導入 ベルンハルト・リーマン リーマン幾何学は、19世紀にベルンハルト・リーマンによって初めて一般的に提唱されました。これは、非ユークリッド幾何学の標準的なタイプを含め、 計量 特性が点ごとに変化する幅広い幾何学を扱います。主な考え方は、ユークリッド空間の曲面のような空間は、リーマン計量 と呼ばれるものを持つということです。これは、周囲のドット積を 曲面に接する ベクトルに制限することによって生じます。リーマンは、ここでの本質的な要素は接ベクトル上のこの二次形式 であり、それが一般化できることに気づきました。重要なのは、曲面上の経路を測る本質的な方法であり、曲面が空間内でどのように位置しているかではなく、この二次形式が点ごとにどのように変化するかでした。円筒 の単純な例を考えてみましょう。平らな紙を円筒状に巻くことはできますが、「固有距離」、つまり昆虫が一点から別の点まで這って移動しなければならない距離は、平らな紙を三次元に変形しても変わりません。リーマンが知っていたより高度な例としては、らせん状物体は （母線に沿って切断した後）固有形状（アリが見るもの）を変えることなくカテノイド に変形できるというものでした。
右巻きらせん をカテノイドを介して左巻きらせんに変形し、再び右巻きらせんに戻す際に、この固有の計量（メッシュの辺の長さ）を保持する。 リーマンの考えは、空間における曲面の具体的な表現方法（例えば、円筒か紙か）よりも、二次形式こそが最も重要であるというものだった。したがって、リーマン幾何学は、あらゆる点における接ベクトルに二次形式を備えた多様体の内在的な幾何学を研究する。重要な考え方は、曲面とは異なり、多様体は特定のユークリッド空間に埋め込まれているとは限らないということである。多様体は局所的な座標パッチで記述することができる。各座標パッチでは、計量は1つの式を持ち、別のパッチに移ると、計量は明確に定義された規則（本質的には連鎖律） によって変化する。
現代の定理の一つに、すべての 滑らかな多様体は リーマン計量 を持つ（実際には多くのリーマン計量を持つ）というものがある。このような計量の性質は、元の多様体の位相 を制約する上で有用である。
リーマン幾何学では、ユークリッド幾何学と同様に、二次形式は正定値 です。この条件を緩和し、いくつかの非ゼロベクトルが二次形式の下で零ベクトルになり得ることを許容すると、 擬リーマン多様体 の構造が得られます。擬リーマン多様体は（4次元の場合）一般相対性理論 の主要な対象です。一方、二次形式をより一般的な非二次関数に置き換えると、フィンズラー幾何学 が得られます。
微分幾何学は、正則結晶の欠陥の数学的構造と密接な類似性を持つ。転位 とディスリネーションは ねじれと曲率を生み出す。[ 2 ] [ 3 ]
以下の記事は、入門的な内容として役立つでしょう。
古典的定理 以下は、リーマン幾何学における最も古典的な定理の不完全なリストである。選択は、その重要性と定式化の優雅さに基づいて行われた。これらの結果のほとんどは、ジェフ・チーガー とD・エビンによる古典的なモノグラフ（下記参照）に記載されている。
提示された定義は、厳密なものでも、最も一般的なものでもありません。このリストは、基本的な定義を既に知っていて、それらの定義が何を意味しているのかを知りたい人を対象としています。
大きな幾何学 以下の定理では、空間の局所的な振る舞い（通常は曲率の仮定を用いて定式化される）を仮定し、多様体の位相的タイプに関する情報、あるいは「十分に大きな」距離にある点の振る舞いに関する情報など、空間の全体的な構造に関する情報を導き出します。
球面定理 。Mが 、断面曲率が厳密に 1/4 と 1 の間に挟まれた単連結コンパクトn 次元リーマン多様体である場合、 M は球面と微分同相である。チーガーの有限性定理。 定数C 、D 、Vが与えられたとき、断面曲率 | K | ≤ C 、直径 ≤ D 、体積 ≥ Vを満たすコンパクトな n 次元リーマン多様体は、（微分同相を除いて）有限個しか存在しない。グロモフのほぼ平坦な多様体 。 n 0 が存在し、 n次元リーマン多様体の断面曲率 | K | ≤ ε n 場合、その有限被覆は冪零多様体 と微分同相である。
断面曲率が以下に制限される Cheeger–Gromoll の魂の定理 。M が 非コンパクト完備非負曲率n 次元リーマン多様体である場合、 Mはコンパクトで全測地的な部分多様体 S を含み、 M は S の法束と微分同相である( Sは M の魂 と呼ばれる)。特に、M が至る所で厳密に正の曲率を持つ場合、M は R n 微分同相で ある。G . Perelman は 1994 年に、魂予想の驚くほど優雅で短い証明を与えた。Mは、1 点のみで正の曲率を持つ場合に R n グロモフのベッティ数定理。M が 正の断面曲率を持つコンパクト連結n次元リーマン多様体である場合、その ベッティ数 の合計が最大でC となるような定数C = C ( n )が存在する。グローブ・ピーターセンの有限性定理。 定数C 、D 、Vが与えられたとき、断面曲率 K ≥ C 、直径 ≤ D 、体積 ≥ Vを満たすコンパクトな n 次元リーマン多様体のホモトピー型は有限個しか存在しない。
