プリンプトン 322

プリンプトン 322
楔形文字で数字が書かれたプリンプトン 322 粘土板
身長	9センチ
幅	13センチ
作成	紀元前1800年頃
現在地	ニューヨーク市、ニューヨーク州、アメリカ合衆国

プリンプトン322はバビロニアの 粘土板で、バビロニア数学の例が含まれていることで有名です。コロンビア大学のGAプリンプトンコレクションでは322番となっています。^[1]この粘土板は紀元前1800年頃に書かれたと考えられており、当時の 楔形文字で書かれた4列15行の数字の表が含まれています。

この表には、現在ピタゴラス数列と呼ばれる 3 つの数、つまりa ² + b ² = c ²を満たす整数a、b、c のうちの 2 つがリストされています。現代の観点から見ると、このような数列を構成する方法は、ギリシャやインドの数学者がこの問題の解法を発見するずっと前から知られていた重要な初期の成果です。

この石板の性質と目的については、学術的にも重要な議論がなされてきました。この石板に関する読みやすい一般向けの解説については、数学の解説の優秀さに対してレスター・R・フォード賞を受賞した Robson (2002)または、もっと簡潔に言えば Conway & Guy (1996) を参照してください。Robson (2001) は、石板の数字の解釈について、広範な参考文献とともに、より詳細かつ技術的な議論をしています。

プリンプトン322は部分的に破損しており、幅約13cm、高さ約9cm、厚さ約2cmです。ニューヨークの出版者ジョージ・アーサー・プリンプトンは、 1922年頃に考古学ディーラーのエドガー・J・バンクスからこの粘土板を購入し、1930年代半ばにコレクションの残りとともにコロンビア大学に遺贈しました。バンクスによると、この粘土板はイラク南部の古代都市ラルサに相当するセンケレの遺跡から出土したとのことです。^[2]

この粘土板は、楔形文字の筆跡から判断して、紀元前1800年頃（中期紀元）に書かれたものと考えられている。 ^[3]ロブソン（2002）は、この筆跡は「4000～3500年前のイラク南部の文書に典型的」であると述べている。より具体的には、日付が明確に記されているラルサの他の粘土板との書式の類似性から判断すると、プリンプトン322は紀元前1822～1784年のものである可能性が高い。^[4]ロブソンは、プリンプトン322は、当時の数学的文書ではなく、他の行政文書と同じ書式で書かれていると指摘している。^[5]

プリンプトン 322 の主な内容は、バビロニアの60 進法で書かれた 4 列 15 行の数字表です。4 列目は行番号のみで、1 から 15 まで順番に並んでいます。2 列目と 3 列目は、現存する粘土板では完全に見ることができます。ただし、1 列目の端は折れており、欠けている数字が何であるかについては 2 つの一貫した推定があります。これらの解釈は、各数字が 1 に等しい追加の数字で始まるかどうかという点のみ異なります。

異なる推定は括弧で示され、内容が推測される第1列と第4列の破損部分は斜体で示され、6つの推定エラーは太字で示され、その下の角括弧内に一般的に提案されている修正とともに、これらの数字は

行 15 の修正には 2 つの可能な選択肢が示されています。3 列目の 53 をその値の 2 倍である 1 46 に置き換えるか、2 列目の 56 をその値の半分である 28 に置き換えるかのいずれかです。

これらの柱の左側の粘土板の折れた部分には、追加の柱があった可能性があります。バビロニアの 60 進法では、各数字を 60 倍にすることを指定しなかったため、これらの数字の解釈はあいまいです。2 列目と 3 列目の数字は、一般的に整数とみなされます。1 列目の数字は分数としてしか理解できず、その値はすべて 1 から 2 の間になります (最初の 1 が存在すると仮定。存在しない場合は 0 から 1 の間になります)。

これらの分数は正確な値であり、切り捨てや四捨五入された近似値ではありません。これらの仮定の下での石板の 10 進数への変換を以下に示します。最初の列の正確な 60 進数分数のほとんどには、終了する 10 進数展開がなく、小数点以下 7 桁に四捨五入されています。

