ガンマ関数

表記法${\displaystyle \Gamma (z)}$ルジャンドルによるものです。^{[ 1 ]}複素数の実部が${\displaystyle z}$厳密に正である（${\displaystyle \Re (z)>0}$)、積分$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$これは絶対収束し、第2種オイラー積分として知られています。（第1種オイラー積分はベータ関数です。^{[ 1 ]}）

価値$\displaystyle \Gamma (1)$計算すると次のようになります$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1.\end{aligned}}}$$

部分積分を行うと、次のことがわかる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\[6pt]&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }z\,t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$認識して${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$として​${\displaystyle t\to 0}$（ただし）${\displaystyle \Re (z)>0}$⁠ ) そして⁠${\displaystyle t\to \infty }$⁠、$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=z\,\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

したがって、我々は次のことを示した。${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$任意の正の整数nに対して帰納法により。

アイデンティティ${\textstyle z\Gamma (z)=\Gamma (z+1)}$積分定式化を一意に拡張するために使用できる（または、同じ結果が得られる解析接続を使用できる）${\displaystyle \Gamma (z)}$すべての複素数に対して定義された有理型関数へ${\displaystyle z}$ただし、0以下の整数は除く。 ^{[ 1 ]} この拡張版が一般的にガンマ関数と呼ばれている。 ^{[ 1 ]}

同等の定義は多数存在する。

上述の基本的な性質に加えて、$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z).}$$ガンマ関数に関するその他の重要な関数方程式は、オイラーの反射公式、$${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,}$$これはつまり$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ そしてルジャンドルの複製公式$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z).}$$

倍数公式は乗法定理の特殊な場合である（ ^{[ 9 ]}式5.5.6を参照）。   $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

極限の定義からわかる、単純だが有用な性質は次のとおりです。 $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

特に、${\displaystyle z=a+bi}$この製品は $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

実部が整数または半整数の場合、これは閉じた形式で有限に表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

おそらく、非整数引数におけるガンマ関数の最もよく知られた値は、 $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ これは設定することで見つけることができます${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$反射式では、以下のベータ関数との関係を用いて、${\displaystyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$⁠、または単に置換を行うことによって${\displaystyle t=u^{2}}$ガンマ関数の積分定義において、ガウス積分となる。一般に、非負の整数値に対して、${\displaystyle n}$我々は持っています： $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}\,n!\,{\sqrt {\pi }}\\[6pt]\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}\,n!}}\end{aligned}}}$$二重 階乗${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$計算値については、「ガンマ関数の特定の値」を参照してください

結果を一般化して${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$他の個々の値の公式を探すことによって${\displaystyle \Gamma (r)}$どこ${\displaystyle r}$これは有理数であり、特にガウスのディガンマ定理によれば、密接に関連するディガンマ関数については、すべての有理数においてそうすることが可能です。しかし、これらの数値は${\displaystyle \Gamma (r)}$それらは、それ自体で初等関数で表現できることは知られていない。${\displaystyle \Gamma (n+r)}$は超越数であり、代数的に独立している。${\displaystyle \pi }$任意の整数に対して${\displaystyle n}$そして各分数${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$⁠ . ^{[ 10 ]}一般に、ガンマ関数の値を計算する際には、数値近似で妥協しなければならない。

ガンマ関数の導関数は、ポリガンマ関数を用いて記述される。${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$⁠ :$${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$正の整数の場合${\displaystyle m}$ガンマ関数の導関数は次のように計算できます。

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ どこ${\displaystyle H(m)}$は${\displaystyle m}$番目の倍音番号と${\displaystyle \gamma }$はオイラー・マスケローニ定数です。

のために${\displaystyle \Re (z)>0}$の${\displaystyle n}$ガンマ関数の 1 階導関数は次のとおりです。$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$（これは、ガンマ関数の積分形式を に関して微分することによって導出できます。）${\displaystyle z}$⁠ .)

IDを使用して$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\,\zeta (n)),}$$どこ${\displaystyle \zeta (z)}$はリーマンゼータ関数であり、${\displaystyle B_{n}}$は${\displaystyle n}$ベル多項式に関しては、特にガンマ関数のローラン級数展開があります^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

正の実数に限定した場合、ガンマ関数は厳密に対数凸関数となる。この性質は、以下の3つの同値な方法で表現できる。

• 任意の2つの正の実数に対して${\displaystyle x_{1}}$そして​${\displaystyle x_{2}}$⁠、そしてあらゆる⁠${\displaystyle t\in [0,1]}$⁠、$${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• 任意の2つの正の実数に対して${\displaystyle x_{1}}$そして​${\displaystyle x_{2}}$⁠、そして${\displaystyle x_{2}}$>${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• 任意の正の実数に対して${\displaystyle x}$⁠、$${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

これらの記述のうち最後のものは、定義上、本質的に次の記述と同じです。${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$⁠、そこで${\displaystyle \psi ^{(1)}}$は次数 1 のポリガンマ関数である。ガンマ関数の対数凸性を証明するには、次のことを観察すれば十分である。${\displaystyle \psi ^{(1)}}$正の実数xに対して、正の項のみからなる級数表現を持つ。

