三角法の歴史

三角形の初期の研究は、紀元前2千年紀のエジプト数学（リンド数学パピルス）とバビロニア数学にまで遡ります。三角法はクシュの数学でも普及していました。 ^[1]三角関数 の体系的な研究はヘレニズム数学で始まり、ヘレニズム天文学の一部としてインドに伝わりました。^[2]インドの天文学では、三角関数の研究はグプタ朝時代に、特に正弦関数、余弦関数、正弦関数を発見したアリヤバータ（紀元6世紀）のおかげで栄えました。

中世には、アル＝フワーリズミーやアブー・アル＝ワファなどの数学者によって、イスラム数学において三角法の研究が続けられました。イスラム世界では三角法は独立した学問となり、6つの三角関数すべてが知られていました。アラビア語とギリシャ語のテキストの翻訳により、ルネッサンス期のレギオモンタヌスに始まり、ラテン西洋では三角法が科目として採用されました。

現代の三角法の発展は、西洋啓蒙時代に移行し、17 世紀の数学者 (アイザック・ニュートンとジェームズ・スターリング) から始まり、レオンハルト・オイラー(1748)によって現代的な形に達しました。

「三角法」という用語は、ギリシャ語のτρίγωνον trigōnon (三角形) と μέτρον metron (測定) に由来しています。^[3]

現代の「サイン」と「コサイン」という言葉は、アラビア語からの誤訳によってラテン語のsinusに由来しています（サインとコサイン#語源を参照）。特にフィボナッチのsinus rectus arcus は、この用語を確立する上で影響力がありました。^[4]

タンジェントという言葉は、線が単位半径の円に接することから「触れる」を意味するラテン語のtangensに由来し、一方セカントは線が円を切ることからラテン語のsecans 「切る」に由来する。 ^[5]

接頭辞「co -」（「コサイン」、「コタンジェント」、「コセカント」）は、エドマンド・グンターの「Canon triangulorum」（1620年）に見られ、その中ではコサインがsinus complementi（補角の正弦）の略語として定義され、同様にコタンジェントも定義されています。^{[6] [7]}

「分」と「秒」という言葉は、ラテン語のpartes minutae primaeとpartes minutae secundaeに由来しています。^[8]これらは大まかに「最初の小さな部分」と「2番目の小さな部分」と翻訳されます。

古代エジプト人やバビロニア人は、何世紀にもわたって相似三角形の辺の比に関する定理を知っていました。しかし、ギリシャ以前の社会では角度の測定の概念がなかったため、三角形の辺の研究に限られていました。^[9]

バビロニアの天文学者は、星の出入り、惑星の運動、日食と月食について詳細な記録を残しており、これらには天球上で測定された角度距離の知識が必要であった。^{[10]プリンプトン}楔形文字板322 （紀元前1900年頃）の解釈に基づいて、古代バビロニア人は正割表を持っていたものの、この文脈では円と角度を使用しないため現代の三角法の表記法は適用されないと主張する者もいる。^{[11]ただし、それが}ピタゴラスの三つ組の表なのか、二次方程式の解なのか、それとも三角関数の表なのかについては多くの議論がある。^[12]

一方、エジプト人は紀元前2千年紀にピラミッドを建設するために原始的な三角法を使用していました。 ^[10]エジプトの書記官アハメス（紀元前1680年頃-1620年頃）によって書かれたリンド数学パピルスには、三角法に関する次の問題が含まれています。^[10]

「ピラミッドの高さが 250 キュビト、底辺の長さが 360 キュビトの場合、そのシーケドはいくらですか？」

この問題に対するアハメスの解は、ピラミッドの底面の半分の辺と高さの比、つまり面の縦横比である。言い換えれば、彼がシーケドに対して見つけた量は、ピラミッドの底面と面の角度のコタンジェントである。^[10]

