極めて小さい

数学において、無限小数とは、ゼロでない実数の中で、ゼロでない実数よりもゼロに近い数のことである。無限小という言葉は、17世紀の近代ラテン語の造語infinitesimusに由来し、元々は数列における「無限番目」の要素を指していた。

無限小は標準的な実数体系には存在しませんが、超実数体系やハイパーリアル数体系などの他の数体系には存在します。これらの数体系は、実数に無限小と無限大の両方の量を付加したものと考えることができ、これらの付加量は互いに逆数の関係にあります。

微積分学の発展に伴い、微小数が導入されました。微積分学では、導関数は当初、2つの微小量の比として考えられました。しかし、この定義は厳密には定式化されていませんでした。微積分学がさらに発展するにつれて、微小数は極限に置き換えられ、極限は標準的な実数を用いて計算できるようになりました。

紀元前3世紀、アルキメデスは著書『力学的定理の方法』の中で、後に不可分法として知られるようになる方法を用いて、領域の面積や立体の体積を求めた。^{[ 1 ]}正式に出版された論文の中で、アルキメデスは同じ問題を、除去法を用いて解決した。

20世紀、アブラハム・ロビンソンが非標準解析と超実数を開発し、何世紀にもわたる論争を経て、微積分を形式的に扱うことが可能であることを示したことで、無限小は再び人気を博しました。これに続いて、数学者たちは超実数を開発しました。これは、無限数と無限小数を形式化したもので、超実基数と超実順序数の両方を含み、最大の順序体です。

ウラジミール・アーノルドは1990年にこう書いた。

今日では、解析学を教える際に、微小量について語ることはあまり一般的ではありません。そのため、現代の学生はこの用語を完全に使いこなせていません。しかしながら、それでもなお、それを使いこなせるようにしておくことは必要です。^{[ 2 ]}

無限小を数学的に実現可能な実体とするための洞察は、これらの実体が無限に小さくても、角度や傾きなどの特定の性質を保持できるということだった。 ^{[ 3 ]}

無限小は、ライプニッツによって発展させられた微積分学の基本要素であり、連続の法則や超越法則である同次性などが含まれます。日常会話では、無限小とは、測定可能なあらゆる値よりも小さいが、ゼロではない、つまり、利用可能なあらゆる手段でゼロと区別できないほど小さい対象を指します。したがって、数学において形容詞として使われる場合、無限小とは、あらゆる標準的な実数よりも小さい、無限に小さいことを意味します。無限小は、関数の導関数を調べるときのように、しばしば同じ大きさの他の無限小と比較されます。無限個の無限小を合計して積分を計算します。

現代の無限小の概念は、1670 年頃にニコラウス・メルカトルかゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツのどちらかによって導入された。^{[ 4 ]} 15 世紀にはニコラウス・クザーヌスの研究があり、17 世紀にはヨハネス・ケプラーによってさらに発展させられ、特に円を無限辺多角形として表すことで円の面積を計算する方法が確立された。16世紀には、シモン・ステヴィンがすべての数を十進数で表す研究を行い、実数連続体の基礎を築いた。ボナヴェントゥラ・カヴァリエリの不可分量の方法は、古典的著述家たちの成果を拡張することになった。不可分量の方法は、幾何学的図形を余次元1の要素から構成されるものとして捉えるものでした。ジョン・ウォリスの無限小量は不可分量とは異なり、幾何学的図形を図形と同じ次元の無限に薄い構成要素に分解することで、積分計算の一般的な方法の基礎を築きました。彼は面積計算において、1/∞で表される無限小量を利用しました。

ライプニッツによる無限小の使用は、連続性の法則（有限数に有効なものは無限数にも有効であり、その逆もまた然り）や、割り当て不可能な量を含む式を割り当て可能な量のみを含む式に置き換える手順を規定する超越法則である同次性の法則などの発見的原理に基づいていた。18 世紀には、レオンハルト・オイラーやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュなどの数学者によって無限小が日常的に使用された。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、彼の『解析学講義』で連続性を定義する際にも、ディラックのデルタ関数の初期の形を定義する際にも、無限小を利用した。カントールとデデキントがステヴィンの連続体のより抽象的なバージョンを開発していた頃、ポール・デュ・ボワ＝レイモンは、関数の成長率に基づく無限小で強化された連続体に関する一連の論文を書いた。デュ・ボワ＝レイモンの研究は、エミール・ボレルとトーラルフ・スコレムの両方に影響を与えた。ボレルは、デュ・ボワ＝レイモンの研究をコーシーの無限小の成長率に関する研究と明確に結びつけた。スコレムは1934年に算術の最初の非標準モデルを開発した。連続性の法則と無限小の両方の数学的実装は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された。彼は、1948年のエドウィン・ヒューイットと1955年のイェジー・ウォシュによる以前の研究に基づいて非標準解析を開発した。超実数は無限小で強化された連続体を実装し、転送原理はライプニッツの連続性の法則を実装する。標準部分関数はフェルマーの等式を実装する。

