アーリヤバタ

「 bhatta 」という接尾辞を持つ他の名前との類推から、彼の名前を「Aryabhatta」と誤って綴る傾向があるが、彼の名前は正しくは Aryabhata と綴られる。すべての天文学文献は彼の名前をこのように綴っており、^{[ 9 ]}ブラフマグプタも「100 箇所以上で名前を挙げて」彼に言及している。^{[ 1 ]}さらに、ほとんどの場合、「Aryabhatta」では韻律にも合わない。^{[ 9 ]}

アーリヤバタは『アーリヤバティーヤ』の中で、カリ・ユガの3600年目に23歳だったと述べているが、これはその時期にこのテキストが書かれたという意味ではない。この年は西暦499 年に相当し、彼が476年に生まれたことを示唆している。^{[ 6 ]}アーリヤバタは自身をクスマプラまたはパタリプトラ（現在のビハール州パトナ近郊）の出身者と呼んだ。^{[ 1 ]}

彼が高度な研究のためにクスマプラに行き、しばらくそこに住んでいたことはほぼ確実である。^{[ 14 ]}ヒンドゥー教と仏教の伝統、そしてバースカラ1世（西暦629年）は、クスマプラを現代のパトナであるパー​​タリプトラと同一視している。^{[ 9 ]}ある詩句では、アーリヤバタがクスマプラの機関（クラパ）の長であったと述べられており、当時ナーランダー大学がパータリプトラにあったことから、アーリヤバタはナーランダー大学の長でもあったのではないかと推測されている。 ^{[ 9 ]}しかし、アーリヤバタとナーランダーの関係は「推測」とされており、彼自身は著作の中でナーランダーを後援者と宣言したことはなく、当時のナーランダーの名声を考えると、彼とナーランダーの関係はありそうもない。^{[ 15 ]}ナーランダーがかつてクシャマプラ/パタリプトラにあったという主張も証明できない。^{[ 16 ]}アーリヤバタはビハール州タレガナの太陽神殿に天文台を設置したとも言われている。^{[ 17 ]}

アーリヤバタの著作の直接的な詳細は、アーリヤバティーヤからのみ知られています。「アーリヤバティーヤ」という名前は、後世の注釈者によるものです。アーリヤバタ自身は名前を付けていなかったかもしれません。^{[ 8 ]}彼の弟子であるバースカラ1世は、これをアシュマカタントラ（またはアシュマカからの論文）と呼んでいます。また、本文に108の詩句があることから、アーリヤシャタスアシュタ（文字通り、アーリヤバタの108）と呼ばれることもあります。^{[ 20 ] [ 8 ]}これは、複雑な体系を記憶するための各行が助けとなる、スートラ文学に典型的な非常に簡潔なスタイルで書かれています。したがって、意味の解説は注釈者に委ねられています。本文は108の詩句と13の序詩句からなり、4つのパーダ（章）に分かれています。

1. ギティカパダ（13節）：カルパ、マンヴァントラ、ユガといった大きな時間単位が用いられており、ラガダのヴェーダンガ・ジョーティシャ（紀元前1世紀頃）などの初期の文献とは異なる宇宙論が提示されている。また、正弦（ジャ）の表が1節で示されている。マハーユガにおける惑星の公転周期は432万年とされている。
2. ガニタパダ（33節）：測定（kṣetra vyāvahāra）、等差数列と等比数列、日時計/影（shanku - chhAyA）、単純方程式、二次方程式、連立方程式、不定方程式（kuṭṭaka）を扱っています。^{[ 19 ]}
3. カラクリヤパダ（25節）：異なる時間の単位と特定の日における惑星の位置を決定する方法、閏月（adhikamAsa）に関する計算、kShaya-tithi、および曜日の名前が付いた7日間の週。^{[ 19 ]}
4. ゴラパダ（50節）：天球の幾何学的／三角法的な側面、黄道の特徴、天の赤道、昇交点、地球の形、昼と夜の原因、地平線上の黄道十二星座の昇り方など^{[ 19 ]。}さらに、いくつかのバージョンでは、作品の美徳などを称えるいくつかの奥付が最後に追加されたとされている^{[ 19 ]。}

アーリヤバティーヤは、数学と天文学における数々の革新を詩の形で提示しており、それは何世紀にもわたって影響を与えた。その極めて簡潔なテキストは、弟子のバースカラ1世（『バーシャ』、紀元 600 年頃）とニラカンタ・ソマヤージによる『アーリヤバティーヤ・バーシャ』 （ 紀元1465年）の注釈で詳しく解説されている。^{[ 20 ] [ 19 ]}

アーリヤバティーヤは、運動の相対性についての記述でもよく知られています。彼はこの相対性を次のように表現しました。「前進するボートに乗っている人が、岸辺にある静止した物体が後退しているように見えるのと同様に、地上にいる人々から見ると、静止している星は正確に西に向かって動いているように見える。」^{[ 8 ]}

