クニドスのエウドクソス

クニドスのエウドクソス（/ ˈ juː d ə k s ə s / ;古代ギリシア語: Εὔδοξος ὁ Κνίδιος , Eúdoxos ho Knídios ;紀元前 390年頃 - 紀元前 340年頃）は、古代ギリシアの 天文学者、数学者、医師、法律家であった。^[1]彼はアルキタスとプラトンの弟子であった。 彼の原著はすべて失われているが、いくつかの断片がヒッパルコスの『アラトスとエウドクソスの天体現象に関する注釈』に保存されている。^[2] ビテュニアのテオドシウスの『球面論』はエウドクソスの著作に基づいている可能性がある。

アイスキネスの息子エウドクソスは、アナトリア半島南西部の海岸沿いの都市クニドス（クニドスとも音訳）で生まれ、亡くなった。^[3]エウドクソスの生没年は完全にはわかっていないが、ディオゲネス・ラエルティオスはいくつかの伝記の詳細を残しており、アポロドーロスによればエウドクソスは第103回オリンピック競技大会（紀元前368年 - 365年）に絶頂に達し、53歳で亡くなったと主張している。19世紀の数学史家はこのことから紀元前408年 - 355年という年代を再構築したが、^[4] 20世紀の学者たちはその選択に矛盾があることに気づき、生年を紀元前 390年頃とする説を好んだ。^[5]彼の名前であるエウドクソスは「名誉ある」または「評判の良い」という意味です（εὔδοξος、eu「良い」とdoxa「意見、信念、名声」から成り、ラテン語のベネディクトゥスに類似）。

ディオゲネス・ラエルティオスはカリマコスの『ピナケス』の記述を引用し、エウドクソスはアルキュタス（マグナ・グラエキアのタレントゥム出身）に数学を学び、シケリアのフィリストンに医学を学んだとしている。23歳のとき、医師テオメドン（彼のパトロンであり、おそらくは愛人でもあった^[6]）とともにアテネへ行き、ソクラテスの信奉者たちに学んだ。彼はそこで2か月を過ごし、ピレウスに住み、ソフィストたちの講義に出席するために毎日片道7マイル（11km）を歩き、その後クニドスの故郷に戻った。その後、友人たちの金で彼をエジプトのヘリオポリスへ16か月間派遣し、天文学と数学の研究を続けさせた。エジプトから彼は北へ、マルマラ海プロポンティスの南岸に位置するキュジコスへ向かった。彼は旅の途中で多くの弟子を集めた。^[要出典]

紀元前368年頃、エウドクソスは学生たちを連れてアテネに戻った。いくつかの文献によると、^{[要出典]紀元前}  367年頃、プラトンがシラクサにいた時代にアカデメイアの校長 ( scholarch ) に就任し、アリストテレスを教えた。^[要出典]彼は最終的に故郷のクニドスに戻り、市議会で奉仕した。クニドスにいる間、彼は天文台を建設し、神学、天文学、気象学に関する執筆と講義を続けた。彼にはアリスタゴラスという息子と、アクティス、フィルティス、デルフィスの3人の娘がいた。

数理天文学において、彼の名声は同心球の導入と、惑星の運動の理解に対する初期の貢献によるものである。

比率に関する彼の研究は無理数と線型連続体への洞察を示している。それは整数や有理数だけでなく連続量の厳密な取り扱いを可能にする。16世紀にタルタリアらによって復活させられ^[要出典]、科学における定量的研究の基礎となり、リヒャルト・デデキントの実数に関する研究に影響を与えた。^[7]

火星と月のクレーターは彼にちなんで名付けられている。代数曲線（エウドクソスのカンピュレ）も彼にちなんで名付けられている。

エウドクソスは古代ギリシャの数学者の中でも最も偉大な人物であり、古代全体ではアルキメデスに次ぐ人物であると考えられている。^{[8]エウドクソスは}ユークリッドの『原論』 第 5 巻の大部分の出典となったと思われる。^[9]彼はアンティポンの網羅的方法 を厳密に発展させた。これは積分学の前身であり、次の世紀にはアルキメデスも巧みにこれを利用している。この方法を適用して、エウドクソスは次のような数学的命題を証明した。円の面積は互いにその半径の 2 乗である、球の体積は互いにその半径の 3 乗である、ピラミッドの体積は同じ底辺と高さの角柱の体積の 3 分の 1 である、円錐の体積は対応する円柱の 3 分の 1 である。^[10]

