幾何学的変換

数学において、幾何学的変換とは、距離、角度、比率（スケール）を保存するなど、何らかの顕著な幾何学的根拠を持つ、集合からそれ自身（または別のそのような集合）への全単射のことである。より具体的には、定義域と値域が点の集合（多くの場合、実座標空間）である関数である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$または$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$―関数が全単射であるため、その逆関数が存在する。^{[ 1 ]}幾何学の研究は、変換幾何学のように、これらの変換の研究によってアプローチすることができる。^{[ 2 ]}

幾何学的変換は、演算対象集合の次元によって分類できます（例えば、平面変換と空間変換を区別できます）。また、保存する特性に基づいて分類することもできます。

• 変位は距離と向きの角度を保存します（例：並進）。^{[ 3 ]}
• 等長変換は角度と距離を保存します（例：ユークリッド変換）。^{[ 4 ] [ 5 ]}
• 類似性は距離間の角度と比率を保持します（例：サイズ変更）。^{[ 6 ]}
• アフィン変換は平行性を保持します（例：スケーリング、せん断）；^{[ 5 ] [ 7 ]}
• 射影変換は共線性を保持する。^{[ 8 ]}

これらのクラスはそれぞれ前のクラスを含んでいます。^{[ 8 ]}

• 平面上の複素座標を用いたメビウス変換（および円の反転）は、すべての直線と円の集合を保持するが、直線と円を入れ替える可能性がある。

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  オリジナル画像（フランスの地図に基づく）
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  等長性
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  類似性
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  アフィン変換
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  射影変換
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  反転

• 等角変換は角度を保存するため、第一近似としては相似変換である。
• 等面積変換は、平面の場合は面積を、3 次元の場合は体積を保存します。^{[ 9 ]}また、1 次では行列式1 のアフィン変換です。
• 同相写像（双連続変換）は、点の近傍を保存する。
• 微分同相写像（双微分可能な変換）とは、1次アフィン変換のことです。これらは前述の変換を特殊な場合として含み、さらに細分化することができます。

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  等角変換
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  等面積変換
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  同相写像
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  微分同相写像

同じ種類の変換はグループを形成し、そのグループは他の変換グループのサブグループとなる場合がある。

多くの幾何学的変換は線形代数で表現されます。全単射線形変換は一般線形群の要素です。線形変換Aは非特異です。行ベクトルvに対して、行列積vAは別の行ベクトルw = vAを与えます。

行ベクトルvの転置は列ベクトルv ^Tであり、上記の等式の転置は${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$ここで、A ^{T は}列ベクトルに対する左方向の操作を提供する。

変換幾何学では合成ABがあります。行ベクトルvから始めると、合成変換の右作用はw = vABです。転置後、

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

したがって、ABに関連する左群作用は${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$反対群の研究においては、反対群作用を区別するのは、交換群だけがこれらの反対作用が等しい群だからである。

• 座標変換
• エアランゲンプログラム
• 対称性（幾何学）
• モーション
• 反射
• 剛体変換
• 回転
• トポロジー
• 変換行列

• アーヴィング・アドラー(2012) [1966]、『幾何学の新しい視点』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967) .変換による幾何学(3 巻):歪みの幾何学、合同の幾何学、群と座標。ニューヨーク: Herder and Herder。
• デイヴィッド・ガンス–変換と幾何学。
• ヒルベルト、デイヴィッド；コーン＝フォッセン、シュテファン（1952）。幾何学と想像力（第2 版）。チェルシー。ISBN 0-8284-1087-9。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• ジョン・マクレアリー (2013)微分可能な視点からの幾何学、ケンブリッジ大学出版局ISBN 978-0-521-11607-7
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965) .幾何変換（2巻）：ユークリッド変換とアフィン変換、および射影変換。ニューヨーク：Academic Press。
• AN Pressley –初等微分幾何学。
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009) 。『幾何学的変換』（全4巻）。Random House（I、II、III）、MAA（I、II、III、IV）。