無限小量の概念はエレア派によって議論された。ギリシャの数学者アルキメデス（紀元前 287 年頃 - 紀元前 212 年頃）は、『機械的定理の方法』の中で、無限小の論理的に厳密な定義を初めて提案した。^{[ 5 ]}彼のアルキメデスの性質は、数xが| x | > 1、| x | > 1 + 1、| x | > 1 + 1 + 1、 ...の条件を満たす場合、無限大であり、x ≠ 0で、同様の条件がxと正の整数の逆数にも成り立つ場合、無限小であると定義する。無限または無限小の要素を含まない数体系は、アルキメデス的であると言われる。

イギリスの数学者ジョン・ウォリスは、 1655年の著書『円錐曲線論』の中で、1/∞という表現を導入しました。この記号は、 ∞の逆数、つまり逆数を表し、無限小という数学的概念を記号的に表現したものです。ウォリスは『円錐曲線論』の中で、自身が導入した無限小1/∞の記号表現と、無限大を表す記号∞を導入した無限の概念との関係についても論じています。この概念は、無限に多くの幅の平行四辺形を足し合わせて有限の面積を形成するという思考実験を示唆しています。この概念は、積分計算で用いられる現代の積分法の先駆けとなりました。無限小1/∞という概念の起源は、ギリシャの哲学者エレアのゼノンにまで遡ることができる。ゼノンの二分法のパラドックスは、有限区間と無限小サイズの区間に近づく区間との関係を考察した最初の数学的概念であった。  

17世紀のヨーロッパでは、無限小は政治的、宗教的な論争の対象となり、1632年にはローマの聖職者によって無限小の禁止令が出されました。^{[ 6 ]}

微積分が発明される以前、数学者たちはピエール・ド・フェルマーの等式法とルネ・デカルトの法線法を用いて接線を計算することができた。その方法が無限小的なものか代数的なものかについては、学者たちの間で議論がある。ニュートンとライプニッツが微積分を発明したとき、彼らはニュートンの流率法とライプニッツの微分法という無限小を利用した。無限小の使用は、バークレー司教が著書『解析者』の中で誤りだと批判した。^{[ 7 ]}数学者、科学者、技術者は正しい結果を得るために無限小を使い続けた。 19世紀後半、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ベルナール・ボルツァーノ、カール・ワイエルシュトラス、カントール、デデキントらは、極限の(ε, δ)定義と集合論を用いて微積分を再定式化した。カントール、デデキント、ワイエルシュトラスの追随者たちは解析学から無限小を排除しようとし、バートランド・ラッセルやルドルフ・カルナップといった哲学的盟友たちは無限小は擬似概念であると主張したが、ヘルマン・コーエンと彼のマールブルク新カント主義学派は無限小の実用的な論理を構築しようとした。^{[ 8 ]}フィリップ・エーリッヒ (2006) が記録しているように、19 世紀後半から 20 世紀にかけて、レヴィ＝チヴィタ、ジュゼッペ・ヴェロネーゼ、ポール・デュ・ボワ＝レイモンなどの研究を通して、無限小を含むシステムの数学的研究が続けられました。20 世紀には、無限小が微積分と解析の基礎として利用できることが発見されました (超実数を参照)。

実数を無限量や無限小量を含むように拡張する場合、通常は基本的性質を変更しないことで、できるだけ保守的であることが望ましい。これにより、可能な限り多くの馴染みのある結果が依然として利用可能であることが保証される。一般的に、基本的とは、集合に対する量化はなく、要素に対する量化のみがあることを意味する。この制限により、「任意の数 x に対して...」という形式の命題が可能になる。例えば、「任意の数xに対して、x + 0 = x 」という公理は依然として適用される。複数の数に対する量化についても同様であり、例えば「任意の数xとyに対して、xy = yx 」などである。しかし、「任意の数の集合Sに対して...」という形式の命題は引き継げない可能性がある。このような量化の制限を持つ論理は、一階述語論理と呼ばれる。           

結果として得られる拡張された数体系は、集合上の量化によって表現できるすべての性質において実数と一致することはできない。なぜなら、目標は非アルキメデス的な体系を構築することであり、アルキメデスの原理は集合上の量化によって表現できるからである。実数を含むあらゆる理論（集合論を含む）は、数が 1/2、1/3、1/4 などよりも小さいことを主張する公理の可算無限リストを追加するだけで、保守的に無限小を含むように拡張できる。同様に、完全性の性質も引き継がれるとは期待できない。なぜなら、実数は同型を除いて唯一の完全順序体だからである。