古代ギリシャとヘレニズム時代の数学者は弦を利用していた。円と円弧が与えられたとき、弦は弧を囲む線である。弦の垂直二等分線は円の中心を通り、角度を二等分する。二等分された弦の半分は二等分された角度の半分の正弦であり、つまり、^[13]

${\displaystyle \mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},}$

そしてその結果、正弦関数は半弦としても知られています。この関係により、今日知られている多くの三角関数の同等性や定理は、ヘレニズム時代の数学者にも知られていましたが、同等の弦の形でした。^{[14] [15]}

ユークリッドやアルキメデスの著作には厳密な意味での三角法は存在しないが、特定の三角法則や公式と同等の、幾何学的な方法（三角法ではなく）で提示された定理が存在する。 ^[9]たとえば、『原論』第2巻の命題12と13は、それぞれ鈍角と鋭角の余弦定理である。弦の長さに関する定理は、正弦定理の応用である。そしてアルキメデスの破断弦の定理は、角度の和と差の正弦の公式と同等である。^[9]弦表の欠如を補うために、アリスタルコスの時代の数学者は、現代の記法では、  0° < β < α < 90°のときは常にsin α /sin  β  <  α / β  < tan  α /tan  βという命題を使用することがありました。これは現在アリスタルコスの不等式として知られています。^[16]

最初の三角関数表は、ニカイアのヒッパルコス（紀元前180年 - 125年）によって編纂されたと思われ、彼は現在「三角法の父」として知られています。^[17]ヒッパルコスは、一連の角度に対応する弧と弦の値を表にした最初の人物でした。^{[4] [17]}

360°円がいつから数学に体系的に導入されたかは不明だが、サモス島のアリスタルコスが『太陽と月の大きさと距離について』（紀元前260年頃）を著した少し後に360°円が体系的に導入されたことはわかっている。アリスタルコスは角度を象限の分数で測っていたからである。 ^[16] 360°円が体系的に使用されるようになったのは、ヒッパルコスと彼の弦表によるところが大きいと思われる。ヒッパルコスはこの分割法を、1日を360に分割していたヒプシクレスの考えを取り入れたのかもしれない。この1日の分割法はバビロニアの天文学によって提案された可能性がある。^[18]古代天文学では、黄道帯は12の「星座」または36の「デカン」に分割されていた。およそ360日の季節周期は、各星座を30の部分に、各デカンを10の部分に分割することで、黄道十二宮の星座とデカンに対応していた可能性があります。^[8]各度が60分に分割され、各分が60秒に分割されるのは、バビロニアの60進法によるものです。 [ 8 ^]

アレクサンドリアのメネラオス（紀元100年頃）は、3冊の本で『球面論』を著した。第1巻では、平面三角形のユークリッド基底に類似した球面三角形の基底を確立した。^[15]彼は、ユークリッドに類似するものがない定理を確立した。それは、対応する角度が等しい場合、2つの球面三角形は合同であるという定理であるが、合同球面三角形と対称球面三角形を区別しなかった。^[15]彼が確立した別の定理は、球面三角形の角度の合計が180°より大きいというものである。^[15] 『球面論』第2巻は、球面幾何学を天文学に適用したものである。そして第3巻には「メネラウスの定理」が含まれている。^[15]彼はさらに、有名な「6量の法則」を提示した。^[19]

その後、クラウディオス・プトレマイオス（紀元90年頃～168年頃）は、ヒッパルコスの『円の弦』を『数学的統語論』で拡張した。『アルマゲスト』は主に天文学に関する著作であり、天文学は三角法に依存している。プトレマイオスの弦表は、直径120の円の弦の長さを、対応する円弧の度数 nの関数として示しており、 nは1/2から180まで1/2ずつ増加している。^[20]アルマゲストの13巻は、古代で最も影響力があり重要な三角法の著作である。^[21]プトレマイオスの弦の計算の中心となった定理は、今日でもプトレマイオスの定理として知られているもので、円周四辺形の対辺の積の和は対角線の積に等しいというものである。プトレマイオスの定理の特別なケースは、ユークリッドの『データ』の命題93として登場した。プトレマイオスの定理は、今日プトレマイオスの公式として知られる正弦と余弦の4つの和差の公式に相当するものであるが、プトレマイオス自身は正弦と余弦の代わりに弦を使用していた。^[21]プトレマイオスはさらに、半角の公式に相当するものを導いた 。