^*以前と同様に、行 15 の別の可能な修正では、2 列目に 28、3 列目に 53 が入ります。行 11 の 2 列目と 3 列目のエントリは、行 15 を除く他のすべての行とは異なり、共通の因数を含んでいます。45 と 1 15 は 3/4 と 5/4 として理解される可能性があり、これはバビロニア数学でよく知られている(3,4,5) 直角三角形の標準的な (0.75,1,1.25) スケーリングと一致しています。

各行で、2 列目の数字は直角三角形の短辺、3 列目の数字は三角形の斜辺と解釈できます。いずれの場合も、長辺も整数であり、と はピタゴラスの三つ組の 2 つの要素を構成します。1 列目の数字は、分数(「1」が含まれていない場合) または(「1」が含まれている場合) のいずれかです。いずれの場合も、長辺は正規の数、つまり 60 の累乗の整数約数、または同等に、2、3、5 の累乗の積です。このため、1 列目の数字は正確です。整数を正規の数で割ると、終端の 60 進数が生成されるためです。たとえば、表の 1 行目は、短辺が 119、斜辺が 169 の三角形を表していると解釈できます。これは、長辺 を意味し、正規の数 (2 ³ ·3·5)です。列 1 の数字は (169/120) ²または (119/120) ^{2 の}いずれかです。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle l}$${\displaystyle s}$${\displaystyle d}$${\textstyle s^{2}/l^{2}}$${\textstyle {\tfrac {d^{2}}{l^{2}}}\,=\,1+{\tfrac {s^{2}}{l^{2}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle {\sqrt {169^{2}-119^{2}}}=120}$

各列にはアッカド語で書かれた見出しがある。一部の単語はシュメール語の表語文字で、読者はアッカド語の単語を表わすと理解したであろう。これらには、アッカド語のmithartum (「正方形」)を表すÍB.SI _{8 、アッカド語の}šumšu (「その線」) を表す MU.BI.IM 、アッカド語のpūtum (「幅」) を表す SAG などがある。4 列目の各数字の前にはシュメール文字の KI が付いており、Neugebauer & Sachs (1945) によると、これによって「序数としての性質が与えられる」という。上記の 60 進法表で、イタリック体の単語および単語の一部は、石板の損傷または判読不能により判読不能となったテキスト部分を現代の学者が再構築したものである。ÍB.SI ₈および takiltum という用語は、正確な意味について議論が続いているため翻訳されていない。

列 2 と 3 の見出しは「幅の二乗」と「対角線の二乗」と翻訳できますが、Robson (2001) (pp. 173–174) は、ÍB.SI ₈という用語は正方形の面積または正方形の辺のいずれかを指す可能性があり、この場合は「「正方形の辺」またはおそらく「平方根」」と理解されるべきだと主張しています。同様に、ブリトン、プルースト、シュナイダー (2011) (p. 526) は、この用語は、現在では二次方程式として理解されるものを解くために平方完成法が使用される問題で頻繁に登場し、その文脈では完成した正方形の辺を指しているが、「線形寸法または線分が意味されている」ことを示す役割も果たす可能性があると指摘しています。一方、ノイゲバウアーとザックス (1945) (pp. 35, 39) は、この用語がさまざまな数学演算の結果を指す例を示し、「幅 (または対角線) の数を解く」という翻訳を提案しています。同様に、フリバーグ (1981) (p. 300) は「ルート」という翻訳を提案しています。

1列目では、見出しの両行の最初の部分が破損している。Neugebauer & Sachs (1945) は最初の単語をtakilti ( takiltumの一形態) と再構成し、この読み方はその後のほとんどの研究者に受け入れられている。この見出しは一般に翻訳不可能とみなされていたが、Robson (2001) が2行目の途切れた部分に 1 を挿入することを提案し、判読不能な最後の単語を解読して、上の表に示す読み方を導き出した。詳細な言語分析に基づき、Robson はtakiltum を「四角形を保持する」と翻訳することを提案している。^[6]

Britton、Proust、Shnider (2011) は、古代バビロニアの数学におけるこの単語の比較的少数の既知の出現を調査している。彼らは、ほとんどの場合、この単語は正方形を完成させる過程で図形に追加される補助正方形の線形寸法を指し、二次方程式を解く最後のステップで減算される量であると指摘しているが、この例では正方形の面積を指すと理解すべきであるという Robson の意見に同意している。一方、Friberg (2007) は、見出しの切れた部分で、takiltumの前にa-ša (「面積」)が付いていた可能性があると提案している。現在では、この見出しは、長さ (長辺) が 1 の長方形の幅 (短辺) と対角線上の正方形の関係を説明しているという点で広く合意されている。対角線上の正方形から面積 1 を減算 (「引き裂く」) すると、幅の正方形の面積が残る。

