ディオファントス

ディオファントスは、頻繁に用いられる演算には簡略化された表記法を用い、未知数および未知数のべき乗には略記法を用いる代数記号体系を導入した。

中世アラビアの代数学と同様に、ディオファントスは代数学による問題解決に3つの段階を用いている。^{[ 12 ]}

1. 未知数に名前を付け、方程式を立てる
2. 方程式は標準形に簡略化される（アラビア語ではアル＝ジャブルとアル＝ムカーバラ）。
3. 簡略化された方程式を解く

ディオファントスは、現存する『算術』の一部において、アル・フワーリズミーのように方程式を6種類に分類していません。彼は、3項方程式の解法を後ほど示すと述べているので、この部分は単に失われてしまったのかもしれません。^{[ 11 ]}

ディオファントス記法と現代の代数記法の主な違いは、前者には演算、関係、指数を表す特別な記号がなかったことである。^{[ 13 ] [ 14 ]}例えば、現代の記法では次のように書かれる。 $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$$ これは次のように書き換えることができます $${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$$ ディオファントスの記法では次のように書かれるだろう

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;{\text{ἴσ}}\;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

現代の記法とは異なり、係数は変数の後に来、加算は項の並置によって表されます。ディオファントスの方程式を現代の方程式に文字通り記号ごとに翻訳すると次のようになります。^{[ 14 ]}$${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$$ 明確にするために、現代の括弧とプラス記号を使用すると、上記の式は次のように書き換えることができます。^{[ 14 ]}$${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$$

第3巻では、ディオファントスは2つの線式を同時に平方または立方数にする値を求める問題を解いています。第4巻では、与えられた数の間の有理数乗を求めています。また、彼は次の形式の数にも注目しました。${\displaystyle 4n+3}$2 乗の和にはなり得ない。ディオファントスは、すべての数が 4 乗の和として表せることも知っていたようだ。もし彼がこの結果を知っていたとしたら (単に推測したのではなく、証明したという意味で)、それは本当に驚くべきことだっただろう。この結果を述べたフェルマーでさえ、その証明を提供できず、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュがレオンハルト・オイラーの結果を用いて証明するまで、この結論は確定していなかった。

ピタゴラス派にとって非常に興味深いテーマであった多角数に関するこの著作は、現存する形では序文と5つの命題から構成されている。^{[ 18 ]}この論文は、ある数が多角数となる方法の数についての命題の途中で途切れている。^{[ 15 ]}

『ポリスムス』は、補題とそれに付随する証明を集めたものでした。 『ポリスムス』は失われていますが、ディオファントスが『算術』の中で3つの補題を引用し、証明については『ポリスムス』を参照するように読者に指示しているため、そこに収録されていた3つの補題が分かっています。^{[ 16 ]}

ある補題によれば、2 つの有理数の立方数の差は、他の 2 つの有理数の立方数の和に等しい。^{[ 19 ]}つまり、 a > b > 0 を満たす任意の有理数aとbに対して、次の有理数c、d > 0が存在する。

a ³ − b ³ = c ³ + d ³。

この分数に関する著作は、イアンブリコスのニコマコスの『算術入門』に関する論文に対するネオプラトン主義の注釈書という単一の参照によって知られている。^{[ 16 ]}イアンブリコスが「ピタゴラス派の中には、単位は数と部分の境界線であると言う者もいた」と書いている行の横に、注釈者は「ディオファントスは『部分について』の中で、部分は無限に続く減少の進行を伴うと書いている」と書いている。^{[ 16 ]}

ディオファントスの著作は出版後、4世紀から7世紀にかけてギリシャ語圏の地中海地域で読まれ続けた。^{[ 21 ]} ディオファントスに関する最も古い既知の言及は、4世紀のアレクサンドリアのテオンによる『アルマゲスト』の注釈であり、これは『算術』の序文を引用している。^{[ 22 ]}スーダによれば、テオンの娘で頻繁に協力していたヒュパティアは、ディオファントスの『算術』に関する現在失われた注釈を書いたとされており、これはこの著作が古代末期にアレクサンドリアの新プラトン主義の数学者によって綿密に研究されていた可能性を示唆している。^{[ 22 ]}ディオファントスへの言及は、イアンブリコスの著作に対する多くの新プラトン主義の注釈にも残っている。^{[ 23 ]} 6世紀の新プラトン主義の偽エリアスによるポルフィリオスの『イサゴーゲー』の注釈書にもディオファントスについて言及されている。算術、幾何学、音楽、天文学の四科 と、それらに隣接する他の4つの分野（「論理学」、「測地学」、「物質における音楽」、「球面論」）の概要を述べた後、ニコマコス（ 『算術入門』の著者）が算術で第一位を占めているが、ディオファントスは「論理学」で第一位を占めていると述べており、算術書の題名にもかかわらず、ディオファントスのより代数的な著作は中世以前から算術とは区別されていたことを示している。^{[ 24 ]}

