平均値の定理

微積分学や実解析学において、平均値の定理（またはラグランジュの平均値の定理）は微分可能な関数に関する定理であり、おおまかに言えば、ある区間における関数の平均変化率は、その区間内のいずれかの点における瞬間変化率に等しいというものです。例えば、車が一定の距離を有限の時間間隔で滑らかに移動する場合、走行中のいずれかの瞬間の速度は、走行全体の平均速度に等しくなります。

この定理は、実数値関数が閉区間で連続である場合、 $[a,b]$ 、と $a<b$ 内部で微分可能 $(a,b)$ そうすれば、少なくとも1つのポイントが $(a,b)$ ここで、導関数は、区間全体における関数の平均変化率に等しくなります。幾何学的には、これは、ある時点でグラフの接線が区間の両端点を通る割線と平行になることを意味します。これは、微分可能な関数の他の一般的な性質を証明する際に用いられます。

歴史

正弦の逆補間に関するこの定理の特殊なケースは、インドのケーララ天文学・数学学校のパラメシュヴァラ（1380–1460）が、ゴヴィンダスヴァーミとバースカラ2世の注釈の中で初めて記述した。^[¹^]この定理の制限された形式は、1691年にミシェル・ロールによって証明された。その結果は現在ロールの定理として知られており、微積分学の手法を用いずに多項式のみについて証明された。平均値の定理の現代的な形式は、1823年にオーギュスタン・ルイ・コーシーによって述べられ、証明された。 ^[²^]それ以来、この定理の多くの変形が証明されている。^[³^]^[⁴^]

声明

{\displaystyle f} — 機能 $f$ 間の割線の傾きに達する $a$ そして $b$ 点における導関数として $c\in (a,b)$ 。

させて $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 閉区間上で連続関数である $[a,b]$ 開区間上で微分可能 $(a,b)$ 、どこ $a<b$ すると、 $c$ で $(a,b)$ つまり：^{[ 5 ]}

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.

平均値の定理は、ロルの定理の一般化であり、 $f(a)=f(b)$ なので、上記の右辺はゼロになります。

平均値の定理は、もう少し一般的な設定でも依然として有効です。必要なのは、 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 連続している $[a,b]$ 、そしてすべての $x$ で $(a,b)$ 限界

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

有限数として存在するか、等しい $\infty$ または $-\infty$ 有限の場合、その極限は $f'(x)$ この定理のこのバージョンが適用される例として、実数値の立方根関数マッピングが挙げられる。 $x\mapsto x^{1/3}$ 原点において導関数が無限大に発散する。

証拠

その表現 ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}}$ 点を結ぶ直線の傾きを示します $(a,f(a))$ そして $(b,f(b))$ これは、グラフの弦です。 $f$ 、その間 $f'(x)$ 曲線上の点における接線の傾きを示します $(x,f(x))$ したがって、平均値の定理によれば、滑らかな曲線の任意の弦が与えられたとき、その弦の両端点の間にある曲線上の点を見つけることができ、その点における曲線の接線は弦に平行になります。以下の証明はこの考え方を示しています。

定義する $g(x)=f(x)-rx$ 、どこ $r$ は定数です。 $f$ 連続している $[a,b]$ 微分可能 $(a,b)$ も同様です $g$ . これから選択したい $r$ となることによって $g$ ロルの定理の条件を満たす。すなわち、

{\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(ba)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.\end{aligned}}

ロルの定理より、 $g$ 微分可能であり、 $g(a)=g(b)$ いくつかあります $c$ で $(a,b)$ そのために $g'(c)=0$ 等式から、 $g(x)=f(x)-rx$ それ、

{\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}\end{aligned}}

影響

定理1： $f$ は、任意の区間上で定義された連続な実数値関数である。 $I$ 実数直線の導関数が $f$ 区間内のすべての内部点において $I$ 存在し、ゼロである場合、 $f$ は一定です $I$ 。

証明:導関数を仮定する $f$ 区間内のすべての内部点において $I$ 存在し、ゼロである。 $(a,b)$ は任意の開区間である。 $I$ 平均値の定理により、ある点が存在する。 $c$ で $(a,b)$ そのため

0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{ba}}.