エウドクソスは、線、角度、面積、体積などの連続した幾何学的実体を記述し、扱うために、数量化されていない数学的大きさという概念を導入し、無理数の使用を避けた。そうすることで、彼は数と算術を重視したピタゴラス派を覆し、厳密な数学の基礎として幾何学的概念に焦点を当てた。エウドクソスの師アルキタスなど、一部のピタゴラス派は、算術のみが証明の基礎を提供できると信じていた。通約不可能な量を理解し、扱う必要性に駆り立てられたエウドクソスは、明示的な公理に基づいた、おそらく最初の演繹的数学体系を確立した。エウドクソスの焦点の変化は、2000年続いた数学の分裂を引き起こした。実用的な問題に無関心なギリシャの知的態度と相まって、算術と代数の技術の発展から大きな後退が続いた。^[10]

ピタゴラス学派は、正方形の対角線は正方形の辺と共通の測定単位を持たないことを発見しました。これは、2 の平方根は 2 つの整数の比として表すことができないという有名な発見です。この発見は、整数と有理数を超えた通約不可能な量の存在を告げるものでした。しかし同時に、幾何学における測定と計算の考え方全体に疑問を投げかけました。たとえば、ユークリッドは、面積の加算を使用してピタゴラスの定理の詳細な証明 ( 『原論』 I.47) を提供し、ずっと後になって ( 『原論』 VI.31)、線分の比に依存する相似三角形からのより簡単な証明を提供しました。

古代ギリシャの数学者は、今日のように数量や方程式を使って計算するのではなく、比例関係で幾何学的な大きさの関係を表現しました。2 つの大きさの比率は、今日私たちが考えるような数値ではなく、2 つの大きさの比率はそれらの間の原始的な関係でした。

エウドクソスは、 『原論』第 5 巻の主題である 2 つの比率の等式を定義した人物として知られています。

ユークリッドの第 5 巻の定義 5 には次のように書かれています。

大きさが、第 1 番目と第 2 番目、第​​ 3 番目と第 4 番目に対して同じ比率であるとは、第 1 番目と第 3 番目、および第 2 番目と第 4 番目に対してどのような等倍数を取っても、前者の等倍数が、それぞれ対応する順序で取った後者の等倍数を超えるか、等しいか、または下回る場合に言います。

現代の記法を使用すると、これをより明確にすることができます。 4 つの量⁠ ⁠${\displaystyle a}$、⁠ ⁠${\displaystyle b}$、⁠ ⁠${\displaystyle c}$、⁠ ⁠${\displaystyle d}$が与えられた場合、最初の量と 2 番目の量の比⁠ ⁠${\displaystyle a/b}$、および 3 番目の量と 4 番目の量の比⁠ ⁠${\displaystyle c/d}$をとります。 2 つの比率が比例していることは、⁠ ⁠${\displaystyle a/b=c/d}$、次の条件によって定義できます。

任意の 2 つの正の整数⁠ ⁠${\displaystyle m}$と⁠ ⁠${\displaystyle n}$について、1 番目と 3 番目の等倍数⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot a}$および⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot c}$を形成します。同様に、2 番目と 4 番目の等倍数⁠ ⁠${\displaystyle n\cdot b}$および⁠ ⁠ を${\displaystyle n\cdot d}$形成します。 ⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot a>n\cdot b}$ならば、⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot c>n\cdot d}$でもあります。代わりに⁠ ⁠ならば、 ${\displaystyle m\cdot a=n\cdot b}$⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot c=n\cdot d}$でもあります。最後に⁠ ⁠ならば、 ${\displaystyle m\cdot a<n\cdot b}$⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot c<n\cdot d}$でもあります。

これは、 ⁠ ⁠${\displaystyle a/b=c/d}$ より大きい比⁠ ⁠が⁠ ⁠より大きい比と同じである場合に限り、また「等しい」および「小さい」場合も同様であることを意味します。これは、定義さ${\displaystyle n/m}$れる数より大きい、等しい、または小さい有理数の集合によって実数を定義する デデキント切断と比較できます。${\displaystyle a/b}$${\displaystyle c/d}$