上の表に示されているように、ほとんどの学者は、この石板には 6 つの誤りがあると考えています。また、行 15 の 2 つの訂正の可能性を除いて、正しい値が何であるかについては広く合意されています。ただし、誤りがどのように発生したか、また、石板の計算方法に関して誤りが何を意味するかについては、あまり合意が得られていません。誤りの概要は次のとおりです。

2行1列目の誤り（1と10がないために50と6の間にスペースを空け忘れている）と9行2列目（8を9と書いている）は、一般的に作業用粘土板（またはおそらく粘土板の以前の写し）から書き写した際の小さな誤りとみなされている。8行1列目の誤り（2つの60進数の数字45 14をその合計である59に置き換えている）は、粘土板に関する初期の論文のいくつかでは気づかれていなかったようである。これは、作業用粘土板から書き写す過程で筆写者が犯した単純な間違いとみなされることもあった（たとえばRobson（2001））。

しかし、Britton、Proust、Shnider (2011) で議論されているように、多くの学者は、このエラーは、例えば、筆記者が掛け算を行う際に中央のゼロ (ゼロを表す空白) を見落とすなど、その数字に至るまでの計算のエラーとして説明する方がずっと妥当であると主張しています。このエラーの説明は、表の作成方法に関する主な 2 つの提案と互換性があります (以下を参照)。

残りの3つの誤りは、石板の計算方法に関係している。13行2列目の数字7 12 1は、正しい値2 41の2乗である。2列目の長さが対応する正方形の面積の平方根をとって計算されたか、長さと面積が一緒に計算されたと仮定すると、この誤りは平方根を取らなかったか、作業用石板から間違った数字をコピーしたためと説明できるかもしれない。^[7]

15行目の誤りが、2列目に28ではなく56と書いたと理解されるならば、この誤りは、後続部分アルゴリズムの不適切な適用の結果として説明できる。このアルゴリズムは、表が以下に説明するように逆数ペアによって計算された場合に必要となる。この誤りは、2列目と3列目の数字に共通する規則的な因数を、いずれかの列で不適切な回数だけ除去する反復手順を適用したことに相当する。^[8]

2行目3列目の数字は正しい数字と明らかな関係がなく、この数字がどのようにして得られたかを説明すると、すべて複数の誤りが仮定されます。ブルーインズ（1957）は、3 12 01は3 13の単純なコピーミスである可能性があると指摘しました。これが事実であれば、誤った数字3 13の説明は、15行目の誤りの説明と似ています。^[9]

一般的な見解の例外は Friberg (2007) である。この研究では、同じ著者 (Friberg (1981)) による以前の分析とは異なり、行 15 の数字は誤りではなく、意図どおりに書かれており、行 2、列 3 の唯一の誤りは 3 13 を 3 12 01 と書き間違えたことであると仮定されている。この仮説では、列 2 と 3 を「前面と対角線の因数削減コア」として再解釈する必要がある。数の因数削減コアとは、完全平方の正規因数が除去された数であり、因数削減コアの計算は、古代バビロニア数学における平方根の計算プロセスの一部であった。フリバーグによれば、「プリンプトン322の著者は、正規化された対角線の三つ組（各三つ組の長さが1に等しい）のシリーズを、対応する原始的な対角線の三つ組（前線、長さ、対角線が共通因数のない整数に等しい）のシリーズに縮小することを意図したことはなかった。」^[10]

これらの数字がどのように生成されたかについては、学者の間でも意見が分かれています。Buck (1980) と Robson (2001) はどちらも、表の作成方法として 2 つの主要な提案を挙げています。Neugebauer & Sachs (1945) が提案したペア生成法と、Bruins ^{[11]が提案し、Voils [12]} 、 Schmidt (1980)、Friberg ^[13]が詳細に説明した逆数ペア法です。

