フラスタム

直角錐台n角錐台のセット
例: 直五角形と正方形の錐台 ( n = 5とn = 4 )
顔	n等脚台形、2 つの正n角形
エッジ	3位
頂点	2位
対称グループ	C n v , [1, n ], (* nn )
二重多面体	非対称双錐体
プロパティ	凸状の
ネット
例: 直角三角錐のネット ( n = 3 )

幾何学において、錐台（ラテン語で「小片」）^[a]（複数形：frustaまたはfrustums ）は、立体（通常は角錐または円錐）を切断する2つの平行な平面の間にある部分である。角錐の場合、底面は多角形であり、側面は台形である。直錐台は、軸に対して垂直に切断された直角錐または直円錐である。 ^[3]それ以外の場合は斜錐台である。円錐台または錐台角錐では、錐台の場合のように、切断面は必ずしも円錐の底面と平行である必要はない。すべての辺が同じ長さになるように強制すると、錐台は角柱（斜めまたは不規則な底面を持つ可能性もある） になる。

錐台の軸は、元の円錐またはピラミッドの軸です。錐台の底面が円形の場合、その錐台は円形です。軸が両方の底面に垂直な場合は直角錐、そうでない場合は斜角錐です。

円錐台の高さは、2 つの底面の平面間の垂直距離です。

円錐と角錐は、切断面の 1 つが頂点を通過する(対応する底辺が 1 点に縮小する) 錐台の退化したケースと見ることができます。錐台は角錐台のサブクラスです。

2 つの合同な底辺を持つ 2 つの錐台をこれらの合同な底辺で結合すると、二錐台が形成されます。

ピラミッド形の正方形錐台の体積を求める公式は、古代エジプトの数学において、第 13 王朝(紀元前 1850 年頃)に書かれたモスクワ数学パピルスと呼ばれる文書で導入されました。

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

ここで、aとbは底辺と上辺の長さ、hは高さです。

エジプト人はそのような切頂四角錐の体積の正しい公式を知っていましたが、この方程式の証明はモスクワ・パピルスには示されていません。

円錐台または角錐台の体積は、その「頂点」を切り落とす前の立体の体積から、この「頂点」の体積を引いたものです。

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

ここで、B ₁とB ₂は底面積と上面積、h ₁とh _{2 は}頂点から底平面と上平面までの垂直高さです。

それを考慮すると

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

体積の式は、この比例関係の積と、高さh ₁とh ₂の3 乗の差の3 分の 1 としてのみ表すことができます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

等式a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² )を用いると次の式が得られます。

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

ここで、h ₁ − h ₂ = h は円錐台の高さです。

定義から分配して代入すると、領域B ₁とB ₂のヘロン平均が得られます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

したがって、代替式は次のようになります。

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

アレクサンドリアのヘロンはこの公式を導き出し、それとともに虚数単位、すなわち負の1の平方根に出会ったことで有名である。^[4]

特に：

• 円錐台の体積は次のとおりです。

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

ここで、r ₁とr _{2 は}それぞれ底部と上部の半径です。

• 底辺が正n角形である角錐台の体積は次のようになります。

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

ここで、a ₁とa _{2 は}底辺と上辺の長さです。

直円錐台^{[5] [6]}の場合、 斜高は ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$

側面面積は

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,}$

そして総表面積は

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),}$

ここで、r ₁とr _{2 は}それぞれ底部と上部の半径です。

• アメリカ合衆国の 1 ドル紙幣の裏面には、ピラミッド型の錐台がアメリカ合衆国国璽の裏面に描かれており、その上にプロビデンスの目が描かれています。
• ジッグラト、階段ピラミッド、および特定の古代ネイティブアメリカンの塚も、階段などの追加機能が追加された 1 つまたは複数のピラミッドの錐台を形成します。
• 中国のピラミッド。
• イリノイ州シカゴにあるジョン・ハンコック・センターは、底面が長方形の円錐台です。
• ワシントン記念塔は、小さなピラミッドが頂上にある、狭い正方形のピラミッド台です。
• 3D コンピュータ グラフィックスの視野錐台は、ピラミッド錐台としてモデル化された仮想の写真カメラまたはビデオ カメラの使用可能な視野です。
• スタニスワフ・レムの短編小説集『サイバーリアド』の英訳では、詩「愛とテンソル代数」の中で、 「すべての錐台は円錐になることを望んでいる」と主張している。
• バケツや典型的なランプシェードは、円錐台形の日常的な例です。
• 飲み物用のグラスや宇宙カプセルもその例です。

• 

  リトアニアのガルシュ・ガウディクレの木造建築物または彫像。
• ヴァランセチーズ
• ロロキャンディー

• 球面錐台

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ウィキメディア・コモンズには、フラスタムに関連するメディアがあります。

• 角錐台と円錐台の体積を求める公式の導出 (Mathalino.com)
• Weisstein、Eric W.「ピラミッド錐台」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「円錐台」。MathWorld。
• 錐台（切頂角錐）の紙製模型
• 円錐台（切頂円錐）の紙製模型
• 円錐台（切頂円錐）の紙製モデルを設計する