カタストロフィー理論

数学において、カタストロフィー理論は力学系の研究における分岐理論の一分野であり、幾何学におけるより一般的な特異点理論の特別なケースでもある。

分岐理論は、状況の小さな変化から生じる行動の突然の変化を特徴とする現象を研究および分類し、方程式の解の質的性質が方程式に現れるパラメータによってどのように左右されるかを分析します。これにより、たとえば地滑りの予測できないタイミングと規模など、突然の劇的な変化が生じる可能性があります。

カタストロフィー理論は、1960年代のフランスの数学者ルネ・トムの研究に端を発し、1970年代のクリストファー・ゼーマンの努力により非常に人気を博しました。この理論では、長期安定均衡が滑らかで明確に定義されたポテンシャル関数 (リアプノフ関数) の最小値として特定できる特殊なケースを考慮します。非線形システムの特定のパラメータの小さな変化により、均衡が現れたり消えたり、または引き付けから反発に、あるいは反発から引き付けに変化したりして、システムの動作が大きく突然変化することがあります。しかし、より広いパラメータ空間で検討すると、カタストロフィー理論では、そのような分岐点は明確に定義された定性的な幾何学的構造の一部として発生する傾向があることが明らかになっています。

1970年代後半、カタストロフ理論の適用範囲外の分野、特に生物学と社会科学の分野で批判され始めた。^{[1] [2]ザラーとサスマンは、1977年の}ネイチャー誌の記事で、そのような適用は「誤った推論、無理のある仮定、誤った結果、誇張された主張を特徴とする」と述べている。^[3]その結果、カタストロフ理論の適用は人気がなくなった。^[4]

カタストロフィー理論は、ポテンシャル関数の退化した臨界点、つまり、ポテンシャル関数の 1 次導関数だけでなく、1 つ以上の高次の導関数もゼロになる点を分析します。これらは、カタストロフィー幾何学の芽と呼ばれます。これらの臨界点の退化は、パラメータの小さな摂動でポテンシャル関数をテイラー級数として展開することによって展開できます。

退化した点が単なる偶然ではなく、構造的に安定している場合、退化した点は、その周囲のパラメータ空間に重要な特徴を持つ、より退化した特定の幾何学的構造の組織化中心として存在します。ポテンシャル関数が2つ以下の能動変数と4つ以下の能動パラメータに依存する場合、これらの分岐幾何学には7つの一般的な構造と、カタストロフ芽の周囲のテイラー級数を微分同相写像（その逆も滑らかである滑らかな変換）によって変換できる対応する標準形式のみがあります。^[要出典] これらの7つの基本型を、トムが付けた名前で次に示します。

カタストロフィー理論は、状態変数の 時間の経過に伴う変化^[5]を記述する力学システムを研究する。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\dot {x}}={\dfrac {dx}{dt}}=-{\dfrac {dV(u,x)}{dx}}}$

上記の式では、はポテンシャル関数と呼ばれ、 はポテンシャル関数をパラメータ化するベクトルまたはスカラーであることが多いです。 の値は時間の経過とともに変化する可能性があり、制御変数と呼ばれることもあります。次の例では、 のようなパラメータがそのような制御変数です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle V=x^{3}+ax\,}$

a < 0の場合、ポテンシャルVには 2 つの極値があります。1 つは安定で、もう 1 つは不安定です。パラメーターaをゆっくりと増加させると、システムは安定した最小点に従うことができます。しかし、a = 0では、安定した極値と不安定な極値が出会い、消滅します。これが分岐点です。a > 0 では、安定した解は存在しません。したがって、物理システムを折り畳み分岐に沿わせると、a が0 に達すると、 a < 0 の解の安定性が突然失われ、システムが突然、まったく異なる新しい動作に移行することがわかります。 パラメータaのこの分岐値は、「転換点」と呼ばれることもあります。

${\displaystyle V=x^{4}+ax^{2}+bx\,}$

カスプジオメトリは、2 番目のパラメータbが制御空間に追加された場合にフォールド分岐に何が起こるかを調べるときに非常によく使用されます。パラメータを変更すると、安定性が失われ、安定したソリューションが突然別の結果にジャンプする ( a、b ) 空間内の点の曲線(青) が存在することがわかります。

しかし、カスプジオメトリでは、分岐曲線はループして戻り、2 番目の分岐が生じ、この代替ソリューション自体が安定性を失い、元のソリューション セットに戻ります。b を繰り返し増加してから減少させることで、システムが交互に 1 つのソリューションに従い、別のソリューションにジャンプし、別のソリューションに戻り、最初のソリューションに戻るため、ヒステリシス ループを 観察できます。