現代の用語を使用すると、pとq が自然数でp > qの場合、( p ² − q ²、 2 pq、p ² + q ² ) はピタゴラス数列を形成します。この数列は原始的であり、pとq が互いに素で両方とも奇数でない場合、三角形の 3 辺に共通因数はありません。Neugebauer と Sachs は、pとq が互いに素な正数 (ただし両方とも奇数になる可能性あり。行 15 を参照) になるように選択し、 d = p ² + q ²、s = p ² − q ²、およびl = 2 pq (したがってlも正数) を計算することによって粘土板が生成されたと提案しています。

たとえば、行 1 は、p = 12、q = 5 と設定することで生成されます。Buck 氏と Robson 氏はどちらも、この提案では列 1 が存在するのは不思議で、構築に何の役割も果たしていないこと、また、この仮説によれば粘土板の破断部分の左側の列に列挙されていた可能性があるまたはの値ではなく、表の行がこのように順序付けられている理由が説明されていないことを指摘しています。Robson 氏はまた、この提案では表の誤りがどのように発生した可能性があるのか​​が説明されておらず、当時の数学文化にそぐわないと主張しています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

逆数ペアの提案では、出発点は単一の正則 60 進分数xとその逆数 1/ xです。「正則 60 進分数」とは、xが 2、3、5 の (負の場合もある) 累乗であることを意味します。すると、量 ( x −1/ x )/2、1、および ( x +1/ x )/2 は、現在では有理数ピタゴラス数列と呼ばれるものを形成します。さらに、3 つの辺はすべて有限の 60 進数表現を持ちます。

この提案の支持者は、正則な逆数の対 ( x ,1/ x ) は、プリンプトン 322 とほぼ同じ時期と場所の別の問題、つまり、長辺が短辺より指定された長さcだけ長い面積 1 の長方形の辺を求める問題 (今日では、二次方程式 の解として計算されるかもしれない) に現れると指摘している。ロブソン (2002) は、粘土板 YBC 6967 を分析し、その中でこのような問題は、中間値のシーケンスv ₁ = c /2、v ₂ = v ₁ ²、v ₃ = 1 + v ₂、およびv ₄ = v ₃ ^{1/2 を}計算することによって解かれ、そこからx = v ₄ + v ₁および 1/ x = v ₄ − v ₁を計算できる。 ${\textstyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$

v ₃の平方根を計算する必要があるため、一般に答えは有限の 60 進数表現を持ちませんが、 YBC 6967 の問題は、cの値が適切に選択され、良い答えが得られるように設定されています。実際、これが、x が通常の 60 進数分数であるという上記の指定の起源です。このようにx を選択すると、 xと 1/ x の両方が有限の 60 進数表現を持つことが保証されます。良い答えが得られる問題を設計するには、問題作成者はそのようなx を選択し、初期データc をx − 1/ xに等しくするだけで済みます。副作用として、これにより、脚がv ₁と 1 で斜辺がv ₄である有理ピタゴラス三組が生成されます。

YBC 6967 の問題は実際には方程式 を解くものであり、これは上記のv ₃の式をv ₃ = 60 + v _{2に置き換えることを伴うことを指摘しておく必要があります。これにより、辺が}v ₁、、およびv ₄になるため、有理数 3 倍を得るという副作用は失われます。この提案では、バビロニア人が問題の両方のバリエーションに精通していたと想定する必要があります。 ${\textstyle x-{\tfrac {1\ 00}{x}}=x-{\tfrac {60}{x}}=c}$${\displaystyle {\sqrt {60}}}$

ロブソンは、プリンプトン 322 の柱は次のように解釈できると主張しています。

最初の列では、v ₃ = (( x + 1/ x )/2) ² = 1 + ( c /2) ^{2であり、}

a · v ₁ = a ·( x − 1/ x )/2 であり、第2列の適切な乗数aに対しては

3列目ではa · v ₄ = a ·( x + 1/ x )/2です。

この解釈では、xと 1/ x (またはv ₁とv ₄ ) は、最初の列の左側の途切れた部分に石板に現れたことになります。したがって、列 1 の存在は計算の中間ステップとして説明され、行の順序はx (またはv ₁ ) の降順になっています。列 2 と 3 の値を計算するために使用される乗数a は、辺の長さの再スケーリングと考えることができますが、「末尾部分アルゴリズム」の適用から生じます。このアルゴリズムでは、両方の値が、両方の最後の 60 進数の桁に共通する任意の規則的な因数の逆数で繰り返し乗算され、そのような共通因数がなくなるまで続きます。^[14]

