モスクワ数学パピルス

モスクワ数学パピルス
モスクワのプーシキン美術館
モスクワ数学パピルスの第 14 問題 (V. ストルーベ、1930 年)
日付	第13王朝、エジプト第二中間期
原産地	テーベ
言語	ヒエラティック
サイズ	長さ: 5.5メートル (18フィート) 幅: 3.8～7.6cm (1.5～3インチ)

モスクワ数学パピルスは、エジプト人以外で最初の所有者であったエジプト学者ウラジミール・ゴレニシェフにちなんでゴレニシェフ数学パピルスとも呼ばれる古代エジプトの数学パピルスで、算術、幾何学、代数の問題がいくつか含まれています。ゴレニシェフは1892年か1893年にテーベでこのパピルスを購入しました。後にモスクワのプーシキン美術館のコレクションに入り、現在もそこに保管されています。

ヒエラティックテキストの古文書学と正書法に基づくと、テキストはおそらく第13王朝に書き留められ、紀元前1850年頃のエジプト第12王朝にまで遡る古い資料に基づいていると考えられます。 ^[1]長さ約5.5メートル（18フィート）、幅は3.8〜7.6センチメートル（1.5〜3インチ）で、その形式は1930年にソビエトの東洋学者ヴァシリー・ヴァシリエヴィチ・ストルーヴェ^{[2]によって25の問題と解答に分割されました[3]}。

これはよく知られた数学パピルスであり、通常はリンド数学パピルスと併せて参照されます。モスクワ数学パピルスはリンド数学パピルスよりも古く、後者の方が大きいです。^[4]

モスクワ・パピルスの問題は特定の順序に従っておらず、問題の解答はリンド数学パピルスのものよりはるかに詳細ではない。このパピルスは幾何学の問題でよく知られている。問題10と14はそれぞれ円錐台の表面積と体積を計算する。残りの問題は自然界でより一般的なものである。^[1]

問題2と3は船の部品に関する問題です。問題の1つは船の舵の長さを計算し、もう1つは船のマストの長さを、元々30キュビトの長さである杉の丸太の長さの1/3 + 1/5として計算します。^[1]

Aha問題では、量の合計とその部分が与えられている場合に、未知の量（ aha 、「スタック」と呼ばれる）を見つける。リンド数学パピルスにも、この種の問題が4つ含まれている。モスクワパピルスの問題1、19、25はAha問題である。例えば、問題19では、1から1を引いた量を計算する。+を1 ⁄ 2回繰り返して4を足して10にします^{。 [1]}つまり、現代の数学表記では を解くように求められています。 ${\displaystyle {\frac {3}{2}}x+4=10}$

問題のほとんどはペフス問題です（エジプト代数を参照）。25問中10問。ペフスは1ヘカットの穀物 から作られたビールの強さを測ります。

${\displaystyle {\mbox{pefsu}}={\frac {\mbox{パンの数（またはビールジョッキの数）}}{\mbox{穀物のヘクトの数}}}}$

pefsu の数値が高いほど、パンやビールの味が薄くなります。pefsu の数値は多くの提供リストに記載されています。たとえば、問題 8 は次のように翻訳されます。

（１）ペフス20のパン100斤の計算例

（２）もし誰かがあなたにこう言ったとしたら、「あなたは２０ペソのパンを１００個持っています。

（３）ペフス４のビールと交換する

（4）1/2 1/4モルトデーツビールのような

（５）まず、ペフス20のパン100斤を作るのに必要な穀物の量を計算します。

（6）結果は5ヘクトです。次に、1/2 1/4モルトデーツビールと呼ばれるビールのデジョッキに必要な量を計算します。

（７）結果は、上エジプト産の穀物から作られたビールのデ・ジョッキに必要なヘカット量の1/2である。

（８）５ヘクトの１／２を計算すると、結果は２ １／２となる。

（９）これを２．５回に分けて服用する

（10）結果は10です。次にあなたは彼に言います：

（11）「見よ！ビールの量は正しいことがわかった。」^[1]