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1-\cos(x)}{2}}.}$^[21]

プトレマイオスはこれらの結果を利用して三角関数の表を作成したが、これらの表がヒッパルコスの研究から派生したものかどうかは不明である。^[21]

ヒッパルコスの表もプトレマイオスの表も今日まで残っていないが、他の古代の著者による記述から、それらがかつて存在していたことはほとんど疑いの余地がない。^[22]

三角法の初期の非常に重要な発展のいくつかはインドで起こりました。4世紀から5世紀にかけての影響力の大きい著作であるシッダーンタ（5冊あり、最も重要なのはスーリヤ・シッダーンタ^[23]）は、正弦を半角度と半弦の現代的な関係として初めて定義し、余弦、正弦、逆正弦も定義しました。^[24] その後すぐに、別のインドの数学者で天文学者のアーリヤバータ（ 476年-550年）が、アーリヤバーティヤと呼ばれる重要な著作でシッダーンタの発展を集め、拡張しました。^[25]シッダーンタとアーリヤバーティヤには、0°から90°までの3.75°間隔で、小数点以下4桁の精度で正弦値と正弦（1−余弦）値 の表が最も古くから残っている。 ^[26]彼らは、正弦にjya 、余弦にkojya 、正弦にutkrama-jya、逆正弦にotkram jyaという言葉を使用していた。jyaとkojyaという言葉は、上記の誤訳の後、最終的にそれぞれ 正弦と余弦になった。

7 世紀、バースカラ 1 世は、表を使わずに鋭角の正弦を計算する公式を作成しました。また、相対誤差が 1.9% 未満の sin( x ) の近似式も示しました。

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).}$

7世紀後半、ブラフマグプタは公式を再開発しました。

${\displaystyle \ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

（これも前述のように以前に導出された）および正弦値を計算するためのBrahmagupta補間式。^[11]

三角法に関する他の後代のインド人著者は、12 世紀のバースカラ 2 世です。バースカラ 2 世は球面三角法を考案し、多くの三角法の結果を発見しました。

バースカラ2世は、次のような三角法の結果を最初に発見した人物の1人です。 ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

• ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$

マダヴァ（1400年頃）は、三角関数とその無限級数展開の解析において早い段階で大きな進歩を遂げた。彼は冪級数とテイラー級数の概念を発展させ、正弦、余弦、正接、逆正接の冪級数展開を作成した。 ^{[27] [28]}正弦と余弦のテイラー級数近似を使用して、小数点以下12桁の精度の正弦表と小数点以下9桁の精度の余弦表を作成した。彼はまた、三角関数を用いてπの冪級数と円の角度、半径、直径、円周を示した。彼の作品は16世紀までケーララ学派の弟子たちによって拡張された。 ^{[27] [28]}

インドの文献『ユクティバーシャ』には、正弦関数と余弦関数の展開の証明、およびマダヴァによって発見された逆正接のべき級数の導出と証明が含まれています。『ユクティバーシャ』には、2 つの角度の和と差の正弦と余弦を求める規則も含まれています。