上で述べたように、このタブレットのエラーはすべて、逆数ペアの提案で自然に説明できます。一方で、ロブソンは、この提案では列 2 と 3 の役割と乗数aの必要性が説明されていないことを指摘し、タブレットの作者の目的は、YBC 6967 で解決されたタイプの二次方程式の問題ではなく、「ある種の直角三角形の問題」のパラメータを提供することだったと示唆しています。また、彼女は、このテーブルを生成するために使用された方法と、そのテーブルが意図された用途が同じである必要はないとも指摘しています。^[15]

粘土板の数字が逆数対を使って生成されたという考えを強力に裏付けるものとして、Schøyen Collectionの MS 3052 と MS 3971 の 2 つの粘土板がある。Jöran Friberg は 2 つの粘土板を翻訳・分析し、どちらにも逆数対を出発点として長方形の対角線と辺の長さを計算する例が含まれていることを発見した。2 つの粘土板はどちらも古バビロニアのもので、Plimpton 322 とほぼ同じ時代のものであり、どちらもラルサ近郊のウルクから出土したと考えられている。^[16]

2 つのタブレットのさらなる分析は、Britton、Proust、Shnider (2011) で行われました。MS 3971 には 5 つの問題のリストが含まれており、その 3 番目は「5 つの対角線を見るために」で始まり、「5 つの対角線」で終わります。問題の 5 つの部分のそれぞれに与えられたデータは、逆数のペアで構成されています。各部分について、長方形の対角線と幅 (短辺) の両方の長さが計算されます。長さ (長辺) は指定されていませんが、計算では 1 とみなされます。現代の用語では、計算は次のように行われます。xと 1/ x が与えられたら、まず対角線 ( x +1/ x )/2 を計算します。次に、

${\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}$

幅。5 つの部分のうち最初の部分を含む粘土板の部分が損傷したため、この部分の問題の説明と解答は、最初のデータの痕跡を除いて失われています。他の 4 つの部分は、大部分がそのまま残っており、すべて非常によく似た文章が含まれています。対角線を逆数のペアの合計の半分とみなす理由は、完全な文章には記載されていません。幅の計算は ( x −1/ x )/2 に相当しますが、このより直接的な計算方法は使用されておらず、対角線の 2 乗を各辺の 2 乗の合計に関連付ける規則が好まれています。

MS 3052 の第 2 問題のテキストもひどく損傷しているが、残っている部分は MS 3971 の第 3 問題の 5 つの部分と似た構造になっている。問題には図が含まれているが、フリバーグによれば、これはおそらく「対角線のない長方形」である。 ^[17]ブリトン、プルースト、シュナイダー (2011) は、保存されているテキストの部分では長さが 1 であると明示的に述べられており、幅を長さの 2 乗として計算する過程で対角線の 2 乗から減算される 1 が明示的に計算されていることを強調している。2 つの石板にある 6 つの問題の初期データと計算された幅と対角線を以下の表に示す。

MS 3971 § 3a のパラメータは、タブレットの損傷により不確かです。MS 3052 の問題のパラメータは、標準の (3,4,5) 直角三角形の再スケーリングに対応しており、これは Plimpton 322 の行 11 として表示されます。MS 3971 の問題のパラメータは、Plimpton 322 の行のいずれにも一致しません。以下で説明するように、Plimpton 322 のすべての行はx ≥9/5 ですが、MS 3971 のすべての問題はx <9/5 です。ただし、MS 3971 のパラメータはすべて、以下でも説明する de Solla Price が提案した Plimpton 322 の表の拡張の行に対応しています。

YBC 6967 の問題における逆数対の役割は、MS 3052 および MS 3971 (さらには Plimpton 322) の問題とは異なることを強調しておかなければならない。YBC 6967 の問題では、逆数対の要素は面積 1 の長方形の辺の長さである。xおよび 1/ xの幾何学的意味は、MS 3052 および MS 3971 の問題の現存するテキストには記載されていない。目的は、有限の 60 進数の幅と対角線を持つ長方形を生成するための既知の手順を適用することだったと思われる。^[18]また、これらの問題では、辺の長さを再スケーリングするためにトレーリング ポイント アルゴリズムが使用されなかったことも指摘しておく必要がある。