ただし、これはパラメータ空間a < 0の領域でのみ可能です。aが増加すると、ヒステリシス ループはどんどん小さくなり、a = 0 を超えると完全に消えてしまいます (カスプ カタストロフィー)。安定した解は 1 つだけになります。

b を一定に保ち、a を変化させた場合に何が起こるかを考えることもできます。対称的なケースであるb = 0では、aが減少すると、ピッチフォーク分岐が観察されます。物理システムがカスプポイント (0,0) を通過してa < 0になると、1 つの安定解が突然 2 つの安定解と 1 つの不安定解に分割されます(自発的な対称性の破れの例)。カスプポイントから離れると、従っている物理解に突然の変化はありません。折り畳み分岐の曲線を通過するときに起こるのは、代わりの 2 番目の解が利用可能になることだけです。

有名な説として、カスプ・カタストロフィーはストレスを受けた犬の行動をモデル化するのに使えるという説があります。犬は怯えたり怒ったりして反応します。^[6] その説によれば、中程度のストレス（a > 0）では、犬は挑発のされ方に応じて、怯えから怒りへの反応のスムーズな遷移を示します。しかし、より高いストレスレベルは、領域（a < 0）への移行に対応します。そして、犬が怯え始めたら、ますますイライラしても怯えたままになり、「折り畳み」ポイントに達すると、突然、不連続に怒りモードに切り替わります。いったん「怒り」モードに入ると、直接的なイライラパラメータが大幅に減少しても、犬は怒り続けます。

単純な機械システムである「ゼーマンカタストロフィーマシン」は、カスプカタストロフィーをうまく表している。この装置では、バネの端の位置が滑らかに変化すると、取り付けられたホイールの回転位置が突然変化する。^[7]

並列冗長性を備えた複雑なシステムの壊滅的な故障は、局所的な応力と外部応力の関係に基づいて評価できます。構造破壊力学のモデルは、カスプ カタストロフ挙動に似ています。このモデルは、複雑なシステムの予備能力を予測します。

その他の応用としては、化学系や生物系で頻繁に見られる外圏電子移動^[8]、大気中の雲凝結核のダイナミクスのモデル化^[9]、不動産価格のモデル化^{[10]などがある。}

褶曲の分岐とカスプ形状は、これまでのところ、カタストロフィー理論の最も重要な実際的な帰結である。これらは物理学、工学、数学的モデリングにおいて何度も繰り返されるパターンである。これらは強い重力レンズ効果を発生させ、遠方のクエーサーの複数の画像を生成する重力レンズ効果の現象を介して、天文学者にブラックホールと宇宙の暗黒物質を検出するために使用される方法の1つを提供する。^[11]

残りの単純なカタストロフジオメトリは、比較すると非常に特殊であり、ここでは好奇心の価値のためだけに提示されています。

${\displaystyle V=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx\,}$

制御パラメータ空間は 3 次元です。パラメータ空間の分岐セットは、3 つの折り畳み分岐面で構成され、2 本の尖端分岐線で交わり、さらに 1 つの燕尾型分岐点で交わります。

パラメータが折り畳み分岐面を通過すると、ポテンシャル関数の 1 つの最小値と 1 つの最大値が消えます。カスプ分岐では、 2 つの最小値と 1 つの最大値が 1 つの最小値に置き換えられ、その先では折り畳み分岐は消えます。燕尾点では、 2 つの最小値と 2 つの最大値がすべて単一のx値で出会います。a > 0の値では、燕尾点を越えると、 bとcの値に応じて、最大-最小値のペアが 1 つ存在するか、まったく存在しないかのどちらかになります。したがって、折り畳み分岐面の 2 つと、a < 0でそれらが出会う 2 本のカスプ分岐線は、燕尾点で消え、折り畳み分岐面が 1 つだけ残ります。サルバドール・ダリの最後の絵画「燕の尾」は、この大惨事を基にしたものでした。

${\displaystyle V=x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx\,}$

パラメータ値に応じて、ポテンシャル関数には、折り畳み分岐の軌跡によって分離された 3 つ、2 つ、または 1 つの異なる局所最小値が存在する場合があります。蝶の点では、折り畳み分岐のさまざまな 3 面、カスプ分岐の 2 面、およびアゲハチョウ分岐の線がすべて出会って消え、a > 0 のときに単一のカスプ構造が残ります。

臍カタストロフは、コランク 2 カタストロフの例です。これらは、光学では、3 次元の表面で反射する光によって作成される焦点面で観察でき、ほぼ球面の幾何学と密接に関連しています:臍点。トムは、双曲臍カタストロフは波の破壊をモデル化し、楕円臍は髪の毛のような構造の生成をモデル化すると提案しました。