対数凸性とイェンセンの不等式を合わせると、任意の正の実数に対して次のことが成り立つ。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$そして​​${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$⁠、 $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

ガンマ関数の比率にも上限があります。最もよく知られているのはガウチの不等式で、任意の正の実数xと任意のs ∈ (0, 1)に対して、 $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

の行動${\displaystyle \Gamma (x)}$増加する正の実変数については、スターリングの公式によって与えられる。$${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$シンボル${\displaystyle \sim }$漸近収束を意味する：両辺の比は に収束する${\displaystyle 1}$極限において​${\displaystyle \textstyle x\to +\infty }$[ ^{1 ]}この成長は指数関数的より^も速く、${\displaystyle \exp(\beta x)}$⁠、任意の固定値に対して⁠${\displaystyle \beta }$⁠ .

漸近近似のもう1つの有用な限界は${\displaystyle x\to +\infty }$は：$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

誤差項を無限積として記述する場合、スターリングの公式を使用してガンマ関数を定義できます。^{[ 12 ]}$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{e}}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{x+n+{\frac {1}{2}}}\right].}$$

ガンマ関数の主な定義である第2種オイラー積分は、（実軸上で）正の引数に対してのみ有効ですが、解析接続^{[ 13 ]}により、負の引数をオイラーの反射公式、$${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$または基本的な性質、$${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {\,1}{-x}}\,\Gamma (-x+1),}$$いつ⁠${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$例えば、$${\displaystyle \Gamma \!\left(\!-{\frac {1}{2}}\right)=-2\,\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right).}$$

非正の場合の挙動${\displaystyle z}$より複雑です。オイラー積分は に対して収束しません。${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$しかし、正の複素半平面で定義される関数は、負の半平面への一意の解析接続を持ちます。その解析接続を見つける1つの方法は、正の引数に対してオイラー積分を使用し、漸化式^{[ 1 ]}を繰り返し適用して領域を負の数に拡張することです。$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$選択する${\displaystyle n}$そのため${\displaystyle z+n}$は正です。分母の積は、${\displaystyle z}$いずれかの整数に等しい${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$したがって、ゼロ除算を避けるために、ガンマ関数はこれらの点で未定義でなければなりません、非正の整数に単純極を持つ有理型関数です^{。 [ 1 ]}

関数の場合${\displaystyle f}$複素変数の${\displaystyle z}$⁠、シンプルなポールで${\displaystyle c}$⁠、残余物${\displaystyle f}$次のように与えられます。$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

シンプルなポールの場合${\displaystyle z=-n}$⁠、漸化式は次のように書き換えることができます。$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$分子は⁠${\displaystyle z=-n}$⁠、は$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$そして分母$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$したがって、これらの点におけるガンマ関数の残差は次のようになります。^{[ 14 ]}$${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$ガンマ関数は実数直線上のどこでもゼロではないが、 のとき任意にゼロに近づく。${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$実際には複素数は存在しない。${\displaystyle z}$そのために${\displaystyle \Gamma (z)=0}$したがって、逆ガンマ関数${\textstyle {\dfrac {1}{\Gamma (z)}}}$は、 にゼロを持つ整関数です。${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$⁠ . ^{[ 1 ]}

実数直線上では、ガンマ関数はz _min = +1.46163 21449 68362 34126... ^{[ 15 ]}で局所最小値を持ち、その値はΓ( z _min ) = +0.88560 31944 10888 70027... ^{[ 16 ]}となります。ガンマ関数はこの最小値の両側で上昇します。Γ( z − 0.5) = Γ( z + 0.5)の解はz = +1.5であり、共通値はΓ(1) = Γ(2) = +1です。 Γ( z − 1) = Γ( z + 1)の正の解はz = φ ≈ +1.618であり、これは黄金比です。共通値はΓ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φです。 = +1.44922 96022 69896 60037... . ^{[ 17 ]}

ガンマ関数は、非正の整数における極の間で符号が交互に変化しなければならない。なぜなら、順方向漸化式の積には、極間の数が奇数であれば、負の因子が含まれるからである。${\displaystyle z}$そして${\displaystyle z+n}$は奇数であり、極の数が偶数の場合は偶数となる。^{[ 14 ]} 非正の整数間の実軸に沿ったガンマ関数の局所極値における値は次のとおりです。

Γ( −0.50408 30082 64455 40925... ^{[ 18 ]} ) = −3.54464 36111 55005 08912...、

Γ( −1.57349 84731 62390 45877... ^{[ 19 ]} ) = 2.30240 72583 39680 13582...、

Γ( −2.61072 08684 44144 65000... ^{[ 20 ]} ) = −0.88813 63584 01241 92009...、

Γ( −3.63529 33664 36901 09783... ^{[ 21 ]} ) = 0.24512 75398 34366 25043...、

Γ( −4.65323 77617 43142 44171... ^{[ 22 ]} ) = −0.05277 96395 87319 40076...など

ガンマ関数を積分として表す公式は、第2種オイラー積分以外にも多数存在する。例えば、実部が${\displaystyle z}$正の値である、^{[ 23 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$および^{[ 24 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$$${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ ここで、3つの積分はそれぞれ置換から導かれる。${\displaystyle t=e^{-x}}$⁠、${\displaystyle t=-\log x}$^{[ 25 ]}および${\displaystyle t=cx^{2}}$^{[ 26 ]}オイラーの第2積分において。特に最後の積分は、半整数引数におけるガンマ関数とガウス積分。${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$私たちは$${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