エウドクソスの定義は、類似の量⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot a}$と⁠ ⁠${\displaystyle n\cdot b}$、類似の量⁠ ⁠${\displaystyle m\cdot c}$と⁠ ⁠${\displaystyle n\cdot d}$の比較に依存しており、これらの量を測定するための共通単位の存在には依存していません。

定義の複雑さは、それに伴う概念的および方法論的革新の深さを反映しています。ユードキア派の比例性の定義では、現代のイプシロン-デルタの限界と連続性の定義と同様に、無限と無限小を扱うために「すべての...」という量指定子が使用されています。

アルキメデスの性質（ 『原論』第5巻の定義4）は、アルキメデスによってエウドクソスに帰せられました。^[11]

古代ギリシャでは、天文学は数学の一分野であり、天文学者は天体の動きの様相を模倣できる幾何学モデルの作成を目指しました。したがって、エウドクソスの天文学的著作を別のカテゴリとして特定することは、現代の便宜です。エウドクソスの天文学的著作のうち、名前が残っているものには次のようなものがあります。

• 太陽が消える現象（おそらく日食によるもの）
• オクタエテリス（Ὀκταετηρίς）、暦の8年周期の太陰太陽金星周期
• 球面天文学に関するファエノメナ（Φαινόμενα）とエノプトロン（Ἔνοπτρον）は、おそらくエジプトのエウドクソスとクニドスによる観測に基づいている。
• 速度について、惑星の運動について

『フェイノメナ』の内容については、かなりよく知られている。なぜなら、エウドクソスの散文テキストは、アラトスの同名の詩の基礎となったからである。ヒッパルコスは、アラトスの注釈の中で、エウドクソスのテキストを引用している。

『速度について』の内容の概略は、アリストテレスの『形而上学』第12巻第8節と、キリキアのシンプリキオス（紀元6世紀）によるアリストテレスの別の著作『天球について』の注釈から読み取ることができる。シンプリキオスが伝えた話によると、プラトンはギリシャの天文学者に「惑星の見かけの運動は、どのような均一で秩序だった運動を仮定すれば説明できるのか？」という疑問を投げかけたという。^[12]プラトンは、惑星の一見無秩序に見えるさまよう運動は、球状の地球を中心とした均一な円運動の組み合わせで説明できると提唱したが、これは紀元前4世紀には明らかに新しい考えだった。

ユードクサンモデルの最新の再構築のほとんどでは、月には 3 つの球体が割り当てられています。

• 最も外側の星は 24 時間に 1 回西に回転し、昇ったり沈んだりすることを示しています。
• 2 つ目は、1 か月に 1 回東に回転し、黄道帯を通る月の月ごとの動きを説明しています。
• 3 つ目の月も 1 か月で公転しますが、その軸はわずかに異なる角度で傾いており、緯度の動き (黄道からの偏差)と月の交点の動きを説明しています。

太陽にも 3 つの球が割り当てられています。2 番目の球は 1 か月ではなく 1 年で運動を完了します。3 番目の球が含まれているということは、エウドクソスが太陽が緯度方向に運動していると誤って信じていたことを意味します。

目に見える 5 つの惑星 (水星、金星、火星、木星、土星) には、それぞれ 4 つの球体が割り当てられています。

• 一番外側は毎日の動きを説明します。
• 2 番目は、黄道帯を通る惑星の動きを説明します。
• 3番目と4番目は、惑星が減速し、その後、黄道帯を通る動きが一時的に逆になるように見える逆行現象を説明しています。2つの球の軸を互いに傾け、反対方向に等周期で回転させることにより、エウドクソスは内側の球の点が8の字、つまりヒッポペードを描くようにすることができました。

4 世紀のギリシャの天文学者カリポスは、エウドクソスの元の 27 個の球に 7 個の球を追加しました (エウドクソスは、惑星の球に加え、恒星用の球も含めました)。アリストテレスは両方のシステムを記述しましたが、外側の球の動きを打ち消すために、各球セットの間に「展開」球を追加することを主張しました。アリストテレスはシステムの物理的性質を懸念していました。展開球がなければ、外側の動きが内側の惑星に伝わってしまうからです。

エウドクソスの体系の大きな欠陥は、地球から見た惑星の明るさの変化を説明できないことである。球体は同心円なので、惑星は地球から常に同じ距離にある。この問題は、古代においてピタネのアウトリュコスによって指摘された。天文学者は、従円と周転円を導入することで対応し、惑星の距離を変化させた。しかし、エウドクソスの天文学、特にギリシャ天文学にとっての重要性は大きい。