問題11と23はバクー問題です。これらは労働者の生産量を計算します。問題11は、誰かが5×5の丸太を100本持ち込んだ場合、これは4×4の丸太の何本に相当するか尋ねています。問題23は、靴職人がサンダルをカットして装飾しなければならない場合の生産量を求めます。^[1]

25問のうち7問は幾何学の問題で、三角形の面積の計算から半球の表面積の計算（問題10）、錐台（切頂角錐）の体積の計算まで多岐にわたります。^[1]

モスクワ数学パピルスの第 10 問は、半球の表面積(Struve、Gillings) または半円筒の面積 (Peet) の計算を求めています。以下では、この問題は半球の面積に関するものであると仮定します。

問題 10 のテキストは次のようになります。「バスケットの計算例。口が 4 1/2 のバスケットが与えられます。その表面積はいくらですか? バスケットは卵の殻の半分なので、9 の 1/9 を取ります。1 になります。余りを計算します。8 です。8 の 1/9 を計算します。2/3 + 1/6 + 1/18 になります。この 8 から 2/3 + 1/6 + 1/18 を引いた余りを求めます。7 + 1/9 になります。7 + 1/9 に 4 + 1/2 を掛けます。32 になります。これがその面積です。正しく求められました。」^{[1] [5]}

解は面積を計算することになり、

${\displaystyle {\text{面積}}=(((2\times {\text{直径}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{直径}}={\frac {128}{81}}({\text{直径}})^{2}}$

この式は半球の面積を計算します。モスクワ・パピルスの筆記者はここで π を近似していました。 ${\displaystyle {\frac {256}{81}}\approx 3.16049}$

モスクワ数学の第 14 の問題では、円錐台の体積を計算します。

問題14では、ピラミッドが、図に示すように、上部の面積が長さ2単位の正方形、下部が長さ4単位の正方形、高さ6単位になるように切り取られていると述べられています。体積は56立方単位であることがわかり、これは正解です。^[1]

この問題の解決法は、エジプト人が切頂ピラミッドの体積を求める正しい公式を知っていたことを示しています。

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})}$

ここで、aとbはそれぞれ台形ピラミッドの底辺と上辺の長さ、hは高さである。研究者たちはエジプト人がどのようにして錐台の体積の公式にたどり着いたのか推測しているが、この公式の導出はパピルスには記されていない。^[7]

リチャード・J・ギリングスはパピルスの内容をざっと要約している。^[8] 上線が引かれた数字は、その数を分母とする単位分数を表す。例えば、単位分数は古代エジプトの数学では一般的な研究対象であった。 ${\displaystyle {\bar {4}}={\frac {1}{4}}}$

古代エジプトの他の数学テキストには以下のものがあります。

• ベルリンパピルス 6619
• エジプトの数学的な革巻き
• ラフン数学パピルス
• リンド数学パピルス

一般的なパピルス:

• パピルス・ハリスI
• ローリンパピルス

2/n テーブルについては以下を参照してください。

• RMP 2/n テーブル

Wikisource にはこの記事に関連する原文があります:

モスクワ数学パピルス

• 古代エジプトのパピルスのリスト

• ストルーベ、ヴァシリー・ヴァシレヴィチ、ボリス・トゥラエフ。 1930年。モスカウの国立数学パピルス美術館。 Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik;アブタイルング A: クエレン 1. ベルリン: J. Springer

• アレン、ドン。2001 年 4 月。モスクワ パピルスとエジプト数学の概要。
• Imhausen、A.、エジプト アルゴリズム。 Eine Untersuung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten、ヴィースバーデン、2003 年。
• Mathpages.com。プリズモイドの公式。
• オコナーとロバートソン、2000年。エジプトのパピルスに書かれた数学。
• トルーマン州立大学、数学およびコンピュータサイエンス部門。 数学と教養学：古代エジプトとモスクワ数学パピルス。
• ウィリアムズ、スコット W. 『アフリカ系ディアスポラの数学者』には、エジプトの数学パピルスに関するページが含まれています。
• Zahrt, Kim RW 古代エジプトの数学に関する考察 2011-09-27 にWayback Machineにアーカイブされました。