれば、アラブ人は「 جذر」（jaḏr、jiḏr、ǧaḏr、ǧiḏrなどと様々に翻字される、「根」）という単語の最初の文字であるjīm/ĝīm（ج）の文字を、その頭文字（ﺟ）で数字の上に置いて平方根を表した。jīmの文字は現在の平方根の形に似ている。この文字の使用は、12世紀末のモロッコの数学者イブン・アル・ヤサミンの著作にまで遡る。^[19]

平方根を表す記号「√」は、1525年にクリストフ・ルドルフの『コス』で初めて印刷物に使用されました。^[20]

主な平方根関数(通常は単に「平方根関数」と呼ばれます) は、非負の実数の集合をそれ自体にマッピングする関数です。幾何学的に言えば、平方根関数は正方形の面積をその辺の長さにマッピングします。 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

xの平方根は、 xが2 つの完全な平方の比として表すことができる有理数である場合に限り、有理数です。(これが無理数であることの証明については2 の平方根を、すべての非平方自然数の証明については2 次無理数を参照してください。)平方根関数は、有理数を代数数にマッピングします。代数数は、有理数の スーパーセットです。

すべての実数xについて、（絶対値を参照）。 $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

すべての 非負の実数xとyに対して、$${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$$${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

平方根関数は、すべての非負のxに対して連続であり、すべての正のxに対して微分可能です。f が平方根関数を表す場合、その導関数は次のように与えられます。$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

x = 0付近のテイラー級数は| x | ≤ 1で収束し、次のように表される。 ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

非負数の平方根は、ユークリッドノルム（および距離）の定義や、ヒルベルト空間などの一般化に使用されます。また、確率論や統計学で使用される標準偏差の重要な概念を定義します。2次方程式の解の公式で主に使用されます。平方根に基づく2次体と2次整数環は代数学で重要であり、幾何学でも使用されます。平方根は、他の数式や多くの物理法則に頻繁に登場します。

正の数には、正と負の 2 つの平方根があり、これらは互いに反対です。正の整数の平方根について話す場合、通常は正の平方根を意味します。

整数の平方根は代数的整数、より具体的には二次整数です。

正の整数の平方根は、その素因数の平方根の積である。なぜなら、積の平方根は因数の平方根の積だからである。 因数分解において奇数乗となる素数の根だけが必要であるためである。より正確には、素因数分解の平方根は${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$$${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

完全平方数（例：0、1、4、9、16）の平方根は整数です。それ以外の場合、正の整数の平方根は無理数であるため、10 進数表現では循環小数を持ちません。最初のいくつかの自然数の平方根の 10 進数近似値を次の表に示します。

前述のように、完全平方数(例: 0、1、4、9、16) の平方根は整数です。それ以外の場合、正の整数の平方根は無理数であるため、標準的な位置表記システムでは重複する数字はありません。

小さな整数の平方根は、SHA-1とSHA-2 の両方のハッシュ関数設計で使用され、秘密の数字を提供します。

無理数を連分数として研究した結果、最も興味深い結果の 1 つは、 1780 年頃にジョゼフ・ルイ・ラグランジュ によって得られました。ラグランジュは、任意の非平方の正の整数の平方根を連分数として表すと周期的であることを発見しました。つまり、部分分母の特定のパターンが連分数で無限に繰り返されます。ある意味では、これらの平方根は整数の単純な繰り返しパターンで表すことができるため、最も単純な無理数です。

上記で使用した角括弧表記は、連分数の短縮形です。より示唆に富む代数形式で記述すると、11 の平方根の単純な連分数 [3; 3, 6, 3, 6, ...] は次のようになります。$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

ここで、2桁のパターン{3, 6}は部分分母で何度も繰り返されます。11 = 3 ² + 2なので、上記は次の一般化連分数とも同一です。

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

正の数の平方根は一般に有理数ではないため、有限小数または循環小数として記述することはできません。したがって、一般に、小数形式で表現された平方根を計算しようとすると、近似値しか得られませんが、精度が増す近似値のシーケンスを取得することはできます。

ほとんどのポケット電卓には平方根キーが付いています。コンピュータのスプレッドシートやその他のソフトウェアも平方根の計算によく使用されます。ポケット電卓は通常、ニュートン法（多くの場合、初期推定値は1）などの効率的なルーチンを実装して、正の実数の平方根を計算します。^{[21] [22]}対数表や計算尺を使用して平方根を計算する場合、 lnとlog ₁₀が自然対数と底10の対数 である恒等式を利用できます。 $${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$