アリストテレスはニコマコス倫理学^[13]の中で、快楽主義を支持する議論、つまり快楽こそが活動が追求する究極の善であるという議論をエウドクソスに帰しています。アリストテレスによれば、エウドクソスはこの立場を支持するために次のような議論を展開しました。

1. 合理的なものも非合理的なものも、すべては快楽を目指します。物事は善であると信じるものを目指します。主な善が何であるかを示す良い指標は、ほとんどの物事が目指すものでしょう。
2. 同様に、快楽の反対である苦痛は普遍的に避けられており、これは快楽が普遍的に良いものと考えられているという考えをさらに裏付けています。
3. 人々は、何か他のことのための手段として快楽を求めるのではなく、快楽自体を目的とします。
4. あなたが思いつく他のどんな善も、快楽が加わればさらに良くなるでしょう。そして善は善によってのみ増大するのです。
5. あらゆる善の中で、幸福は称賛されないという点で特異であり、それは幸福が最高の善であることを示しているのかもしれない。^[14]

• エウドクソス実数（比較的最近発見された実数の構成で、彼にちなんで名付けられた）
• デリアン問題
• 計り知れない大きさ
• スペウシッポス

• ボール、ウォルター・ウィリアム・ラウス（1908年）。数学史の小解説（第4版）。ドーバー出版。ISBN 9780486206301。
• エヴァンス、ジェームズ（1998年）。古代天文学の歴史と実践。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-509539-1. OCLC  185509676.
• フリードリヒ・フルチュ（1907）。「エウドクソス・フォン・クニドス」 。 8月、ポーリーにて。ウィッソワ、ゲオルグ (編)。Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft (ドイツ語)。 Vol. 6.1. pp. 930–950 –ウィキソース経由。
• ハクスリー、GL（1980）。クニドスのエウドクソス、p.465-7：科学人名辞典、第4巻。
• ハクスリー、GL（1963）。「ユードキアの話題」ギリシャ、ローマ、ビザンチン研究。4 ： 83-96。
• クノール、ウィルバー・リチャード (1978)。「アルキメデスとユークリッド以前の比例理論」。国際科学史アーカイブ。28 : 183–244。
• クノール、ウィルバー R. (1986)。『幾何学の問題の古代の伝統』ボストン:ビルクハウザー。ISBN 0-8176-3148-8。
• フランソワ・ラセール( 1966)クニドスの断片(デ・グリュイテル: ベルリン)
•  ラエルティオス、ディオゲネス(1925)。「ピタゴラス派: エウドクソス」 。著名な哲学者の生涯。第 2 巻:8。ロバート・ドリュー・ヒックス訳(2 巻版)。ローブ古典図書館。
• Manitius, C. (1894) 『Arati et Eudoxi Phaenomena Commentariorum Libri Tres』の Hipparchi (Teubner)
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• ファン デル ワールデン、BL (1988)。科学の目覚め(第 5 版)。ライデン: ノールトホフ。

ウィキメディア・コモンズには、エウドクソス・オブ・クニドスに関連するメディアがあります。

• エウドクソスの球の実用モデルと完全な説明（YouTubeのビデオ）
• エウドクソス（とプラトン） Archived 2018-08-16 at the Wayback Machine、エウドクソスに関するドキュメンタリー、惑星モデルの説明を含む
• デニス・デューク、「エウドクソスの現象の統計的年代測定」、DIO、第 15 巻、7 ～ 23 ページを参照
• クニドゥスのエウドクサス Britannica.com
• クニドスのエウドクソス 1997-07-23ウェイバックマシンにアーカイブドナルド・アレン、テキサス A&M 大学教授
• クニドスのエウドクソス (クニドスのエウドクソス): 天文学と等心球 ヘンリー・メンデル、カリフォルニア州立大学、ルイジアナ州 (2011 年 5 月 16 日アーカイブ)
• ヘロドトス プロジェクト: クニドスの詳細な白黒写真エッセイ
• 惑星運動のモデル - Eudoxus、Craig McConnell、Ph.D.、カリフォルニア州立大学フラートン校 (2011 年 7 月 19 日アーカイブ)
• エウドクソスによる宇宙 ( Javaアプレット) (2007 年 11 月 21 日アーカイブ)