3世紀のバクシャリ写本に初めて登場した位取り記数法は、彼の著作にも明らかに存在していた。彼はゼロを表す記号は使用しなかったが、フランスの数学者ジョルジュ・イフラは、ゼロの知識はゼロ係数を持つ10のべき乗の位取り記号としてアーリヤバタの位取り記数法に暗黙のうちに含まれていたと主張している。^{[ 21 ]}

しかし、アーリヤバタはブラーフミー数字を使用しませんでした。ヴェーダ時代からのサンスクリット語の伝統を受け継ぎ、アルファベットの文字を使用して数を表し、正弦表を記憶術の形で表現しました。^{[ 22 ]}

アーリヤバタは円周率（π）の近似値について研究し、πは無理数であるという結論に達した可能性がある。アーリヤバティヤムの第二部（ガニタパーダ10）で、彼は次のように記している。

caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ。

「100に4を加え、8を掛け、さらに62,000を加える。この規則により、直径20,000の円の円周を近似することができる。」^{[ 23 ]}

これは、直径が20,000の円の場合、円周は6,832になることを意味します。

つまり、 ${\displaystyle \pi }$=${\displaystyle 62,832 \over 20,000}$= ${\displaystyle 3.1416}$これは100万分の2の精度である。^{[ 24 ]}

アーリヤバタは、 āsanna （近づく）という言葉を使って、これは近似値であるだけでなく、その値が比較不可能（または無理数）であることを意味したのではないかと推測されている。これが正しいとすれば、それは非常に洗練された洞察である。なぜなら、円周率（π）の無理数は、ヨーロッパでは1761年にランバートによって初めて証明されたからである。^{[ 25 ]}

『アーリヤバティーヤ』がアラビア語に翻訳された後（紀元 820 年頃）、この近似値はアル・フワーリズミーの代数学の書物の中で言及された。^{[ 10 ]}

Ganitapada 6 では、アリヤバータは三角形の面積を次のように与えています。

tribhujasya phalaśarīraṁ samalakoṭī bhujārdhasaṃvargaḥ

つまり、「三角形の場合、辺の半分に垂線を引いた結果が面積になる」ということである。^{[ 26 ]}

アーリヤバタは、彼の著作の中で、文字通り「半弦」を意味するardha-jyaという名前で正弦の概念について論じた。人々はそれを簡単にするためにjyaと呼ぶようになった。アラビア語の著述家が彼の著作をサンスクリット語からアラビア語に翻訳したとき、彼らはそれをjibaと呼んだ。しかし、アラビア語の著作では母音が省略され、jbと略された。後の著述家はそれをjaibに置き換えた。jaibは「ポケット」または「（衣服の）折り目」を意味する。（アラビア語ではjibaは意味のない単語である。）12世紀後半、クレモナのゲラルドがこれらの著作をアラビア語からラテン語に翻訳したとき、彼はアラビア語のjaibをラテン語の対応するsinusに置き換えた。sinusは「入り江」または「湾」を意味する。そこから英語のsineという単語が生まれた。^{[ 27 ]}

アーリヤバタは、彼の著作の中で、正弦関数に関する以下の公式を用いている。

• sin(π/2+x)=sinπ/2-versinx
• sin(π+x)=sinπ/2-versinπ/2-sinxsl
• sin(3π/2+x)=sinπ/2-versinπ/2-sinπ/2+versinx ^{[ 28 ]}

関数versinが廃止されたため、これらの式はもはや使用されていません。

古代からインドの数学者にとって大きな関心事であった問題は、ax + by = c の形をしたディオファントス方程式の整数解を見つけることであった。 ^{[ 29 ]} （この問題は古代中国の数学でも研究されており、その解は通常、中国剰余定理と呼ばれている。）これは、バースカラの『アーリヤバティーヤ』の注釈からの例である。

8で割ると余りが5、9で割ると余りが4、7で割ると余りが1になる数を求めなさい。

つまり、N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1 を求めます。N の最小値は 85 であることがわかります。一般に、このようなディオファントス方程式は非常に難しいことで知られています。これらは、紀元前 800 年頃に遡る可能性のある古代ヴェーダの文献Sulba Sutras で広く議論されています。このような問題を解くためのアーリヤバタの方法 (西暦 621 年にバースカラによって詳細化)は、 kuṭṭaka (कुट्टक) 法 と呼ばれています。Kuṭṭakaは「粉砕する」または「小さな断片に分割する」という意味で、この方法は、元の因数を小さな数で書き出す再帰アルゴリズムを含みます。このアルゴリズムはインド数学における一階ディオファントス方程式を解くための標準的な方法となり、当初は代数学の分野全体がkuṭṭaka-gaṇitaまたは単にkuṭṭakaと呼ばれていました。^{[ 30 ]}

アリヤバータは、『Aryabhatiya』で、一連の正方形と立方体の合計の洗練された結果を提供しました。 ^{[ 31 ]}

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

そして

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$（平方三角数を参照）

アーリヤバタは『アーリヤバティーヤ』の中で、地球は丸く、毎日自転しており、星の見かけ上の動きは地球の自転によって引き起こされる相対運動であると正しく述べており、当時主流だった「空が回転する」という見解とは正反対である。^{[ 24 ] [ 34 ]： 30}これは『アーリヤバティーヤ』の第1章で示されており、そこで彼は1ユガにおける地球の自転回数を述べている^{[ 35 ]。}また、彼のゴーラ章ではさらに明確にしている。 ^{[ 36 ]}