試行錯誤により、^[23]の推定値を二乗し、十分な精度に達するまで推定値を上げたり下げたりすることができます。この手法では、推定値xをある量cだけ 調整し、調整値の二乗を元の推定値とその二乗で測定できるため、恒等式を使用するのが賢明です。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$$${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$

手作業による平方根計算の最も一般的な反復法は、 「バビロニア法」または、この方法を最初に説明した1世紀のギリシャの哲学者アレクサンドリアのヘロンにちなんで「ヘロン法」として知られています。 ^[24]この方法は、ニュートン–ラプソン法を関数y = f ( x ) = x ² − aに適用したときに得られるのと同じ反復スキームを使用しており、任意のポイントでの傾きがdy / dx = f ′ ( x ) = 2 xであるという事実を使用していますが、それよりも何世紀も前にさかのぼります。^[25]このアルゴリズムは、結果を新しい入力として繰り返すたびに実際の平方根に近い数値が得られる単純な計算を繰り返すというものです。その理由は、xが非負の実数aの平方根に対して過大評価されている場合、a / x は過小評価されるため、これら2つの数値の平均はどちらよりも良い近似値になるからです。しかし、算術平均と幾何平均の不等式は、この平均が常に平方根の過大評価であることを示しています (以下で説明するように)。そのため、この平均はプロセスを繰り返すための新しい過大評価として機能し、各反復の後に連続する過大評価と過小評価が互いに近づく結果として収束します。x を見つけるには:

1. 任意の正の開始値xから始めます。 aの平方根に近いほど、目的の精度を達成するために必要な反復回数が少なくなります。
2. x をxとa / xの平均( x + a / x ) / 2に置き換えます。
3. この平均をxの新しい値として使用して、手順 2 から繰り返します。

つまり、 の任意の推測がx ₀で、x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2 である場合、各x _{n は}の近似値であり、これはnが小さい場合よりもn が大きい場合に適しています。aが正の場合、収束は2 次式です。つまり、限界に近づくにつれて、正しい桁の数は各反復でほぼ 2 倍になります。ただし、 a = 0の場合、収束は線形のみです。 そのため、この場合は反復は必要ありません。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$

この恒等式を使用すると、 正の数の平方根の計算を範囲[1, 4)の数の計算に簡略化できます。これにより、平方根に近い反復法の開始値を簡単に見つけることができ、多項式または区分線形近似を使用できます。 $${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$

n桁の精度で平方根を計算するのにかかる時間の複雑さは、2 つのn桁の数値を乗算するのにかかる時間の複雑さと同じです。

平方根を計算するもう 1 つの便利な方法は、n = 2に適用されるシフト n 乗根アルゴリズムです。

平方根関数の名前はプログラミング言語によって異なりますが、sqrt^[26]（多くの場合「スクワート」と発音されます^[27]）が一般的であり、C言語やC++、JavaScript、PHP、Pythonなどの派生言語で使用されます。

正または負の数の平方は正であり、0 の平方は 0 です。したがって、負の数に実数の平方根はありません。ただし、複素数と呼ばれる、負の数の平方根の解を含む、より包括的な数の集合を扱うことができます。これは、 i (特に電気の文脈では、i が伝統的に電流を表すため、jで表されることもあります) で表され、 i ² = −1 と定義される虚数単位と呼ばれる新しい数を導入することによって行われます。この表記法を使用すると、 i を−1 の平方根と考えることができますが、 (− i ) ² = i ² = −1でもあるため、− iも −1 の平方根です。慣例により、 −1 の主な平方根はiです。または、より一般的には、x が任意の非負数である場合、− xの主な平方根は $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

右辺（およびその負数）は確かに− xの平方根である。$${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