逆数ペアの提案における量x は、生成ペアの提案における比率p  /  qに対応します。確かに、2 つの提案は計算方法が異なりますが、 pとqが両方とも奇数の場合に全体の係数が 2 になることを除けば、どちらも同じ 3 つ組を生成するため、結果に数学的な違いはほとんどありません。(残念ながら、タブレットでこれが発生する唯一の場所は行 15 ですが、これにはエラーが含まれているため、提案を区別するために使用することはできません。) 逆数ペアの提案の支持者は、x が基礎となるpとqから計算されたが、タブレットの計算で使用される組み合わせp  /  qとq  /  pのみを使用して計算されたのか^[19]、またはx が逆数表などの他のソースから直接取得されたのかで意見が分かれています。^[20]

後者の仮説の難しさは、必要なxまたは 1/ xの値の一部が4 桁の 60 進数であり、4 桁の逆数表が知られていないことです。実際、ノイゲバウアーとサックスは、元の研究で逆数ペアを使用する可能性に気付いており、この理由でそれを拒否しました。しかし、ロブソンは、古バビロニア時代の既知の情報源と計算方法により、使用されたxのすべての値を説明できると主張しています。

ノイゲバウアーとザックスは、石板の三角形の寸法が、ほぼ二等辺三角形（短辺が 119、長辺が 120 とほぼ等しい）から、30° と 60° に近い鋭角の直角三角形までの範囲にあり、角度が約 1° ずつほぼ均一に減少していることを指摘しています。彼らは、この目的を念頭に置いて、 pとqのペアが意図的に選択されたと示唆しています。

生成対の枠組みの中で作業していた de Solla Price (1964) は、表のすべての行が1 ≤ q <60を満たす qによって生成されることを観察しました。つまり、qは常に 1 桁の 60 進数です。比p / q は、表の行 1 で最大値の 12/5=2.4 を取るため、常に 未満になります。この条件は、p ²  −  q ²が三角形の長い辺で、 2 pq が短い辺であることを保証し、現代の言葉で言えば、長さp ²  −  q ²の辺の反対側の角度が 45° 未満であることを意味します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1\approx 2.414}$

比率が最小となるのは、p / q =9/5 で角度は約 31.9° の 15 行目です。さらに、9/5 から 12/5 までの間に、qが 1 桁の 60 進数である規則的な比率が 15 個あり、これらは石板の行と 1 対 1 で対応しています。また、数字の間隔が均等なのは意図的ではない可能性もあると指摘しています。これは、表で考慮されている数字の範囲内で規則的な数字の比率が密集していることから生じただけかもしれません。

デ・ソラ・プライスは、この比率の自然な下限は 1 であり、これは角度 0° に対応すると主張した。彼は、q が1 桁の 60 進数であるという要件を維持すると、タブレットに表示されているものに加えて 23 組のペアがあり、合計 38 組になることを発見した。彼は、タブレットの列間の縦の刻み目が背面まで続いていることに注意し、筆写者がテーブルを拡張する意図があった可能性があることを示唆している。彼は、利用可能なスペースには 23 行を追加しても問題ないと主張している。逆数ペア提案の支持者もこの方式を支持している。^[21]

ロブソン (2001) はこの提案に直接言及していないが、表が「完全」ではなかったことに同意している。彼女は、逆数対の提案では、タブレットに表されるすべてのx は最大で 4 桁の 60 進数で、その逆数も最大で 4 桁であり、xと 1/ xを合わせた桁数の合計は 7 を超えることはないと指摘している。これらの特性を要件とすると、タブレットから「欠落している」xの値は正確に 3 つあるが、彼女は、さまざまな点で魅力がないため省略された可能性があると主張している。彼女は、このスキームの「驚くほど場当たり的な」性質を認めており、これは主に、タブレットの作者の選択基準を推測しようとするすべての試みを批判するための修辞的な手段として機能する。^[22]

オットー・E・ノイゲバウアー （1957）は数論的解釈を主張したが、表の項目は、指定された範囲内で第 1 列の値がかなり規則的に減少することを目指した意図的な選択プロセスの結果であると信じていた。