中国では、アリヤバータの正弦表が中国の数学書である開元占経に翻訳され、唐の時代に718年に編纂された。^[30]中国人は立体幾何学、二項定理、複雑な代数式など他の数学の分野では優れていたが、三角法の初期の形態は、それ以前のギリシャ、ヘレニズム、インド、イスラム世界ほど広く評価されていなかった。^[31]その代わりに、初期の中国人はチョンチャと呼ばれる経験的な代替手段を使用し、平面三角法の実際の使用法では正弦、正接、割線が知られていた。^[30]しかし、中国における三角法のこの萌芽的な状態は、宋代（960-1279）にゆっくりと変化し、進歩し始めました。この時代、中国の数学者は、暦学や天文学の計算における球面三角法の必要性をより強調し始めました。^[30]博学者である中国の科学者、数学者、官僚の沈括（1031-1095）は、弦と弧の数学的問題を解くために三角関数を使用しました。^{[30] Victor J. Katzは、沈括の公式「交差円の技法」で、直径}d、矢状方向v、および弧を囲む弦の長さ cが与えられた場合、円の 弧 sの近似値を作成し、その長さを次のように近似したと書いています。^[32] 

${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.}$

サル・レスティヴォは、円弧の長さに関する沈の研究が、13世紀に数学者で天文学者の郭守敬（1231-1316）によって開発された球面三角法の基礎となったと書いている。 ^[33]歴史家のL・ゴーシェとジョセフ・ニーダムが述べているように、郭守敬は球面三角法を計算に使用して暦法と中国の天文学を改良した。^{[30] [34]}ニーダムは、郭の数学的証明を17世紀後半に中国で描いた図とともに、次のように述べている。

郭は四角形の球面錐を使用した。その基底の四辺形は、1つの赤道弧と1つの黄道弧、および2つの子午線弧で構成され、そのうちの1つは夏至の点を通過していた...このような方法により、彼は度路（黄道の度数に対応する赤道の度数）、季路（与えられた黄道弧の弦の値）、および茶路（1度異なる弧の弦の差）を得ることができた。^[35]

沈と郭の三角法における業績にもかかわらず、中国の三角法に関するもう一つの重要な著作は、1607年に中国の官僚で天文学者の徐光啓（1562年 - 1633年）とイタリアのイエズス会士マテオ・リッチ（1552年 - 1610年）による『ユークリッド原論』の二重出版まで出版されることはなかった。^[36]

以前の著作は後に中世イスラム世界で主にペルシャ人とアラブ人のイスラム教徒の数学者によって翻訳され、拡張され、メネラウスの定理の適用によるヘレニズム数学の場合のように、三角法の主題を完全な四辺形への依存から解放する多数の定理を表明した。ESケネディによると、イスラム数学のこの発展の後に「球面または平面の三角形、その辺と角度が研究対象になったという意味で、最初の本当の三角法が登場した」という。^[37]

球面三角形を扱う方法も知られており、特にアレクサンドリアのメネラオスの方法は、球面問題を扱うために「メネラウスの定理」を開発した。^{[15] [38]}しかし、ESケネディは、イスラム以前の数学では、弦表とメネラウスの定理を使用して球面図形の大きさを計算することは原理的には可能であったが、球面問題への定理の適用は実際には非常に困難であったと指摘している。^[39]時期が月の満ち欠けによって決定されるイスラム暦の聖日を遵守するために、天文学者は当初、月と星の位置を計算するメネラウスの方法を使用したが、この方法は扱いにくく困難であることが判明した。この方法では、2つの交差する直角三角形を設定し、メネラウスの定理を適用することで、6辺のうちの1辺を解くことができたが、他の5辺がわかっている場合に限られていた。例えば、太陽の高度から時刻を知るには、メネラウスの定理を繰り返し適用する必要がありました。中世のイスラムの天文学者にとって、より単純な三角法を見つけることは明らかな課題でした。^[40]

9世紀初頭、ムハンマド・イブン・ムーサ・アル・フワーリズミーは正確な正弦表と余弦表、そして最初の正接表を作成した。彼はまた、球面三角法の先駆者でもあった。830年には、ハバス・アル・ハシブ・アル・マルワズィーが最初の余接表を作成した。^{[41] [42]} ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハラニー・アル・バッターニー（アルバテニウス）（853年 - 929年）は、正割と余割の逆関数を発見し、1°から90°までの各度数に対する最初の余割表を作成した。^[43]