これは、 $f(a)=f(b)$ 。したがって、 $f$ 内部では一定である $I$ したがって、 $I$ 連続性により。（この結果の多変数版については下記を参照。）

備考：

継続性のみ $f$ 区間の両端では微分可能性ではなく、 $I$ 連続性の仮説を述べる必要がない場合 $I$ は開区間である。なぜなら、ある点における導関数の存在は、その点における連続性を意味するからである。（「導関数」の記事の「連続性と微分可能性」の項を参照のこと。）
微分可能性 $f$ 片側微分可能性に緩和することができ、半微分可能性に関する記事で証明が与えられています。

定理2：もし $f'(x)=g'(x)$ すべての人々のために $x$ 間隔で $(a,b)$ これらの関数の定義域の $fg$ 定数である、つまり $f=g+c$ どこ $c$ 定数 $(a,b)$ 。

証明: $F(x)=f(x)-g(x)$ 、それから $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ インターバル中に $(a,b)$ したがって、上記の定理1は、 $F(x)=f(x)-g(x)$ 定数です $c$ または $f=g+c$ 。

定理3：もし $F$ は、 $f$ 間隔を置いて $I$ すると、最も一般的な反微分は $f$ の上 $I$ は $F(x)+c$ どこ $c$ 定数です。

証明：これは上記の定理2から直接導かれる。

コーシーの平均値の定理

コーシーの平均値の定理（拡張平均値の定理とも呼ばれる）は、平均値の定理の一般化である。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}これは、関数が $f$ そして $g$ 両方とも閉区間上で連続である $[a,b]$ 開区間上で微分可能 $(a,b)$ すると、 $c\in (a,b)$ 、したがって

(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).

もちろん、もし $g(a)\neq g(b)$ そして $g'(c)\neq 0$ これは以下と同等です。

{\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.

幾何学的には、これは曲線のグラフに接線が存在することを意味します^[⁸^]

{\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}

これは、点によって定義される線に平行である。 $(f(a),g(a))$ そして $(f(b),g(b))$ しかし、コーシーの定理は、すべての場合にそのような接線が存在することを主張しているわけではない。 $(f(a),g(a))$ そして $(f(b),g(b))$ それらは異なる点であり、ある値に対してのみ満たされる可能性がある。 $c$ と $f'(c)=g'(c)=0$ つまり、前述の曲線が停留する値です。このような点では、曲線への接線は全く定義されない可能性が高いです。この状況の例として、次の曲線が挙げられます。

t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),

間隔で $[-1,1]$ 地点から $(-1,0)$ に $(1,0)$ しかし、水平な接線は存在しない。ただし、停留点（実際には尖点）はにある。 $t=0$ 。

コーシーの平均値の定理は、ロピタルの定理を証明するために使用できます。平均値の定理は、コーシーの平均値の定理の特殊な場合です。 $g(t)=t$ 。

証拠

コーシーの平均値の定理の証明は、平均値の定理の証明と同じ考え方に基づいている。

定義する $h(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x)$ そうすれば簡単にわかる $h(a)=h(b)=f(a)g(b)-f(b)g(a)$ 。

以来 $f$ そして $g$ 連続している $[a,b]$ 微分可能 $(a,b)$ も同様です $h$ 。全体として、 $h$ ロルの定理の条件を満たす。したがって、 $c$ で $(a,b)$ そのために $h'(c)=0$ . 定義を使用して $h$ 我々は持っています：

0=h'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)-(f(b)-f(a))g'(c)

結果は容易に導き出される。

多変数における平均値の定理

平均値の定理は、複数の変数を持つ実関数にも一般化できます。そのコツは、パラメータ化を用いて1変数の実関数を作成し、そこに1変数の定理を適用することです。

させて $G$ の開部分集合である $\mathbb {R} ^{n}$ 、そして $f:G\to \mathbb {R}$ 微分可能な関数であること。固定点 $x,y\in G$ 線分間の $x,y$ 横たわる $G$ 、そして定義する $g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}$ 。以来 $g$ は1変数の微分可能な関数であり、平均値の定理によれば次のようになる。

g(1)-g(0)=g'(c)

一部の人にとって $c$ 0から1の間。しかし、 $g(1)=f(y)$ そして $g(0)=f(x)$ コンピューティング $g'(c)$ 具体的には、次のようになります。

f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)

どこ $\nabla$ 勾配を表し、 $\cdot$ ドット積。これは、1変数の定理の正確な類似物です（ $n=1$ これは1変数の定理です。コーシー・シュワルツの不等式により、この式は次の推定値を与えます。

{\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.