すべての非ゼロの複素数zに対して、 w ² = zとなる2 つの数wが正確に存在します。つまり、 zの主平方根(以下で定義) とその負数です。

平方根の定義を見つけ、一貫して主値と呼ばれる単一の値を選択できるようにするには、まず、任意の複素数を、直交座標を使って表現された平面上の点として見ることができることに着目します。同じ点は、極座標を使って のペアとして再解釈できます。ここで、 は原点からの点の距離、 は原点から点までの線が正の実数 ( ) 軸となす角度です。複素解析では、この点の位置は慣例的に と書きます。すると 、${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle (x,y),}$${\displaystyle (r,\varphi ),}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle re^{i\varphi }.}$$${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$の主平方根は次のように定義されます。 主平方根関数は、非正の実軸を分岐として使って定義されます。が非負の実数である場合 ( の場合のみ)、 の主平方根は です言い換えれば、非負の実数の主な平方根は、通常の非負の平方根と同じです。 重要なのは、たとえば の場合(つまり)、主平方根は です が、 を使用すると、代わりに別の平方根が生成されるという${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$${\displaystyle z=-2i}$${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$$${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

主平方根関数は、非正実数の集合を除くすべての点で正則である（厳密に負の実数では連続でさえない）。上記のテイラー級数は、${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|<1.}$

上記は三角関数で表現することもできます。$${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

実数部と虚数部を使って数値を表現する場合、主平方根には次の式を使用することができる。^{[28] [29]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

ここで、y ≥ 0の場合はsgn( y ) = 1、それ以外の場合はsgn( y ) = −1である。^[30]特に、元の数値とその平方根の主値の虚数部は同じ符号を持ちます。平方根の主値の実数部は常に非負です。

たとえば、 ± iの主平方根は次のように表されます。

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

以下では、複素数zとw は次のように表されます。

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

ここで、および。 ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

複素平面における平方根関数の不連続性のため、以下の法則は一般には当てはまりません。

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
  主平方根の反例: z = −1かつw = −1
  この等式は、${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
  主平方根の反例: w = 1かつz = −1
  この等式は、${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$
  主平方根の反例: z = −1 )
  この等式は、${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

同様の問題は、分岐切断を持つ他の複素関数、例えば複素対数や、一般には成り立たない関係log z + log w = log( zw )またはlog( z ^* ) = log( z ) ^*でも発生します。

これらの法則の 1 つを誤って仮定すると、いくつかの誤った「証明」の基礎となります。たとえば、次の証明は−1 = 1を示しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}}$$

3 番目の等式は正当化できない（無効な証明を参照）。^{[31] ：第 6 章、セクション I、サブセクション 2 +1 = -1 という誤り}√ の意味を変更して、これがもはや主要な平方根（上記を参照）を表さないようにし、平方根の枝を選択することでこれを保持することができます 。枝に+ i が含まれる場合は左側が、 枝に− i が含まれる場合は右側がになり、 最後の等式は√の再定義で枝を選択した結果です。 ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$$$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$$$${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$$${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

の平方根は、となる数として定義され、次のように一般化されています。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}=x}$

の立方根とは、 となる数であり、次のように表される。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{3}=x}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

nが2より大きい整数である場合、のn乗根はとなる数であり、次のように表される。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{n}=x}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

任意の多項式 pに対して、pの根はp ( y ) = 0となる数yである。例えば、xのn乗根は多項式 ( y )の根である。${\displaystyle y^{n}-x.}$

アーベル・ルフィニの定理によれば、一般に、5 次以上の多項式の根はn次根 で表現することはできない。

Aが正定値行列または演算子である場合、 B ² = Aを満たす正定値行列または演算子B が1 つだけ存在します。このとき、 A ^1/2 = Bと定義します。一般に、行列には​​複数の平方根や、無限の数の平方根が含まれることがあります。たとえば、2 × 2単位行列には無限の数の平方根がありますが、^[32]そのうちの 1 つだけが正定値です。

整域の各要素には、最大 2 個の平方根があります。2つの平方根の差の恒等式u 2 ⁻ v 2 ⁼ ( u − v )( u + v )は、乗法の可換性を使用して証明されます。uとv が同じ要素の平方根である場合、u ² − v ² = 0です。零約数は存在しないため、これはu = vまたはu + v = 0を意味し、後者は 2 つの根が互いの加法逆数であることを意味します。言い換えると、要素aの平方根u が存在する場合、 aの平方根はuと−u のみです。整域における 0 の平方根は 0 自身のみです。

標数2の体では 、各元は自身の加法逆元であるため、元は 1 つの平方根を持つか、まったく平方根を持たないかのどちらかであり、したがって− u = uとなります。標数 2 の有限体の場合、各元は一意の平方根を持ちます。その他の標数を持つ体では、ゼロ以外の元は、上で説明したように 2 つの平方根を持つか、まったく持たないかのどちらかです。