前進する船に乗っている人が、動かない物体が後退しているように見えるのと同じように、赤道上にいる人は、動かない星々が一様に西へ移動しているように見える。星が昇ったり沈んだりする原因は、星々の球体と惑星が、宇宙風によって絶えず押され、赤道で真西に回転しているからである。

アーリヤバタは、太陽と月がそれぞれ周転円によって運ばれるという太陽系の地球中心モデルを説明した。それらは地球の周りを公転する。パイターマハシッダーンタ（紀元425年頃）にも見られるこのモデルでは、惑星の運動はそれぞれ2つの周転円、小さいマンダ（遅い）と大きいシーグラ（速い）によって支配されている。^{[ 37 ]}地球からの距離による惑星の順序は、月、水星、金星、太陽、火星、木星、土星、および星群とされている。^{[ 10 ]}  

惑星の位置と周期は、一様に動く点を基準として計算された。水星と金星の場合、それらは太陽と同じ平均速度で地球の周りを回る。火星、木星、土星の場合、それらは黄道帯を通る各惑星の動きを表す特定の速度で地球の周りを回る。ほとんどの天文学史家は、この2つの周転円モデルがプトレマイオス朝以前のギリシャ天文学の要素を反映していると考えている。^{[ 38 ]}アーリヤバタのモデルのもう1つの要素である、太陽に対する惑星の基本周期であるシーグロッカは、一部の歴史家によって、根底にある太陽中心説の兆候と見なされている。^{[ 39 ]}

日食と月食は、アーリヤバタによって科学的に説明されました。彼は、月と惑星は反射した太陽光によって輝いていると述べています。日食と月食はラーフとケートゥ（擬似惑星月交点として特定される）によって引き起こされるという当時の宇宙論とは異なり、彼は地球によって作られ、地球に落ちる影によって日食と月食を説明します。したがって、月食は月が地球の影に入るときに起こります（gola.37節）。彼は地球の影の大きさと範囲について詳しく論じ（gola.38～48節）、その後、日食の際に日食される部分の大きさを計算して示しています。後のインドの天文学者たちは計算を改良しましたが、アーリヤバタの方法がその核心を提供しました。彼の計算パラダイムは非常に正確で、18世紀の科学者ギヨーム・ル・ジャンティルは、インドのポンディシェリを訪れた際に、 1765年8月30日の月食 の継続時間に関するインド側の計算が41秒短いのに対し、彼の図表（トビアス・マイヤー、1752年）は68秒長いことを発見した。^{[ 10 ]}

現代の英語の時間単位で考えると、アーリヤバタは恒星回転（恒星を基準とした地球の自転）を23時間56分4.1秒と計算しました。^{[ 40 ]}現代の値は23:56:4.091です。同様に、恒星年の長さに関する彼の値365日6時間12分30秒（365.25858日）^{[ 41 ]}は、1年の長さ（365.25636日）に対して3分20秒の誤差があります。^{[ 42 ]}

前述のように、アーリヤバタは地球が自転するという天文学モデルを提唱しました。彼のモデルでは、太陽の平均速度に基づいて、空にある惑星の速度に対する補正（シーグラ異常）も示されました。そのため、アーリヤバタの計算は、惑星が太陽の周りを公転するという地動説モデルに基づいていたと示唆されていますが、[43][44][45] これは反駁されています。[46] また、アーリヤバタの体系の一部は、インドの天文学^{者が知らなかった、おそらくプトレマイオス朝}以前^{のギリシャの}地動説モデルから派生した可能性があるとも示唆されていますが、 [ ^{47 ]証拠}は乏しいです。^{[ 48 ]}一般的な見解としては、会合異常（太陽の位置によって異なる）は物理的に太陽中心軌道を意味するものではなく（そのような補正は後期バビロニアの天文学文献にも見られる）、アーリヤバタの体系は明示的に太陽中心ではなかったということである。^{[ 49 ] [ 50 ]}

• クック、ロジャー（1997）。数学史：入門コース。ワイリー・インターサイエンス。ISBN 0-471-18082-3。
• クラーク、ウォルター・ユージン（1930）。『アーリヤバタのアーリヤバティーヤ：古代インドの数学と天文学に関する著作』シカゴ大学出版局；復刻版：ケシンガー出版（2006）。ISBN 978-1-4254-8599-3。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• カク、スバシュ・C. (2000). 「インド天文学の誕生と初期発展」。セリン、ヘレイン編 (2000) 『異文化における天文学：非西洋天文学の歴史』所収。ボストン：クルーワー。ISBN 0-7923-6363-9。{{cite encyclopedia}}: CS1メンテナンス: パブリッシャーの場所 (リンク)
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