${\displaystyle V=x^{3}+y^{3}+axy+bx+cy\,}$

${\displaystyle V={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+a(x^{2}+y^{2})+bx+cy\,}$

${\displaystyle V=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy\,}$

ウラジミール・アーノルドは、単純リー群との深い関係から、この大災害にADE分類を与えた。^[要出典]

• 0 _-非特異点: 。${\displaystyle V=x}$
• 1 - 局所的な極値、安定した最小値または不安定な最大値のいずれ_か。${\displaystyle V=\pm x^{2}+ax}$
• A ₂ - 折り目
• A ₃ - 尖端
• A ₄ - アゲハチョウ
• A ₅ - 蝶
• A _k - 1変数形式の無限列の代表${\displaystyle V=x^{k+1}+\cdots }$
• D ₄ ⁻ - 楕円形の臍帯
• D ₄ ⁺ - 双曲臍
• D ₅ - 放物線状の臍
• D _k - さらなる臍形の無限列の代表
• E ₆ - 象徴的な臍${\displaystyle V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy+ey^{2}}$
• E7 _7番
• E8 _8番

特異点理論には、他のほとんどの単純リー群に対応するオブジェクトが存在します。

カタストロフィー理論が予測するように、特異点は一般的であり、摂動の下で安定しています。これは、明るい線と表面が摂動の下で安定している理由を説明しています。たとえば、プールの底に見える焦線は独特の質感を持ち、水面は常に変化しているにもかかわらず、特異点の種類はわずかです。^[12]

例えば、虹の縁には折り畳みカタストロフがある。光の波動性のため、このカタストロフにはエアリー関数で記述される微細な回折の詳細がある。これは一般的な結果であり、水滴の正確な形状には依存しないため、虹の縁は常にエアリー関数の形状になる。^{[13] [14]同じエアリー関数折り畳みカタストロフは}、核核散乱（「核の虹」）でも見られる。 ^[15]

カスプカタストロフィーは、次に観測しやすいカタストロフィーです。光の波動性により、カタストロフィーはピアシー関数で記述される微細な回折の詳細を持ちます。^[16]アゲハチョウやチョウチョウなどの高次のカタストロフィーも観測されています。^[17]

• アーノルド、ウラジミール・イゴレヴィッチ（1992）『カタストロフィー理論』第3版、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク
• VS アフラジモビッチ、VI アーノルド他著『分岐理論とカタストロフィー理論』、ISBN 3-540-65379-1 
• Bełej, M. Kulesza, S. (2013)「不安定な状況下におけるオルシュティンの不動産価格のモデル化」、Folia Oeconomica Stetinensia 11(1): 61–72、ISSN (オンライン) 1898–0198、ISSN (印刷) 1730–4237、doi :10.2478/v10031-012-0008-7
• カストリジャーノ、ドメニコ PL およびヘイズ、サンドラ A. (2004)カタストロフィー理論、第 2 版、ボルダー: ウェストビューISBN 0-8133-4126-4 
• ギルモア、ロバート（1993）科学者とエンジニアのためのカタストロフィー理論、ニューヨーク：ドーバー
• ペッターズ、アーリー・O、レヴァイン、ハロルド、ワムスガンス、ヨアヒム（2001）『特異点理論と重力レンズ効果』、ボストン：ビルクハウザーISBN 0-8176-3668-4 
• ポストル、デニス (1980) 『カタストロフィー理論 - 個人的な災害を予測し回避する』 フォンタナペーパーバックISBN 0-00-635559-5 
• ポストン、ティム、スチュワート、イアン（1998）『カタストロフィー：理論とその応用』ニューヨーク：ドーバーISBN 0-486-69271-X 
• Sanns, Werner (2000) 『Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach』 ドイツ: DAV
• サンダース、ピーター・ティモシー（1980）『カタストロフィー理論入門』ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局
• トム、ルネ(1989)構造安定性と形態形成: モデルの一般理論の概要、マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスリーISBN 0-201-09419-3 
• ウッドコック、アレクサンダー・エドワード・リチャード、デイビス、モンテ（1978）カタストロフィー理論、ニューヨーク：EPダットンISBN 0-525-07812-6 
• ゼーマン、EC (1977)カタストロフィー理論 - 選集 1972-1977、マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェズリー

• CompLexicon: カタストロフィー理論
• 大惨事教師
• ゼーマンのカタストロフィマシンの Java シミュレーション