ガンマ関数のビネの第一積分公式は、zの実部が正の場合、次のようになると述べています。^{[ 27 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$右辺の積分はラプラス変換と解釈できる。つまり、$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

ビネの第2積分公式によれば、 zの実部が正の場合、次のようになります。^{[ 28 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

C をハンケル経路とする。これは、リーマン球面上の点∞で始まり、同じ点で終わる経路であり、その単位接線ベクトルは経路の始点で−1に収束し、終点で1に収束し、 0 の周りを巻き数1で回り、 と交差しない経路を意味する。${\displaystyle [0,\infty )}$⁠ . ブランチを修正します${\displaystyle \log(-t)}$枝を切り取って${\displaystyle [0,\infty )}$そして、${\displaystyle \log(-t)}$本当は${\displaystyle t}$負の実軸上にある。${\displaystyle z}$が整数でない場合、ガンマ関数のハンケルの公式は次のようになります。^{[ 29 ]}$${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$どこ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$と解釈される${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$反射の公式は、密接に関連する式につながる。$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$これはいつでも有効です${\displaystyle z\not \in \mathbb {Z} }$⁠ .

ガンマ関数は、2 つの連分数の和によっても表すことができます。^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$どこで${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$⁠ .

ガンマ関数の対数は、次のフーリエ級数展開を持つ。${\displaystyle 0<z<1:}$$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$ これは長い間、1847年にこれを導出したエルンスト・クンマーによるものとされていました。 ^{[ 32 ] [ 33 ]}しかし、ヤロスラフ・ブラゴウチンは、カール・ヨハン・マルムステンが1842年にこの数列を最初に導出したことを発見しました。 ^{[ 34 ] [ 35 ]}

1840年、ヨーゼフ・ルートヴィヒ・ラーベは、$${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$特に、${\displaystyle a=0}$それから$${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (z)\,dz={\frac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

後者は、上記の乗算公式の対数を取ることで導出でき、これにより被積分関数のリーマン和の式が得られます。極限を取ると、${\displaystyle a\to \infty }$式を示します。

ガウスによって導入された別の表記法は${\displaystyle \Pi }$-関数、ガンマ関数のシフト版： $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ となることによって${\displaystyle \Pi (n)=n!}$すべての非負整数に対して${\displaystyle n}$⁠ .

π関数を用いると、反射の公式は次のようになります。 $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$ 正規化されたsinc関数を使用すると、乗法定理は次のようになります。 $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

シフトされた逆ガンマ関数は、次のように表記されることがある。${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}}$⁠、関数全体。

半径r ₁ , ..., r _nを持つn次元楕円体の体積は次のように表すことができます。$${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

• ガンマ関数を定義する最初の積分では、積分範囲は固定されています。上側の不完全ガンマ関数は、積分の下限を変化させることによって得られます。$${\displaystyle \Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$$同様の不完全ガンマ関数も存在する。
• ガンマ関数は、オイラーのベータ関数と次の式で関係付けられる。$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• ガンマ関数の対数微分はディガンマ関数と呼ばれ、より高次の微分はポリガンマ関数と呼ばれます。
• 有限体または有限環上のガンマ関数の類似物は、指数和の一種であるガウス和である。
• 逆ガンマ関数は整関数であり、特定の研究テーマとして研究されてきた。
• ガンマ関数は、リーマンゼータ関数との重要な関係にも現れる。${\displaystyle \zeta (z)}$⁠ .$${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$また、以下の式にも登場します。$${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$これは、${\displaystyle \Re (z)>1}$⁠ .
  ガンマ関数の対数は、レルヒによって以下の式を満たす。$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$どこ${\displaystyle \zeta _{H}}$はフルヴィッツゼータ関数です。${\displaystyle \zeta }$はリーマンゼータ関数であり、プライム記号（′）は最初の変数に関する微分を表します。
• ガンマ関数は、伸長指数関数と関連しています。例えば、その関数のモーメントは次のようになります。$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

小数点以下20桁までを含めたガンマ関数の具体的な値には、以下のようなものがあります。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)&=&{\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\[6pt]\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\[6pt]\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\[6pt]\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\[6pt]\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)&=&{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\[6pt]\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\[6pt]\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)&=&{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\[6pt]\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\[6pt]\Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\[6pt]\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$（これらの数値はOEISに記載されています。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}ここで示されている値は、丸められた値ではなく切り捨てられた値です。）複素数値のガンマ関数は非正の整数に対しては定義されていませんが、これらの場合、値はリーマン球面で次のように定義できます。${\displaystyle \infty }$逆ガンマ関数は、これらの値（および複素平面全体）において明確に定義され、解析的です。$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$