10世紀までに、アブー・アル・ワファ・アル・ブズジャーニーの著作では、6つの三角関数すべてが使用されました。^[44]アブー・アル・ワファは、0.25°刻みで小数点以下8桁の精度の正弦表と、正確な正接値の表を持っていました。^[44]彼はまた、次の三角関数の公式を開発しました。^[45]

${\displaystyle \ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)}$（プトレマイオスの角度加法公式の特殊なケース。上記参照）

アブー・アル＝ワファは原文でこう述べている。「もしそれを望むなら、与えられた正弦に余弦分を掛ければ、その結果は倍数の正弦の半分になる」。^[45]アブー・アル＝ワファはまた、完全な証明とともに角度の加減等式を確立した。^[45]

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$

2番目の問題については、テキストには次のように書かれています。「2つの弧のそれぞれの正弦を他の分の余弦で乗算します。和の正弦が必要な場合は積を加算し、差の正弦が必要な場合は差を求めます。」^[45]

彼はまた、球面三角法における正弦定理を発見した。 ^[41]

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$

また、10世紀後半から11世紀初頭にかけて、エジプトの天文学者イブン・ユーヌスは多くの三角法の計算を慎重に行い、次のような三角法の等式を証明した。^[46]

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}$

アル＝アンダルスのアル＝ジャヤニ（989-1079）は『球面の未知の弧についての書』を著した。これは「球面三角法の最初の論文」と考えられている。^{[47]この論文には「}右手三角形の公式、正弦の一般法則、極三角形による球面三角形の解法が含まれている」。この論文は後に「ヨーロッパの数学に強い影響」を与え、彼の「比を数として定義すること」と「すべての辺が未知の場合に球面三角形を解く方法」はレギオモンタヌスに影響を与えたと思われる。^[47]

三角測量の方法は、11世紀初頭にアブー・ライハン・ビールニーが述べているように、測量^[48]やイスラム地理学などの実用的な用途に応用されたイスラムの数学者によって最初に開発されました。ビールニー自身が、地球の大きさとさまざまな場所の間の距離を測定するために三角測量技術を導入しました。^[49] 11世紀後半には、ウマル・ハイヤーム（1048–1131）が三角関数表の補間によって見つかった近似数値解を使用して3次方程式を解きました。13世紀には、ナスィール・ッディーン・アル・トゥーシーが初めて三角法を天文学から独立した数学的分野として扱い、球面三角法を現在の形に発展させました。^[42]彼は球面三角法における直角三角形の6つの異なるケースを列挙し、著書『扇形図形について』では平面三角形と球面三角形の正弦法則を述べ、球面三角形の接線法則を発見し、これら2つの法則の証明を示した。^[50]ナスィルッディーン・トゥースィーは三角法を数学の分野として創始したと評されている。^{[51] [52] [53]}

15 世紀、ジャムシード・アル＝カーシーは、三角測量に適した形式で、初めて余弦定理を明示的に示した。^[要出典]フランスでは、余弦定理は今でもアル＝カーシーの定理と呼ばれている。彼はまた、正弦関数の値を 1° ごとに 4 つの60 進数 (小数点以下 8 桁に相当) に記した三角関数表を示し、1° の 1/60 ごとに差を加えるようにした。^[要出典]ウルグ・ベクも、ほぼ同時期に、小数点以下 8 桁までの正確な正弦および正接の表を示している。^[要出典]

1342年、ゲルソニデスとして知られるレヴィ・ベン・ゲルションは『正弦、弦、弧について』を著し、特に平面三角形の正弦法則を証明し、5桁の正弦表を示した。^[54]