他の多くのギリシャ数学論文と同様に、ディオファントスは暗黒時代には西ヨーロッパで忘れ去られていました。古代ギリシャ語の研究、ひいては識字率全般が著しく低下していたためです。しかし、現存するギリシャ算術の部分は、近世初期に伝わったすべての古代ギリシャ語文献と同様に、中世ビザンツの学者によって写本され、彼らに知られていました。ビザンツのギリシャ人学者ヨハネス・ホルタスメノス（1370-1437）によるディオファントスに関する注釈は、それ以前のギリシャ人学者マクシモス・プラヌデス（1260-1305）が書いた包括的な注釈とともに保存されています。プラヌデスはビザンツ帝国コンスタンティノープルのコーラ修道院の図書館でディオファントスの版を作成しました。^{[ 25 ]}

算術は9世紀にクスタ・イブン・ルカがアラビア語に翻訳したことで、イスラム世界の数学者たちに知られるようになった。 ^{[ 26 ]}

1463年、ドイツの数学者レギオモンタヌスは「算術の真髄が隠されているディオファントスの13巻をギリシャ語からラテン語に翻訳した者はまだいない」と記した。算術は1570年にボンベリによって初めてギリシャ語からラテン語に翻訳されたが、出版されることはなかった。しかし、ボンベリは自身の著書『代数学』に多くの問題を借用した。算術の初版は1575年にクシランダーによって出版された。

1621年にバシェが ラテン語に翻訳した『算術』は、広く普及した最初のラテン語版となった。ピエール・ド・フェルマーは本書を所有し、研究し、余白にメモを書き込んだ。バシェによる1621年版『算術』は、ピエール・ド・フェルマーが自身の所有する本の余白に有名な「最終定理」を書き込んだことで、広く知られるようになった。

整数nが 2 より大きい場合、a ⁿ + b ⁿ = c ⁿは、ゼロでない整数a、b、cに対して解を持たない。私はこの命題の実に素晴らしい証明を持っているのだが、この余白が狭すぎて書ききれない。

フェルマーの証明は結局見つからず、この定理の証明を見つける問題は数世紀にわたって未解決のままだった。1994年、アンドリュー・ワイルズが7年間の研究の末、ついに証明を発見した。フェルマーは、自分が主張していた証明を実際には持っていなかったと考えられている。フェルマーがこれを書いた原本は現在失われているが、フェルマーの息子が1670年に出版されたディオファントスの次の版を編集した。本文は1621年版に比べて劣るものの、フェルマーの注釈（「最後の定理」を含む）はこの版に印刷されている。

フェルマーは、ディオファントスに宛てて自分の余白に書き込んだ最初の数学者ではなかった。ビザンツの学者ヨハネス・コルタスメノス（1370-1437）は、同じ問題の横に「ディオファントスよ、お前の魂はサタンと共にある。お前の他の定理、特にこの定理の難しさゆえに」と書き残していた。^{[ 27 ]}

ディオファントスは、係数や解に分数を用いることで、正の有理数を数として認識した最初の人物の一人です。彼は近似等式を表す用語 παρισότης ( parisotēs ) を造語しました。 ^{[ 28 ]}この用語はラテン語でadaequalitasと訳され、ピエール・ド・フェルマーが関数の最大値や曲線の接線を求めるために開発したadequalityの手法となりました。

今日では、ディオファントス解析は方程式の整数解を求める研究分野であり、ディオファントス方程式は整数係数を持つ多項式方程式で、整数解のみが求められます。与えられたディオファントス方程式が解けるかどうかを判断するのは通常かなり困難です。算術の問題のほとんどは二次方程式につながります。ディオファントスは^、ax² + bx = c、ax² = bx + c、ax² + c = bxの 3 種類の二次方程式を検討しました。今日では 1 つの場合しかありません^{が、ディオファントスには3}つの場合があった理由は、彼がゼロの概念を持っておらず、上記の 3 つの場合すべてにおいて、与えられた数a、b、cをすべて正とみなすことで負の係数を避けていたためです。ディオファントスは常に有理数の解で満足し、整数を要求しなかったので、分数を問題の解として受け入れていました。ディオファントスは、負または無理数の平方根解を「役に立たない」「無意味」、さらには「ばかげている」と考えていた。具体的な例を挙げると、彼は方程式4 = 4x + 20を、 xが負の値になるため「ばかげている」と呼んでいる。彼が二次方程式で求めていたのは、解が 1 つだけだった。ディオファントスが二次方程式に 2 つの解が存在する可能性があることを認識していたことを示唆する証拠はない。彼はまた、連立二次方程式についても検討した。

1968年、フアト・セズギンはイラン北東部のマシュハドにあるイマーム・レザー廟で、これまで知られていなかった4冊の算術書を発見した。 ^{[ 29 ]}これらの4冊は、クスタ・イブン・ルカ（820～912年）によってギリシャ語からアラビア語に翻訳されたと考えられている。 ^{[ 30 ]}ノルベルト・シャッパッハーは次のように書いている。

[行方不明だった4冊の本]は、1971年頃、イランのマシェドにあるアスタン・クッズ図書館で、1198年の写本として発見された。司書が表紙のメイン行に幾何学的なクーフィー体でディオファントスの名前が書かれているのが読めなかったため、ディオファントスの名前ではなくクスタ・イブン・ルカの名前で目録に登録された。^{[ 31 ]}