複利

複利とは、元金と以前に蓄積された利息から得られる 利息のことです。これは、本来支払われるはずだった利息を再投資または保持すること、あるいは借り手からの負債の蓄積の結果です。

複利は単利とは対照的です。単利では、以前に蓄積された利息は現在の期間の元金に加算されません。複利は、適用される単利率と利息が複利計算される頻度によって決まります。

複利計算の頻度とは、累積利息が定期的に資本化される、一定期間あたりの回数です。頻度は、年ごと、半年ごと、四半期ごと、月ごと、週ごと、日ごと、継続的、または満期までまったく計算されない、のいずれかになります。

たとえば、年率で表された利息を伴う月次資本化は、複利頻度が 12 であり、期間が月単位で測定されることを意味します。

消費者が小売金融商品をより公平かつ容易に比較できるように、多くの国では金融機関に対し、預金または前払金の年間複利率を比較可能な基準で開示することを義務付けています。年間換算ベースの金利は、市場によって実効年率(EAPR)、年間換算利率(AER)、実効金利、実効年率、年利回り などさまざまな呼び方があります。実効年率は、1年末までに支払うべき累積利息の合計を元金で割ったものです。これらの利率は通常、年換算複利率に、税金やその他の手数料など利息以外の費用を加えたものです。

• 社債や国債の利息は通常、年2回支払われます。6か月ごとに支払われる利息の額は、公表されている利率を2で割り、元金に掛けた金額です。年間複利は公表されている利率よりも高くなります。
• カナダの住宅ローンは一般的に半年ごとに複利計算され、毎月またはより頻繁に返済されます。^[1]
• 米国の住宅ローンは、複利ではなく、分割払いローンを使用します。これらのローンでは、分割払いスケジュールを使用して、支払いを元金と利息にどのように適用するかを決定します。これらのローンで発生する利息は元金に追加されるのではなく、支払いに適用されるにつれて毎月返済されます。
• たとえばデリバティブの評価では、連続複利を使用する方が数学的に簡単な場合があります。これらの金融商品の価格設定における連続複利は、伊藤計算の自然な帰結であり、金融​​デリバティブは、限界に近づきデリバティブが連続時間で評価されるまで、ますます増加する頻度で評価されます。

貸し手によって請求される複利は、かつては最悪の高利貸しとみなされ、ローマ法やその他多くの国の慣習法によって厳しく非難されていました。 ^[2]

フィレンツェの商人フランチェスコ・バルドゥッチ・ペゴロッティは、 1340年頃に著書『商人の実践』の中で複利表を掲載している。この表には、100リラに対する1%から8%の利率、最長20年の利息が記されている。 ^[3]ルカ・パチョーリの『算術大全』（1494年）には、複利投資が2倍になるまでの年数を求めるには、利率を72で割ればよいという72の法則が記されている。

リチャード・ウィットの著書『算数問題集』は1613年に出版され、複利の歴史において画期的な著作となった。この本は複利（以前は解剖学と呼ばれていた）に完全に捧げられたが、それ以前の著者は複利を数学の教科書の1章で簡単に扱っただけだった。ウィットの本は10%（貸付金に許容される最高金利）とその他の金利を基準とした表を、不動産リースの評価などさまざまな目的のために提供した。ウィットはロンドンの数学者であり、彼の本は表現の明快さ、洞察の深さ、計算の正確さで知られ、124の実例が掲載されている。^{[4] [5]}

ヤコブ・ベルヌーイは1683年に複利に関する問題を研究して この定数を発見しました。${\displaystyle e}$

19世紀、あるいはそれ以前にも、ペルシャの商人は月々の支払いの計算式にわずかに修正した線形テイラー近似法を使用していました。これは頭の中で簡単に計算できるものでした。^[6] 現代では、複利に関するアルバート・アインシュタインの名言は真実味を帯びています。「複利を理解する者は複利を得る。理解しない者は複利を支払う。」^[7]

元金と複利を加えた累積総額は、次の式で表されます。^{[8] [9]}${\displaystyle P}$${\displaystyle I}$ $${\displaystyle A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

どこ：

• Aは最終金額です
• Pは元の元金の合計である
• rは名目年利率である
• nは複利の頻度である
• t は、利息が適用される全体の期間です（rと同じ時間単位、通常は年を使用して表されます）。

生成される複利の合計は、最終価値から初期元金を差し引いたものである：^[10]

$${\displaystyle I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}-P}$$

元金Pは単なる係数なので、簡単にするために省略されることが多く、代わりに結果として得られる累積関数が使用されます。累積関数は、任意の期間後に $1 がどの程度増加するかを示します。複利の累積関数は次のとおりです。$${\displaystyle a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{tn}}$$