バック（1980）とロブソン（2002）はどちらも三角法による説明の存在に言及しており、ロブソンはそれを様々な一般的な歴史書や未発表の著作の著者に帰しているが、それはノイゲバウアーとサックス（1945）の観察から派生したものかもしれない。その観察では、最初の列の値は各行で表される直角三角形の短辺の反対側の角度の二乗セカントまたはタンジェント（欠落している数字による）として解釈でき、行はこれらの角度によって約1度刻みでソートされている。^[23]

言い換えれば、最初の列の数字から (1) を差し引いてその平方根を出し、それを 2 番目の列の数字で割ると、三角形の長辺の長さになります。したがって、最初の列の数字 (から 1 を引いたもの) の平方根は、今日では短辺の反対側の角度のタンジェントと呼んでいるものです。 (1) を含めると、その数字の平方根はセカントになります。

ロブソン (2002) は、この粘土板に関するこれらの以前の説明とは対照的に、歴史的、文化的、言語的証拠はすべて、粘土板が「正則な相互ペアのリスト」から構築された可能性が高いことを示していると主張している。 ^[24]ロブソンは、言語的根拠から三角法の理論は「概念的に時代錯誤」であると主張している。それは、当時のバビロニア数学の記録には存在しない他の多くのアイデアに依存しているからである。2003 年、MAA はロブソンの研究に対してレスター R. フォード賞を授与し、 「プリンプトン 322 の著者がプロの数学者でもアマチュアの数学者でもなかった可能性は低い。彼は教師であり、プリンプトン 322 は一連の演習であった可能性が高い」と述べた。^{[25]ロブソンは、現代用語で言えば}代数的と特徴付けられるアプローチを採用しているが、彼女はそれを具体的な幾何学用語で説明し、バビロニア人もこのアプローチを幾何学的に解釈したであろうと主張している。

したがって、この粘土板は、一連の演習問題を示していると解釈できる。当時の書記学校で典型的な数学的手法が用いられており、当時の行政官が使用していた文書形式で書かれている。 ^[26]そのため、ロブソンは、著者はおそらくラルサの書記官、つまり官僚であったと主張している。^[27] この粘土板や、BM 80209 などの類似の粘土板の反復的な数学的構成は、教師が同じ形式で異なるデータを使用して問題を設定できるようにするのに役立ったであろう。

• IM67118 番号
• モスクワ数学パピルス
• リンド数学パピルス
• YBC7289

• アブドゥルアジズ、アブドゥルラーマン・アリ (2010)、「プリンプトン 322 タブレットとバビロニアのピタゴラス数列生成法」、arXiv : 1004.0025、Bibcode :2010arXiv1004.0025A
• カッセルマン、ビル（2003）、バビロニアの石板 プリンプトン 322、ブリティッシュコロンビア大学
• カービー、ローレンス (2011)、「プリンプトン 322: 現代数学の古代のルーツ(30 分のビデオ ドキュメンタリー)」、ニューヨーク市立大学バルーク カレッジ
• [1]Jens Kleb、「Plimpton 322の1-15行目より下、間、上にある270の有効なトリプル」、CDLN 2023:5、Cuneiform Digital Library Notes、2023-02-22 ISSN: 1546-6566

• 「ピタゴラス以前: 古代バビロニアの数学の文化」、ニューヨーク大学古代世界研究所、2010 年 11 月 12 日 - 12 月 17 日。プリンプトン 322 の写真と説明が含まれます。
• ロススタイン、エドワード (2010 年 11 月 27 日)。「古代バビロンの数学の巨匠たち」。ニューヨーク タイムズ。2010年11 月 28 日閲覧。「Before Pythagoras」展のレビュー。Plimpton 322 をめぐる論争について言及。
• 「彼女の王冠の宝石: コロンビア大学図書館の特別コレクションからの宝物」、コロンビア大学貴重書・写本図書館、 2004 年 10 月 8 日 - 2005 年 1 月 28 日。アイテム 158: プリンプトン楔形文字 322 の写真と説明。

• 高品質のデジタル画像を含む 楔形文字デジタル図書館イニシアチブ(CDLI) カタログ:
  • プリンプトン 322、CDLI のウィキ記事
  • YBC6967
  • 3052 号
  • 3971 号