非アルキメデス数体系が実数と互換性のある一次の性質を持つ可能性があるカテゴリーは3つあります。

1. 順序体は、一階述語論理で表現できる実数系の通常の公理をすべて満たします。例えば、可換性公理x  + y = y + xが成り立ちます。     
2. 実閉体は、通常公理として扱われるかどうかに関わらず、基本的な順序体関係 +、 ×、および ≤ を含む命題に関して、実数系のすべての一次性質を持ちます。これは、順序体の公理に従うよりも強い条件です。より具体的には、すべての奇数次多項式に根が存在するなど、追加の一次性質が含まれます。たとえば、すべての数は立方根を持ちます。
3. このシステムは、あらゆる 関係を含む命題（それらの関係が+、 ×、 ≤を用いて表現できるかどうかに関わらず）について、実数系のすべての一次性質を持つことができる。例えば、無限個の入力に対して適切に定義される正弦 関数が存在しなければならない。これはすべての実関数についても同様である。

スペクトルの弱い端に位置するカテゴリー1のシステムは、比較的簡単に構築できますが、ニュートンやライプニッツの精神に基づいた無限小を用いた古典解析の完全な扱いを可能にするものではありません。例えば、超越関数は無限極限過程によって定義されるため、通常は一階述語論理で定義する方法がありません。カテゴリー 2および 3に移行してシステムの解析的強度を高めると、扱いの趣が構成的ではなくなり、無限と無限小の階層構造について具体的なことを述べるのがより困難になることがわかります。

コーシーは無限小${\displaystyle \alpha }$単位インパルスを書き出すには、無限に高く狭いディラック型のデルタ関数を用いる。${\displaystyle \delta _{\alpha }}$満足${\displaystyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$1827年のいくつかの論文で、Laugwitz (1989) を参照。コーシーは1821年に（『解析学講義』）で、ゼロに収束する数列を用いて無限小を定義した。つまり、そのような零数列は、コーシーとラザール・カルノーの用語では無限小となる。

現代の集合論的アプローチでは、超冪構成によって無限小を定義することができ、そこでは零列が適切な超フィルターで定義された関係を法とする同値類の意味で無限小となる。山下（2007）の論文には、超実数によって提供される無限小で拡張された連続体の文脈における現代のディラックデルタ関数に関する文献目録が含まれている。

非標準解析で用いられるような微小量を構成する方法は、モデルと使用する公理系によって異なる。ここでは、微小量が存在することが証明できる系を考察する。

1936年にマルツェフはコンパクト性定理を証明した。この定理は無限小の存在にとって基本的であり、無限小を形式化できることを証明している。この定理の帰結として、任意の正の整数nに対して 0 < x < 1/ nとなる正の数xが存在するような数体系が存在するならば、任意の正の整数nに対して0 < x < 1/ nとなるような正の数xが存在するような数体系の拡張が存在する。「任意の」と「存在する」を入れ替えることができる可能性が重要である。最初の記述は、 ZFC集合論で与えられた実数では真である。任意の正の整数nに対して 1/ nとゼロの間の実数を見つけることができるが、この実数はnに依存する。ここでは、最初にn を選択し、次にそれに対応するx を見つける。 2番目の式では、任意のnに対して、0から1/ nの間にあるx（少なくとも1つ）が最初に選ばれる、と述べられています。この場合、xは無限小です。これはZFCで与えられる実数（R）では成り立ちません。しかしながら、この定理は、これが成り立つモデル（数体系）が存在することを証明しています。問題は、このモデルとは何か？その性質は何か？そのようなモデルは1つだけ存在するのか？ということです。        

このような一次元線形順序付けされた数値の集合を構築する方法は数多くあるが、根本的に異なる2つのアプローチが存在する。

1. 数体系を拡張して、実数よりも多くの数を含むようにする。
2. 公理を拡張する（あるいは言語を拡張する）ことで、無限小と非無限小の区別を実数自体の中で行えるようにする。

1960年、アブラハム・ロビンソンは最初のアプローチに従って解答を示した。拡張された集合は超実数と呼ばれ、絶対値が任意の正の実数よりも小さい数を含む。この方法は比較的複雑であると考えられるが、ZFC集合論の世界に無限小が存在することを証明している。実数は標準数と呼ばれ、新しい非実数超実数は非標準数と呼ばれる。

In 1977 Edward Nelson provided an answer following the second approach. The extended axioms are IST, which stands either for Internal set theory or for the initials of the three extra axioms: Idealization, Standardization, Transfer. In this system, we consider that the language is extended in such a way that we can express facts about infinitesimals. The real numbers are either standard or nonstandard. An infinitesimal is a nonstandard real number that is less, in absolute value, than any positive standard real number.

In 2006 Karel Hrbacek developed an extension of Nelson's approach in which the real numbers are stratified in (infinitely) many levels; i.e., in the coarsest level, there are no infinitesimals nor unlimited numbers. Infinitesimals are at a finer level and there are also infinitesimals with respect to this new level and so on.