特に、 $G$ は凸であり、偏微分は $f$ 制限されている、 $f$ はリプシッツ連続（したがって一様連続）である。

上記の応用として、以下を証明する。 $f$ 開集合の場合、定数となる。 $G$ は接続されており、 $f$ 0です。ある点を選択してください。 $x_{0}\in G$ 、そして $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ 私たちは示したい $g(x)=0$ すべての $x\in G$ そのためには、 $E=\{x\in G:g(x)=0\}$ 。それから $E$ 閉鎖中 $G$ そして空ではない。また、それは開いている。すべての $x\in E$ 、

{\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0

すべての $y$ 開いたボールの中心は $x$ そして中に含まれる $G$ 。以来 $G$ 接続されていると結論付けます $E=G$ 。

上記の議論は座標に依存しない方法で行われているため、次の場合にも一般化できる。 $G$ はバナッハ空間の部分集合である。

ベクトル値関数の平均値定理

ベクトル値関数には、平均値の定理の正確な類似物はありません（下記参照）。ただし、1次元の場合に平均値の定理が適用できる多くの状況に適用できる不等式があります。^{[ 9 ]}

定理—連続ベクトル値関数について $\mathbf {f$ は微分可能 $(a,b)$ 数が存在する $c\in (a,b)$ そのため

|\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|

。

証拠

取る $\varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)$ 。それから $\varphi$ は実数値であり、したがって平均値の定理により、

\varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)

一部の人にとって $c\in (a,b)$ 。今、 $\varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}$ そして $\varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).$ したがって、コーシー・シュワルツの不等式を用いると、上記の式から次の式が得られます。

|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).

もし ${\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)$ 、定理は自明に成り立つ。そうでなければ、両辺をで割ると $|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|$ 定理が得られる。

平均値の不平等

ジャン・デュードネは、古典的著作『現代解析の基礎』の中で、平均値の定理を捨てて平均不等式に置き換えている。これは、証明が構成的ではなく、平均値を求めることができないためであり、応用上は平均不等式のみが必要となるからである。セルジュ・ラングは『解析学I』の中で、平均値の定理を積分形式で即座に用いるが、この用法では導関数の連続性が必要となる。ヘンストック・クルツヴァイル積分を用いると、導関数が連続であるという追加の仮定なしに、平均値の定理を積分形式で得ることができる。なぜなら、すべての導関数はヘンストック・クルツヴァイル積分可能だからである。

平均値の等式に相当するものがない理由は次のとおりです。f $: U \to R m が$ 微分可能な関数（ $U \subset R n$ は開集合）であり、 $x + th$ 、 $x 、 h \in R n 、 t \in [0, 1]$ が問題の線分（ $U の内部にある）である場合、上記のパラメータ化手順を$ fの各成分関数 $f i (i = 1, \dots, m)$ に適用できます（上記の表記では $y$ $=$ $x$ $+$ $h$ とします）。そうすることで、線分上の点 $x$ $+$ $t$ $i$ $h$ が次の条件を満たすことがわかります。

f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.

しかし一般的には、線分上に $x$ $+$ $t$ $*$ $h$ を満たす点xは存在しない。

f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.