簡略化された三角法の表「トレタ・デ・マルテロイオ」は、 14 世紀から 15 世紀にかけて地中海の船乗りが航路を計算するために使用していました。これは 1295 年にマヨルカ島のラモン・リュイによって記述され、1436 年にヴェネツィアの船長アンドレア・ビアンコの地図帳に掲載されています。

レギオモンタヌスは、1464年に著した『全三角法について』や、後に著した『方向表』の中で、名前のない正接関数を含め、三角法を独立した数学の分野として扱ったヨーロッパ初の数学者であると考えられる^{[55] 。}コペルニクスの弟子であるゲオルク・ヨアヒム・レティクスの『三角法のパラティヌム』は、三角関数を円ではなく直角三角形で直接定義し、6つの三角関数すべての表を示した、おそらくヨーロッパ初の数学者である。この著作は、レティクスの弟子であるヴァレンティン・オトによって1596年に完成された。

17 世紀に、アイザック・ニュートンとジェームズ・スターリングは三角関数の一般的なニュートン・スターリング補間公式を開発しました。

18世紀、レオンハルト・オイラーの『無限解析入門』（1748年）は、ヨーロッパで三角関数の解析的扱いを確立する上で大きな役割を果たし、その無限級数を導出し、「オイラーの公式」  e ^ix  = cos  x  +  i  sin  xを提示した。オイラーは、ほぼ現代的な略語であるsin.、cos.、tang.、cot.、sec.、cosec を使用した。これに先立ち、ロジャー・コーツは『等高線』 （1722年）で正弦の導関数を計算していた。^[56] また18世紀には、ブルック・テイラーが一般テイラー級数を定義し、6つの三角関数すべてに対して級数展開と近似を与えた。17世紀のジェームズ・グレゴリーと18世紀のコリン・マクローリンの作品も、三角級数の発展に大きな影響を与えた。

• ギリシャの数学
• 数学の歴史
• 三角関数
• 三角法
• プトレマイオスの弦表
• アーリヤバータの正弦表
• 有理三角法

• ボイヤー、カール・ベンジャミン（1991年）。数学の歴史（第2版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 978-0-471-54397-8。
• ジョセフ、ジョージ G. (2000)。『孔雀の紋章：非ヨーロッパの数学のルーツ（第 2 版）』。ロンドン：ペンギンブックス。ISBN 978-0-691-00659-8。
• カッツ、ビクター J. (1998)。数学の歴史 / 入門 (第 2 版)。アディソン ウェスレー。ISBN 978-0-321-01618-8。
• Katz, Victor J. (2007)。『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学：資料集』プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11485-9。
• ニーダム、ジョセフ（1986年）。『中国の科学と文明：第3巻、数学と天と地の科学』台北：Caves Books、Ltd。
• レスティボ、サル（1992）。社会と歴史における数学：社会学的探究。ドルドレヒト：クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ。ISBN 1-4020-0039-1。

Wikiquote には三角法の歴史に関する引用があります。

• ブラウンミュール、アントン・フォン（1900–1903）。 Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [三角法の歴史に関する講義] (ドイツ語)。 BG・トイブナー。
• ケネディ、エドワード S. (1969)。「三角法の歴史」。数学教室の歴史的トピック。NCTM 年鑑。第 31 巻。全米数学教師協会。pp. 333–375。
• マオール、イーライ(1998)。三角関数の楽しみ。プリンストン大学出版局。doi : 10.1515 / 9780691202204。ISBN 06910575402003年7月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012)。「三角法」。歴史から学ぶ幾何学。数学の学部テキスト。Springer。pp. 113–155。doi :10.1007/978-3-642-29163-0。ISBN 978-3-642-29162-3。
• ヴァン・ブルメレン、グレン（2009年）。『天と地の数学：三角法の初期の歴史』プリンストン大学出版局。
• ヴァン・ブルメレン、グレン（2021年）。三角形の教義：現代三角法の歴史。プリンストン大学出版局。