断面曲率が上限で制限される カルタン・アダマールの定理は 単連結 リーマン多様体M は、任意の点において 指数写像 を介して、 n = dim M となるユークリッド空間 R n 微分同相で あることを述べている。これは、非正の断面曲率を持つ単連結完全リーマン多様体の任意の 2 点が、一意の測地線で結ばれることを意味する。 負の断面曲率を持つ任意のコンパクトリーマン多様体の測地線流は エルゴード的 である。 M が 、断面曲率が厳密に負の定数k で上から制限される完備リーマン多様体である場合、それはCAT( k ) 空間 である。したがって、その基本群 Γ = π 1 ( M ) はグロモフ双曲群 である。これは、基本群の構造に関して多くの意味を持つ。
リッチ曲率は以下に制限される マイヤーズの定理 。基本群は 有限である。ボフナーの公式 。n 次元リーマン多様体が非負のリッチ曲率を持つ場合、その第一ベッティ数は高々 n であり、等号が成り立つのはリーマン多様体が平坦なトーラスである場合に限る。分割定理 。n 次元リーマン多様体が非負のリッチ曲率と直線 (つまり、各区間で距離を最小にする測地線) を持つ場合、それは実数直線と非負のリッチ曲率を持つ完全な ( n -1) 次元リーマン多様体の直積と等長である。ビショップ・グロモフの不等式 。n次元リーマン多様体における半径 r の計量球の体積は、ユークリッド空間における同じ半径r の球の体積よりも大きくはない。グロモフのコンパクト性定理 。正のリッチ曲率を持ち、直径が最大でD であるすべてのリーマン多様体の集合は、グロモフ・ハウスドルフ計量 においてプレコンパクトで ある。
負のリッチ曲率 負のリッチ曲率を持つコンパクトリーマン多様体の等長変換群は 離散的 である。 n ≥ 3 の次元を持つ任意の滑らかな多様体は、負のリッチ曲率を持つリーマン計量を持つ。[ 4 ] これは曲面には当てはまらない 。）
正のスカラー曲率 n次元トーラスは、 正のスカラー曲率を持つ計量を許容しない。 コンパクトなn 次元リーマン多様体の単射半径 が π 以上であれば、平均スカラー曲率は最大でn ( n -1) になります。
注記 ↑ maths.tcd.ie ↑ クライナート、ハーゲン (1989)、『凝縮系物質におけるゲージ場 第 II 巻』、ワールドサイエンティフィック 、 743–1440 ページ、 2022 年 8 月 22 日にオリジナルからアーカイブ、 2011 年 7 月 17 日に取得 ↑ Kleinert, Hagen (2008), Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation (PDF) , World Scientific, pp. 1– 496, Bibcode : 2008mfcm.book.....K , 2022年1月20日に オリジナル (PDF)からアーカイブ済み、2011年7月17 日 取得 ↑ ヨアヒム・ローカンプは（Annals of Mathematics、1994）で、2次元より大きい任意の多様体は負のリッチ曲率の計量を持つことを示した。
参考文献 本 Berger, Marcel (2000)『20世紀後半のリーマン幾何学』 17巻、ロードアイランド：アメリカ数学会、ISBN 0-8218-2052-4 （数百もの参考文献を含む、歴史的概観と調査を提供する。 ）Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry , Providence, RI: AMS Chelsea Publishingガロット、シルベストル。Hulin, ドミニク ; Lafontaine、Jacques (2004)、リーマン幾何学 、Universitext (第 3 版)、ベルリン: Springer-Verlag Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2 Petersen, Peter (2006), Riemannian Geometry , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4 リーマンから微分幾何学と相対性理論へ（李珍 、アタナセ・パパドプロス、山田澄夫編）シュプリンガー、2017年、XXXIV、647ページ。ISBN 978-3-319-60039-0 論文 