年間の複利計算期間数が無制限に増加すると、連続複利が発生し、その場合、実効年利率はe ^r − 1の上限に近づきます。連続複利は、複利計算期間を無限小に小さくすることと見なすことができ、n が無限大に近づくにつれて限界を取ることによって達成されます。連続複利のt期間後の金額は、初期金額P ₀で次のように表すことができます。

$${\displaystyle P(t)=P_{0}e^{rt}.}$$

連続複利では複利期間の数が無限大に近づくため、連続複利率は利子の力と呼ばれます。任意の連続微分可能累積関数a(t) の場合、利子の力、またはより一般的には対数または連続複利の収益は、次のように時間の関数になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)}$$

これは累積関数の 対数微分です。

逆に言えば、 ( なので、これは積分の特殊なケースとして見ることができます。) $${\displaystyle a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,}$$${\displaystyle a(0)=1}$

上記の式を微分方程式の形式で書くと、関心のある力は単に変化量の係数になります。 $${\displaystyle da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt}$$

年利rが一定の複利の場合、利子の力は定数であり、利子の力に関する複利の累積関数はeの単純な累乗である。 または $${\displaystyle \delta =\ln(1+r)}$$$${\displaystyle a(t)=e^{t\delta }}$$

利子の力は年間実効金利より小さいが、年間実効割引率より大きい。これはe倍時間の逆数である。

インフレの力をモデル化する方法として、Stoodley の公式が挙げられます。ここで、p、r、s は推定値です。 ${\displaystyle \delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}}$

金利をある複利計算基準から別の複利計算基準に変換すると、

$${\displaystyle \left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}}$$

使用

$${\displaystyle r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},}$$

ここで、r _{1 は複利頻度}n ₁の金利であり、r _{2 は複利頻度}n ₂の金利です。

利息が継続的に複利計算される場合は、

$${\displaystyle \delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},}$$

ここで、 は連続複利ベースの利率であり、 r は複利頻度nで定められた利率です。 ${\displaystyle \delta }$

償却されるローンや住宅ローンの利子、つまりローンが完済されるまで毎月均等に支払われるローンや住宅ローンの利子は、多くの場合、毎月複利計算されます。支払いの計算式は、次の議論から得られます。

月々の支払い額（） の正確な計算式は 次の通りで ある。${\displaystyle c}$$${\displaystyle c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}}$$$${\displaystyle c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle c}$= 月額支払い
• ${\displaystyle P}$= 校長
• ${\displaystyle r}$= 月利
• ${\displaystyle n}$= 支払い期間の数

スプレッドシートでは、PMT()関数が使用されます。構文は次のとおりです。

PMT(金利, 支払回数, 現在価値, 将来価値, [タイプ])

典型的な米国の債券利率（および期間=10～30年）では、月々の債券利率は1に比べて小さいため、数パーセント以内の精度の式を見つけることができます。これにより、次の簡略化が得られます。 ${\displaystyle I<8\%}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r<<1}$${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$

$${\displaystyle c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}}$$

補助変数を定義することを示唆している

$${\displaystyle Y\equiv nr=IT}$$$${\displaystyle c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.}$$

これは分割払いで返済する無利子ローンに必要な月々の支払額です。これらの変数に関して、近似値は と表すことができます。 ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle n}$${\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$

とします。 が与えられた場合、展開は1% より良く有効です。 ${\textstyle X={\frac {1}{2}}Y}$${\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}$${\displaystyle X\leq 1}$

期間 30 年、利率 4.5%、月々の返済となる 120,000 ドルの住宅ローンの場合、次のようになります。

$${\displaystyle T=30}$$$${\displaystyle I=0.045}$$$${\displaystyle c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33}$$

これにより

$${\displaystyle X={\frac {1}{2}}IT=.675}$$

となることによって

$${\displaystyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96}$$

正確な支払額は、概算で約 6 分の 1 パーセントの過大評価になります。 ${\displaystyle c=\$608.02}$

元本預金と定期預金があれば、投資の総収益は単位時間あたりの複利で計算できます。必要に応じて、追加の非定期預金と定期預金の利息も同じ式で定義できます（下記参照）。^[11]

• ${\displaystyle P}$= 元金預金
• ${\displaystyle r}$= 収益率（月間）
• ${\displaystyle M}$= 毎月の預金、および
• ${\displaystyle t}$= 時間（月）

各預金の複利は次のようになります。 全期間 t にわたるすべての定期預金を加算すると (預金が元本の投資から始まる場合は i は 0 から始まり、預金が翌月から始まる場合は i は 1 から始まります)、 等比級数 を認識し、閉じた形式の公式(公比: )を適用します。 $${\displaystyle M'=M(1+r)^{t}}$$$${\displaystyle M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}}$$${\displaystyle M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}}$${\displaystyle 1/(1+r)}$

$${\displaystyle P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}}$$

2種類以上の預金（定期預金または非定期預金）が発生した場合、複利で得られる価値は次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}}$$

ここで、C は各一時金、k はそれぞれ月次以外の定期預金、x と y は新規預金と合計期間 t の間の時間差です。

各定期預金の正確な日付と金額が不明な場合の利回りの逆算の実用的な推定値は、期間を通じて毎月の定期預金が一定であると仮定した式である： ^[12] または$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}}$$$${\displaystyle r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1}$$

Wikiquoteに複利に関する引用があります。

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