$すべてのi$ に対して同時に。例えば、次のように定義します。

{\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}

それから $f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}$ 、しかし $f_{1}'(x)=-\sin(x)$ そして $f_{2}'(x)=\cos(x)$ は同時にゼロになることはありません。 $x$ 範囲は $\left[0,2\pi \right]$ 。

上記の定理は、以下のことを示唆している。

平均値の不等式^{[ 10 ]} —連続関数の場合 ${\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}$ 、もし ${\textbf {f}}$ 微分可能 $(a,b)$ 、それから

|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|

。

実際、上記の記述は多くの用途に十分であり、以下のように直接証明できます。（ $f$ のために ${\textbf {f}}$ （読みやすさのため。）

証拠

まず、 $f$ 微分可能 $a$ それも。もし $f'$ は無制限である $(a,b)$ 証明すべきことは何もない。したがって、 $\sup _{(a,b)}|f'|<\infty$ 。させて $M>\sup _{(a,b)}|f'|$ を実数とする。 $E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.$ 私たちは見せたい $1\in E$ 継続性によって $f$ セット $E$ は閉じています。また、空ではありません。 $0$ はその中に含まれています。したがって、セット $E$ 最大の要素を持つ $s$ 。もし $s=1$ 、それから $1\in E$ これで終わりです。では、そうでないと仮定しましょう。 $1>t>s$ 、

{\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}

させて $\epsilon >0$ 次のような $M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|$ 微分可能性により $f$ で $a+s(b-a)$ （注記 $s$ 0 の場合もある） $t$ 十分に近い $s$ 最初の項は $\leq \epsilon (t-s)(b-a)$ 2番目の項は $\leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)$ 3番目の項は $\leq Ms(b-a)$ したがって、推定値を合計すると、次のようになります。 $|f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|$ 最大性に対する矛盾 $s$ したがって、 $1=s\in M$ つまり、次のようになるということです。

|f(b)-f(a)|\leq M(b-a).

以来 $M$ が任意であれば、これは次の主張を意味します。最後に、 $f$ 微分不可能 $a$ 、させて $a'\in (a,b)$ そして最初のケースを適用する $f$ 制限されている $[a',b]$ それによって、私たちは以下のことを得ることができました。

|f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|

以来 $(a',b)\subset (a,b)$ 貸す $a'\to a$ 証明を終える。

定理を適用できない場合

平均値の定理が成り立つための条件はすべて必要である。

${\boldsymbol {f}}$ 微分可能 ${\boldsymbol {(a,b)}}$
${\boldsymbol {f}}$ 連続している ${\boldsymbol {[a,b]}}$
${\boldsymbol {f}}$ 実数値です

上記の条件のいずれかが満たされない場合、平均値の定理は一般には有効ではなく、したがって適用することはできません。

最初の条件の必要性は、関数が $f$ によって与えられた $f(x)=|x|$ の上 $[-1,1]$ 少なくとも1つの点で微分不可能である $(-1,1)$ 。

第二条件の必要性は、関数が $f$ によって与えられた $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}$ 基準1を満たすため $f'(x)=0$ の上 $(0,1)$ しかし基準2ではないため $f$ 左連続ではない $0$ 平均変化率は $f$ 以上 $[0,1]$ は ${\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1$ しかし、存在しない $x\in (0,1)$ そのため $f'(x)=-1$ したがって、その定理は成り立たない。

微分可能な関数が実数値ではなく複素数値である場合、この定理は偽となる。例えば、 $f(x)=e^{xi}$ すべての現実のために $x$ 、それから $f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)$ その間 $f'(x)\neq 0$ 実際の $x$ 。

定積分に関する平均値の定理

定積分に関する第一平均値定理

幾何学的に言えば、f ( c ) を長方形の高さ、b – aを幅と解釈すると、この長方形は*aから*bまでの曲線の下の領域と同じ面積を持つ^{[ 11 ]}

f : [ a , b ] → Rを連続関数とする。このとき、( a , b ) 内にcが存在し、

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).

これは微積分学の基本定理と導関数の平均値の定理から直ちに導かれる。区間[ a , b ]におけるfの平均値は次のように定義される。

{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,

この結論は、 f が( a , b ) 内の何らかのcで平均値に達すると解釈できます。^[¹²^]

一般に、f : [ a , b ] → Rが連続であり、gが [ a , b ]上で符号が変わらない積分可能な関数である場合、 ( a , b )内にcが存在し、

\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.

