背景 イスラムの学者たちは西暦1000年までに 多項式 の積分 を求める一般的な公式 をほぼ完成させており、明らかに彼らが関心を持つあらゆる多項式に対してそのような公式を見つけることができた。しかし、少なくとも現在までに発見されている資料を見る限り、彼らは4次以上の多項式には関心を持っていなかったようだ。一方、インドの学者たちは1600年までに、 イブン・アル＝ハイサム の任意の整数べき乗の和公式に似た公式を用いて、彼らが関心を持つ関数のべき級数を計算することができた。同時期に、彼らはこれらの関数の微分を計算する方法も知っていた。つまり、微積分学の基本的な考え方のいくつかは、アイザック・ニュートン より何世紀も前にエジプトとインド で知られていたのである。しかし、イスラムやインドの数学者たちは、微積分学という名称で括られる様々な考え方を結びつける必要性を感じていなかったようだ。彼らは、これらの考え方が必要とされる特定のケースにのみ関心を持っていたようである。[ 5 ] [ 6 ]
ケララ州の学校成績がヨーロッパに伝達される可能性 ケララ学派は、三角関数の冪級数に取り組んでおり、これは現在では 微積分 の一部と考えられている考え方で、ヨーロッパで同じ概念が現れる約250〜300年前に行われていました。インドとアラブの学者はどちらも17世紀以前に数学的発見をしており、それらは現在では微積分の一部と考えられています。[ 18 ] しかし、歴史家のヴィクター・J・カッツ によれば、彼らはまだ「微分と積分という2つの統一的なテーマの下に多くの異なるアイデアを組み合わせ、2つの間のつながりを示し、微積分を今日私たちが持っている偉大な問題解決ツールに変えること」はしていませんでした。主流の歴史家は一般的に、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが後に、ヨーロッパとイスラムの初期の数学に基づいて、これらの統一された微積分体系を独立して定式化したことに同意しています。[ 18 ]
ヨーロッパの数学者がケーララ学派の影響を受けていたかどうかという問題は、学術的な議論が続いている。1979年、AK Bagは、ケーララが中国、アラビア、ヨーロッパと継続的に交流していたことから、これらの結果に関する知識が商人や イエズス会 宣教師によって貿易ルートを通じてヨーロッパに伝わった可能性があると提唱した。[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] 同様に、Katzは、ケーララ学派のいくつかのアイデアが11世紀のイラクの学者イブン・アル＝ハイサム の研究と類似点を共有していることを指摘し、イスラム世界からケーララへの数学的概念のより早い時期の伝承の可能性を示唆した。[ 18 ] [ 22 ]
ニュートンとライプニッツの知的経歴は十分に記録されており、彼らの業績が彼ら自身のものではなかったという兆候はない。[ 18 ] フェルマー とロベルヴァルが、現在我々が知らない情報源を通じてイスラムやインドの数学者の考えの一部を知ったかどうかは確実には分かっていない。[ 18 ]
注記 1 2 3 4 5 6 7 8 Roy, Ranjan. 1990. 「級数公式の発見π {\displaystyle \pi } Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291–306。 ↑ （ スティルウェル 2004 、p.173 ） ↑ ( Bressoud 2002 、p. 12) harv error: multiple targets (2×): CITEREFBressoud2002 ( ヘルプ ) 引用: 「19世紀まで、インドにおける級数の研究がインド国外、あるいはケララ州以外でも知られていたという証拠はない。ゴールドとピングリーは[4]、これらの級数がヨーロッパで再発見された頃には、実際にはインドでは失われていたと主張している。正弦、余弦、逆正接の展開は数世代の弟子たちに伝えられてきたが、誰もあまり活用できない不毛な観察結果のままだった。」 ↑ Plofker 2001 、p. 293 引用：「インド数学の議論では、『微分の概念はマンジュラの時代（…10世紀）から（インドで）理解されていた』[Joseph 1991, 300]、あるいは『マダヴァは数学解析の創始者とみなせる』(Joseph 1991, 293)、あるいは『バースカラ2世は微分積分の原理の発見においてニュートンとライプニッツの先駆者であると主張するかもしれない』(Bag 1979, 294)といった主張に出くわすことは珍しくない。…特に初期のヨーロッパの微積分とケーララの冪級数に関する研究との類似点は、15世紀以降にマラバール海岸からラテン語圏の学術界へ数学的アイデアが伝わった可能性を示唆する説さえ生み出している（例えば、(Bag 1979, 285)）。…しかし、このようなサンスクリット語（またはマラヤーラム語）とラテン語の数学の類似性を強調することは、前者の本質を十分に理解する能力を損なう恐れがある。インドが「微分積分の原理を発見した」と述べることは、これまで見てきた例のように、正弦の変化を余弦で、あるいはその逆で表現するインドの手法が、特定の三角関数の枠組み内に留まっていたという事実をいくらか覆い隠してしまう。微分「原理」は任意の関数に一般化されておらず、実際、任意の関数という概念、ましてやその導関数や導関数を求めるアルゴリズムといった概念は、ここでは無関係である。 ↑ Pingree 1992 、p. 562 引用：「私が挙げることができる例の一つは、インドのマーダヴァが紀元1400年頃に、幾何学的および代数的な議論を用いて三角関数の無限べき級数を証明したことに関するものです。1830年代にチャールズ・ウィッシュによってこれが初めて英語で記述されたとき、それはインド人による微積分学の発見として称賛されました。この主張とマーダヴァの業績は、西洋の歴史家によって無視されました。おそらく最初はインド人が微積分学を発見したことを認められなかったためでしょうが、後にはウィッシュの論文が掲載された王立アジア協会の紀要を 誰も読まなくなったためでしょう。この問題は1950年代に再び浮上し、現在ではサンスクリット語のテキストが適切に編集され、マーダヴァが微積分学を用いずに 級数を導き出した巧妙な方法が理解されています。しかし、多くの歴史家は依然として、この問題とその解決策を微積分学以外の何かの観点から考えることは不可能だと考えています。」微積分こそがマーダヴァが発見したものであると主張する者もいる。この場合、マーダヴァの数学の優雅さと素晴らしさは、彼が別の強力な解決策を発見した問題に対する現在の数学的解決策の下に埋もれてしまい、歪められている。 ↑ Katz 1995 、pp. 173–174 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFKatz1995 ( help ) 引用: 「イスラムとインドの学者は微積分を発明するのにどれほど近づいたのでしょうか。イスラムの学者は西暦1000年までに多項式の積分を求めるための一般的な公式をほぼ開発しており、明らかに彼らが関心のあるあらゆる多項式に対してそのような公式を見つけることができました。しかし、少なくとも現在まで伝わっている資料では、彼らは4次を超える多項式には関心がなかったようです。一方、インドの学者は1600年までに、イブン・アル＝ハイサムの任意の整数乗の和公式を用いて、彼らが関心のある関数のべき級数を計算することができました。同時に、彼らはこれらの関数の微分を計算する方法も知っていました。つまり、微積分の基本的な考え方のいくつかは、ニュートンより何世紀も前にエジプトとインドで知られていたのです。しかしながら、イスラムやインドの数学者たちが、微積分という名称で括られる様々な概念を結びつける必要性を認識していたようには見えない。彼らは、これらの概念が必要とされる特定の事例にのみ関心を持っていたようだ。したがって、ニュートンとライプニッツが微積分を発明したという記述を削除するために歴史書を書き直す必要が生じる危険性はない。確かに、彼らこそが、微分と積分という二つの統一的なテーマのもとに多くの異なる概念を統合し、それらの間の関連性を示し、微積分を今日私たちが持つ偉大な問題解決ツールへと昇華させた人物なのである。 ↑ Singh, AN (1936). "ヒンドゥー数学における級数の使用について". Osiris . 1 : 606– 628. doi : 10.1086/368443 . S2CID 144760421 . ↑ Katz, VJ 1995. "イスラムとインドにおける微積分学の概念." ( PDF 、 Wayback Machine に2023年12月8日に アーカイブ済み) Mathematics Magazine (Mathematical Association of America)、68(3):163-174。 ↑ ジョン・ウォーレン (1825)『南インドの諸民族が時間を分割する様々な様式に関する回想録集』 （ Googleブックス より ↑ ウィッシュ、チャールズ M. (1835)。 「XXXIII. ヒンドゥー教の円の求積法と、4 つのシャーストラ、タントラ サングラハム、ユクティ バーシャ、チャラナ パダティ、サドラトナマカに示されている円周と直径の比率の無限級数について」 。 王立 アジア協会紀要 。3 : 509–523 。 ↑ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1949). "ヒンドゥー数学の無視された章". Scripta Mathematica . 15 : 201–209 . ↑ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1951). 「グレゴリー級数のヒンドゥー教的証明について」 Scripta Mathematica . 17 : 65– 74. ↑ Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "ヒンドゥー数学における正弦と余弦のべき級数". Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science) . 15 : 1– 13. ↑ ラジャゴパル、C.;ミシシッピ州ランガチャリ（1977年）。 「中世ケララ数学の未開発の情報源について」。 精密科学の歴史のアーカイブ 。 18 (2): 89–102 。 土井 : 10.1007/BF00348142 。 S2CID 51861422 。 ↑ Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1986). "中世ケーララ数学について". Archive for History of Exact Sciences . 35 (2): 91–99 . doi : 10.1007/BF00357622 . S2CID 121678430 . ↑ K. Ramasubramanian、MD Srinivas、MS Sriram (1994)「ケーララの天文学者による初期のインドの惑星理論の修正（紀元1500年頃）と、そこから示唆される惑星運動の地動説」 Current Science 66 (10) : 784–90 1 2 3 4 5 Katz, Victor J. (1995). "イスラムとインドにおける微積分学の思想" . Mathematics Magazine . 68 (3): 163 to 174. doi : 10.2307/2691411 . ↑ Bag, AK (1979). 古代および中世インドの数学 . バラナシ/デリー: Chaukhambha Orientalia. p. 285. ↑ Almeida, DF; John, JK; Zadorozhnyy, A. (2001). "ケララ数学：ヨーロッパへの伝達の可能性とそれに伴う教育的影響". Journal of Natural Geometry . 20 : 77 to 104. ↑ Bressoud, David (2002). 「微積分はインドで発明されたのか？」. The College Mathematics Journal . 33 (1): 2 to 13. doi : 10.2307/1558972 . JSTOR 1558972 . ↑ Gold, D.; Pingree, D. (1991). 「マダヴァによる正弦と余弦のべき級数の導出に関するこれまで知られていなかったサンスクリット語の著作」 Historia Scientiarum. 42: 49–65.
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外部リンク インド数学の概要、MacTutor数学史アーカイブ インドの数学：バランスの是正、MacTutor数学史アーカイブ 、2002年。 ケララ州の数学、MacTutor数学史アーカイブ 、2002年。 ケララ数学のヨーロッパへの伝播の可能性、MacTutor数学史アーカイブ 、2002年。 「インディアンはニュートンの『発見』より250年も前から存在していた」phys.org、 2007年