Calculus textbooks based on infinitesimals include the classic Calculus Made Easy by Silvanus P. Thompson (bearing the motto "What one fool can do another can"^[15]) and the German text Mathematik fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie by R. Neuendorff.^[16]

Pioneering works based on Abraham Robinson's infinitesimals include texts by Stroyan (dating from 1972) and Howard Jerome Keisler (Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach). Students easily relate to the intuitive notion of an infinitesimal difference 1-"0.999...", where "0.999..." differs from its standard meaning as the real number 1, and is reinterpreted as an infinite terminating extended decimal that is strictly less than 1.^[17][18]

Another elementary calculus text that uses the theory of infinitesimals as developed by Robinson is Infinitesimal Calculus by Henle and Kleinberg, originally published in 1979.^[19] The authors introduce the language of first-order logic, and demonstrate the construction of a first order model of the hyperreal numbers. The text provides an introduction to the basics of integral and differential calculus in one dimension, including sequences and series of functions. In an Appendix, they also treat the extension of their model to the hyperhyperreals, and demonstrate some applications for the extended model.

An elementary calculus text based on smooth infinitesimal analysis is Bell, John L. (2008). A Primer of Infinitesimal Analysis, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182.

微積分を応用した比較的新しい微積分テキストとしては、C. Bryan Dawson (2022)『Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue』（Oxford University Press、ISBN 9780192895608）がある。

関連するものの、やや異なる意味では、「無限小」の本来の定義である無限小量から発展して、この用語はゼロに近づく関数を指すためにも使われてきました。より正確には、ルーミスとスターンバーグの『Advanced Calculus』では、無限小の関数クラスが次のように定義されています。${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$関数のサブセットとして${\displaystyle f:V\to W}$ノルムベクトル空間間で

${\displaystyle {\mathfrak {I}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<\delta \implies ||f(\xi )||<\epsilon \}}$、

関連する2つのクラスも含む${\displaystyle {\mathfrak {O}}、{\mathfrak {o}}}$（ビッグオー記法を参照）

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exists r>0,c>0)\ \backepsilon \ ||\xi ||<r\implies ||f(\xi )||\leq c||\xi ||\}}$、 そして

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)=\{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ \lim _{||\xi ||\to 0}||f(\xi )||/||\xi ||=0\}}$[ ^{20 ]​}

セット内容${\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {O}}(V,W)\subsetneq {\mathfrak {I}}(V,W)}$一般的に成り立つ。包含関係が適切であることは、実変数の実数値関数によって証明される。${\displaystyle f:x\mapsto |x|^{1/2}}$、${\displaystyle g:x\mapsto x}$、 そして${\displaystyle h:x\mapsto x^{2}}$:

${\displaystyle f,g,h\in {\mathfrak {I}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ g,h\in {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\ h\in {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$しかし${\displaystyle f,g\notin {\mathfrak {o}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$そして${\displaystyle f\notin {\mathfrak {O}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$。

これらの定義の応用として、マッピング${\displaystyle F:V\to W}$ノルムベクトル空間間の微分可能性は、${\displaystyle \alpha \in V}$もし${\displaystyle T\in \mathrm {Hom} (V,W)}$すなわち、有界線形写像${\displaystyle V\to W}$] のように

${\displaystyle [F(\alpha +\xi )-F(\alpha )]-T(\xi )\in {\mathfrak {o}}(V,W)}$

近隣の${\displaystyle \alpha }$このような写像が存在する場合、それは一意である。この写像は微分と呼ばれ、で表される。${\displaystyle dF_{\alpha }}$^{[ 21 ]は}、微分をFの無限に小さな「断片」として捉える古典的な（ただし論理的に欠陥のある）概念の伝統的な表記法と一致している。この定義は、（ユークリッド空間の）開部分集合のベクトル値関数の微分可能性の通常の定義の一般化を表している。

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$を確率空間とし、${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$配列${\displaystyle \{X_{n,k}:\Omega \to \mathbb {R} \mid 1\leq k\leq k_{n}\}}$確率変数の は、すべての に対して が無限小である場合に無限小と呼ばれます。${\displaystyle \epsilon >0}$我々は以下を持っている：^{[ 22 ]}

${\displaystyle \max _{1\leq k\leq k_{n}}\mathbb {P} \{\omega \in \Omega \mid \vert X_{n,k}(\omega )\vert \geq \epsilon \}\to 0{\text{ as }}n\to \infty }$

無限小配列の概念は、いくつかの中心極限定理において不可欠であり、期待値演算子の単調性から、リンデベルグ条件を満たす配列は無限小であることが容易にわかるため、リンデベルグの中心極限定理（中心極限定理の一般化）において重要な役割を果たしている。