定積分に関する第2平均値定理

定積分に関する第2平均値定理と呼ばれる、若干異なる様々な定理が存在する。よく見られる定理は以下のとおりである。

もし

G:[a,b]\to \mathbb {R}

は正の単調減少関数であり、

{\displaystyle \varphi

は積分可能な関数であるならば、 ( a , b ] 数xが存在し、

\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.

ここ $G(a^{+})$ は ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$ 、その存在は条件から導かれる。区間 ( a , b ] がbを含むことが不可欠であることに注意する。この要件を持たない変種は次の通りである。^{[ 13 ]}

もし

G:[a,b]\to \mathbb {R}

は単調関数（必ずしも減少関数ではなく、正の値をとる）であり、

{\displaystyle \varphi

は積分可能な関数であるならば、 ( a , b ) 数xが存在し、

\int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.

関数が $G$ 多次元ベクトルを返す場合、積分のMVTは、たとえ定義域が $G$ また、多次元的でもある。

例えば、次の 2 次元関数を考えてみましょう。 $n$ -次元立方体:

{\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}

すると、対称性により、平均値は $G$ その定義域は(0,0)です。

\int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)

しかし、 $G=(0,0)$ 、なぜなら $|G|=1$ どこにでも。

一般化

線形代数

と仮定する $f,g,$ そして $h$ は微分可能な関数である $(a,b)$ 連続している $[a,b]$ 。定義する

D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}

存在する $c\in (a,b)$ そのため $D'(c)=0$ 。

注目してください

D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}

そしてもし私たちが配置したら $h(x)=1$ すると、コーシーの平均値の定理が得られます。 $h(x)=1$ そして $g(x)=x$ ラグランジュの平均値の定理が得られます。

一般化の証明は非常に簡単です。 $D(a)$ そして $D(b)$ 2つの同一の行を持つ行列式であるため $D(a)=D(b)=0$ すると、ロルの定理は、 $c\in (a,b)$ そのため $D'(c)=0$ 。

確率論

XとYを非負の確率変数とし、E[ X ] < E[ Y ] < ∞とします。 $X\leq _{st}Y$ （つまり、通常の確率的順序でXはYより小さい）。すると、確率密度関数を持つ絶対連続な非負の確率変数Zが存在する。

f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.

gをE[ g ( X )]、E[ g ( Y )] < ∞ を満たす可測かつ微分可能な関数とし、その導関数g′ をすべてのy ≥ x ≥ 0 に対して区間 [ x , y ]上で可測かつリーマン積分可能とする。このとき、E[ g′ ( Z )] は有限であり、^[¹⁴^]

{\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].

複素解析

前述のように、この定理は微分可能な複素数値関数には適用されません。代わりに、この定理の一般化が次のように述べられています。^{[ 15 ]}

f : Ω → C を開凸集合 Ω 上の正則関数とし、 aとb をΩ 内の異なる点とする。このとき、aからbへの線分の内部に点u、v が存在し、

\operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),

\operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).

ここで、Re()は複素数値関数の実部、Im()は虚部を表す。

注記

↑ JJ O'Connor および EF Robertson (2000). Paramesvara、 MacTutor 数学史アーカイブ。
↑アダム・ベセニエイ。「平均値定理の歴史的展開」(PDF)。
↑ Lozada-Cruz, German (2020-10-02). "コーシーの平均値の定理のいくつかの変種" . International Journal of Mathematical Education in Science and Technology . 51 (7): 1155– 1163. Bibcode : 2020IJMES..51.1155L . doi : 10.1080/0020739X.2019.1703150 . ISSN 0020-739X . S2CID 213335491 .
↑ Sahoo, Prasanna. (1998).平均値の定理と関数方程式. Riedel, T. (Thomas), 1962-. シンガポール: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5OCLC 40951137
↑ルーディン 1976、p. 108。
↑ Weisstein, Eric W. 「拡張平均値定理」 . MathWorld .
↑ルーディン 1976 年、107 ～ 108 ページ。
↑ 「コーシーの平均値の定理」。Math24。2018年10月8日取得。
↑ルーディン 1976、p. 113。
↑ Hörmander 2015、定理 1.1.1. およびその後の注釈。
↑ 「Mathwords: 積分の平均値の定理」www.mathwords.com .
↑マイケル・コメネッツ (2002).微積分：基礎編. ワールド・サイエンティフィック. p. 159. ISBN 978-981-02-4904-5。
↑ Hobson, EW (1909). "積分計算の第二平均値定理について" . Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14– 23. Bibcode : 1909PLMS...27...14H . doi : 10.1112/plms/s2-7.1.14 . MR 1575669 .
↑ Di Crescenzo, A. (1999). "平均値定理の確率論的類似性と信頼性理論への応用". J. Appl. Probab. 36 (3): 706– 719. doi : 10.1239/jap/1032374628 . JSTOR 3215435 . S2CID 250351233 .
↑ 1 J.-Cl. Evard、F. Jafari、「複素ロルの定理」、American Mathematical Monthly、第99巻、第9号、（1992年11月）、pp. 858-861。

