ブラフマグプタ定理

幾何学において、ブラフマグプタの定理は、円周四辺形が直交対角線（つまり、直交する 対角線を持つ）である場合、対角線の交点から辺に下ろした垂線は、常に反対側の辺を二等分するというものである。 ^{[1]この定理は、}インドの数学者 ブラフマグプタ（598-668）にちなんで名付けられた。 ^[2]

より具体的には、A、B、C、D を円上の 4 つの点とし、線分ACと線分BDが直交するとします。ACとBDの交点をMとします。Mから線分BCに下ろした垂線を交点Eとします。線分EMと辺ADの交点をFとします。すると、定理によればFは中点ADとなります。

AF = FDであることを証明する必要があります。 AFとFD はどちらもFMに等しいことを証明します。

AF = FMであることを証明するには、まず、角FAMとCBMが等しいことに注目します。なぜなら、これらは同じ円弧 (CD) に接する内接角だからです。さらに、角CBMとCME は両方とも角BCMの補角(つまり、合計すると 90°) であるため、等しいです。最後に、角CMEとFMAは同じです。したがって、AFMは二等辺三角形であり、したがって辺AFとFM は等しいです。

FD = FMの証明も同様です。角度FDM、BCM、BME、DMF はすべて等しいので、DFM は二等辺三角形となり、FD = FM となります。定理が主張するように 、 AF = FD となります。

• 円周四辺形の面積に関するブラフマグプタの公式

• ProofWiki の Brahmagupta 定理
• 結び目を切るときのブラフマグプタの定理
• Weisstein, Eric W.「Brahmagupta の定理」。MathWorld。