奇数の素数 pに対して、ある正の整数eに対してq = p ^{eとします。体}F _qのq個の元を持つ非ゼロ元は、 F _qに平方根を持つ場合、平方剰余と呼ばれます。そうでない場合は、平方非剰余です。平方剰余は( q − 1)/2 個、平方非剰余は( q − 1)/2個あり、どちらのクラスでもゼロはカウントされません。平方剰余は乗算に関して群を形成します。平方剰余の性質は、数論で広く使用されています。

整数領域とは異なり、任意の (単位) 環の平方根は、符号まで一意である必要はありません。たとえば、8 を法とする整数の環(可換ですが、約数は 0 です) では、要素 1 には ±1 と ±3 の 4 つの異なる平方根があります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

もう1つの例は、零因子を持たないが可換ではない四元数 環である。ここで、元-1には、 ± i、± j、± kを含む無限個の平方根がある。実際、 -1の平方根の集合は、${\displaystyle \mathbb {H} ,}$$${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

0 の平方根は、0 またはゼロの因子のいずれかです。したがって、ゼロの因子が存在しない環では、一意に 0 になります。ただし、ゼロの因子を持つ環では、0 の平方根が複数存在する場合があります。たとえば、nの任意の倍数は0 の平方根です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

正の数の平方根は通常、与えられた数に等しい面積を持つ正方形の辺の長さとして定義されます。しかし、そのために正方形である必要はありません。2 つの類似したユークリッド平面物体のうちの 1 つの面積がもう 1 つの面積のa倍である場合、それらの線形サイズの比は です。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

平方根はコンパスと定規で作図できます。ユークリッド(紀元前300 年頃) は『原論』の中で、命題 II.14 と命題 VI.13 という 2 つの異なる箇所で、2 つの量の幾何平均の作成方法を示しています。aとbの幾何平均は なので、単にb = 1とすれば作成できます。 ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

この構成はデカルトの『幾何学』でも示されています(2 ページの図 2 を参照)。しかし、デカルトは独創性を主張しておらず、彼の聴衆はユークリッドにかなり精通していたはずです。

ユークリッドの第 6 巻の 2 番目の証明は、相似三角形の理論に基づいています。長さがa + bでAH = aかつHB = bである線分 AHB を描きます。AB を直径とする円を描き、H における垂線と円との 2 つの交点のうちの 1 つを C とし、長さ CH をhと記します。次に、タレスの定理と、相似三角形によるピタゴラスの定理の証明の場合と同様に、三角形 AHC は三角形 CHB に相似です (実際、どちらも三角形 ACB に相似ですが、その必要はありませんが、ピタゴラスの定理の証明の本質です)。そのため、AH:CH は HC:HB、つまりa / h = h / bとなり、クロス乗算によりh ² = ab、最終的に となります。線分 AB の中点 O をマークし、長さ( a + b )/2の半径 OC を描くと、明らかに OC > CH、つまり( a = bの場合にのみ等しくなります) となり、これは2 つの変数の算術幾何平均不等式であり、前述のように、古代ギリシャの「ヘロン法」の理解の基礎となります。 ${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

もう一つの幾何学的作図法では、直角三角形と帰納法を使用します。が作図でき、一度作図されると、辺が 1 で斜辺が の直角三角形になります。 この方法で連続して平方根を作図すると、上に示したテオドロスの螺旋が得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

• Dauben, Joseph W. (2007)。「中国の数学 I」。Katz, Victor J. (編)。エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学。プリンストン: プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11485-9。
• Gel'fand, イスラエル M. ;シェン、アレクサンダー (1993)。代数 (第 3 版)。ビルクホイザー。 p. 120.ISBN​ 0-8176-3677-3。
• ジョセフ、ジョージ（2000年）。『孔雀の紋章』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00659-8。
• スミス、デイビッド（1958年）。数学史第2巻。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-20430-7。
• セリン、ヘレイン（2008）、非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典、Springer、Bibcode：2008ehst.book.....S、ISBN 978-1-4020-4559-2。

ウィキメディア・コモンズには、平方根に関連するメディアがあります。

• アルゴリズム、実装、その他 – Paul Hsieh の平方根ウェブページ
• 手動で平方根を求める方法
• AMS特集コラム、トニー・フィリップス著「ガリレオの算術」には、ガリレオが平方根をどのように見つけたかというセクションが含まれています。