参考文献

ルーディン、ウォルター（1976）。数学解析の原理。オークランド：マグロウヒル出版。ISBN 978-0-07-085613-4。
Hörmander, Lars (2015), 『線形偏微分作用素の解析 I: 分布理論とフーリエ解析』、Classics in Mathematics (第 2 版)、Springer、ISBN 9783642614972

外部リンク

「コーシーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
PlanetMathの平均値の定理。
ワイススタイン、エリック・W. 「平均値の定理」 . MathWorld .
ワイススタイン、エリック・W. 「コーシーの平均値の定理」 . MathWorld .
微分積分（2017年版）• ユニット11：導関数の応用 • 平均値の定理（カーンアカデミー）

[1] JJ O'Connor および EF Robertson (2000). Paramesvara、 MacTutor 数学史アーカイブ。

[2] アダム・ベセニエイ。「平均値定理の歴史的展開」(PDF)。

[3] Lozada-Cruz, German (2020-10-02). "コーシーの平均値の定理のいくつかの変種" . International Journal of Mathematical Education in Science and Technology . 51 (7): 1155– 1163. Bibcode : 2020IJMES..51.1155L . doi : 10.1080/0020739X.2019.1703150 . ISSN 0020-739X . S2CID 213335491 .

[4] Sahoo, Prasanna. (1998).平均値の定理と関数方程式. Riedel, T. (Thomas), 1962-. シンガポール: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5OCLC 40951137

[FOOTNOTERudin1976108-5] ルーディン 1976、p. 108。

[6] Weisstein, Eric W. 「拡張平均値定理」 . MathWorld .

[FOOTNOTERudin1976107–108-7] ルーディン 1976 年、107 ～ 108 ページ。

[8] 「コーシーの平均値の定理」。Math24。2018年10月8日取得。

[FOOTNOTERudin1976113-9] ルーディン 1976、p. 113。

[10] Hörmander 2015、定理 1.1.1. およびその後の注釈。

[11] 「Mathwords: 積分の平均値の定理」www.mathwords.com .

[Comenetz2002-12] マイケル・コメネッツ (2002).微積分：基礎編. ワールド・サイエンティフィック. p. 159. ISBN 978-981-02-4904-5。

[13] Hobson, EW (1909). "積分計算の第二平均値定理について" . Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14– 23. Bibcode : 1909PLMS...27...14H . doi : 10.1112/plms/s2-7.1.14 . MR 1575669 .

[14] Di Crescenzo, A. (1999). "平均値定理の確率論的類似性と信頼性理論への応用". J. Appl. Probab. 36 (3): 706– 719. doi : 10.1239/jap/1032374628 . JSTOR 3215435 . S2CID 250351233 .

[15] 1 J.-Cl. Evard、F. Jafari、「複素ロルの定理」、American Mathematical Monthly、第99巻、第9号、（1992年11月）、pp. 858-861。

[

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[

[ 13 ]

[

[ 15 ]

平均値の定理

歴史

声明

証拠

影響

コーシーの平均値の定理

証拠

多変数における平均値の定理

ベクトル値関数の平均値定理

平均値の不平等

定理を適用できない場合

定積分に関する平均値の定理

定積分に関する第一平均値定理

定積分に関する第2平均値定理

一般化

線形代数

確率論

複素解析

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

微積分学

実解析学

ラグランジュ

微分可能な関数