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ブノワ・B・マンデルブロ[ a ] [ b ]（1924年11月20日 - 2010年10月14日）は、ポーランド生まれのフランス系アメリカ人の数学者であり、博学者で、実用科学全般、特に物理現象の「粗さの芸術」や「人生における制御不能な要素」に関心を持っていた。[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]彼は自らを「フラクタル主義者」と称し[ 9 ] 、フラクタル幾何学の分野への貢献で知られており、「フラクタル」という言葉を造語したことや、自然界における「粗さと自己相似性」の理論を発展させたことなどが挙げられる。[ 10 ]
1936年、11歳の時、マンデルブロは家族とともにポーランドのワルシャワからフランスに移住した。第二次世界大戦終結後、マンデルブロは数学を学び、パリとアメリカの大学を卒業し、カリフォルニア工科大学で航空学の修士号を取得した。彼はフランスとアメリカの二重国籍を持ち、キャリアのほとんどをアメリカとフランスで過ごした。1958年、彼はIBMで35年間のキャリアをスタートさせ、 IBMフェローとなり、定期的に休職してハーバード大学で教鞭を執った。ハーバード大学では、綿花先物に関連するアメリカの商品市場に関する研究を発表した後、経済学と応用科学を教えた。
IBMのコンピュータにアクセスできたため、マンデルブロはコンピュータグラフィックスを使用してフラクタル幾何学画像を作成および表示した最初の人物の一人であり、 1979年から1980年にかけてマンデルブロ集合を発見しました。彼は、単純なルールから視覚的な複雑さがどのように生成されるかを示しました。彼は、雲や海岸線など、一般的に「粗い」、「混乱している」、「混沌としている」と考えられているものにも、実際には「ある程度の秩序」があると述べました。[ 11 ]彼の数学と幾何学を中心とした研究は、統計物理学、気象学、水文学、地形学、解剖学、分類学、神経学、言語学、情報技術、コンピュータグラフィックス、経済学、地質学、医学、物理宇宙論、工学、カオス理論、経済物理学、冶金学、社会科学などの分野への貢献を含んでいます。[ 12 ]
晩年、彼はイェール大学の数学科学スターリング教授を務め、イェール大学史上最年長で終身在職権を得た教授となった。[ 13 ] マンデルブロはまた、太平洋岸北西部国立研究所、リール・ノール・ド・フランス大学、高等研究所、国立科学研究センターでも職を務めた。キャリアを通じて、彼は15以上の名誉博士号を授与され、多くの科学雑誌に寄稿し、数々の賞を受賞した。彼の自伝『フラクタル主義者：科学的異端児の回想録』は、2012年に死後出版された。
ベネディクト・マンデルブロ[ 15 ]は、ポーランド第二共和国時代にワルシャワでリトアニア系ユダヤ人の家庭に生まれた[ 16 ]。父親は衣料品の貿易で生計を立てており、母親は歯科医だった。最初の2年間は、暗記学習を嫌う叔父から個人指導を受けていた。「私の時間のほとんどは、チェスをしたり、地図を読んだり、周囲のあらゆるものに目を向ける方法を学んだりすることに費やされた」[ 17 ]。
1936年、彼が11歳の時、一家はポーランドからフランスに移住した。この移住、第二次世界大戦、そして父の兄弟で数学者のショレム・マンデルブロイト（1920年頃にパリに移住していた）の影響により、彼は標準的な教育を受けることができなかった。「両親が経済的、政治的な難民としてフランスでショレムと合流したことが、私たちの命を救った」と彼は書いている。[ 9 ]： 17 [ 18 ]
マンデルブロは第二次世界大戦が始まるまでパリのリセ・ロラン（現在のジャック・デクール・カレッジ）に通い、その後家族はフランスのチュールに移り住み、そこでリセ・エドモン・ペリエに入学した。ブリーヴ・ラ・ガイヤルドのラビ、ダヴィッド・フォイエルヴェルカーの助けを借りて学業を続けた。[ 9 ] : 62–63 [ 19 ]当時フランスの大部分はナチスに占領されており、マンデルブロはこの時期を回想している。
我々が常に恐れていたのは、決意の固い敵が当局に我々を密告し、我々が死刑に処されるかもしれないということだった。パリ出身の親友、近隣の郡庁所在地で医師をしていたジーナ・モランジュに実際にそれが起こった。単に競争相手を排除するためだけに、別の医師が彼女を密告したのだ …。我々はこの運命を免れた。なぜかは誰にもわからない。[ 9 ]： 49
1944年、マンデルブロはパリに戻り、リヨンのパルク高校で学び、1945年から1947年にかけて名門エコール・ポリテクニークに通い、フランスの数学者ガストン・ジュリアとポール・レヴィに師事した。1947年から1949年にかけてカリフォルニア工科大学で学び、航空学の修士号を取得した。[ 2 ]フランスに戻った彼は、1952年にパリ大学で数学の博士号を取得した。 [ 17 ]
1949年から1958年まで、マンデルブロは国立科学研究センターの職員であった。この間、彼はニュージャージー州プリンストンの高等研究所で1年間過ごし、そこでジョン・フォン・ノイマンの支援を受けた。1955年にアリエット・ケーガンと結婚し、スイスのジュネーブに移り（国際遺伝認識論センターでジャン・ピアジェと共同研究するため）、その後リール北フランス大学に移った。[ 20 ] 1958年、夫妻は米国に移り、マンデルブロはニューヨーク州ヨークタウンハイツのIBMトーマス・J・ワトソン研究所の研究員に加わった。[ 20 ]彼はIBMに35年間在籍し、IBMフェロー、後に名誉フェローとなった。[ 17 ]
1951年以降、マンデルブロは数学だけでなく、情報理論、経済学、流体力学といった応用分野の問題にも取り組み、論文を発表した。
マンデルブロは金融市場を、集中と長距離依存性を特徴とする「ワイルドなランダム性」の一例として捉えました。彼は金融変動をモデル化するためのいくつかの独創的なアプローチを開発しました。[ 21 ]初期の研究では、金融市場の価格変動はガウス分布に従わず、むしろ無限の分散を持つレヴィ安定分布に従うことを発見しました。たとえば、綿花の価格は、ガウス分布のようにパラメータαが2ではなく1.7のレヴィ安定分布に従うことを発見しました。「安定」分布は、ランダム変数の多くのインスタンスの合計が同じ分布に従うが、より大きなスケールパラメータを持つという性質を持っています。[ 22 ] 1960年代初頭の後半の研究は、彼が「フラクタル」という言葉を導入するずっと前の1900年の綿花価格の日次データを使用して行われました。後年、フラクタルの概念が成熟した後、金融における高頻度データが利用可能になって初めて、フラクタルの文脈で金融市場を研究することが可能になりました。
1980年代後半、マンデルブロはチューリッヒのオルセン＆アソシエイツから提供された日中ティックデータ[ 23 ] [ 24 ]を使用して、フラクタル理論を市場のミクロ構造に適用しました。この協力により、金融におけるスケーリング法則に関する最初の包括的な論文が発表されました[ 25 ] [ 26 ]。この法則は異なる時間スケールで同様の特性を示し、市場のミクロ構造のフラクタル性に関するマンデルブロの洞察を裏付けています。この分野におけるマンデルブロ自身の研究は、彼の著書『金融におけるフラクタルとスケーリング』[ 27 ]および『市場の（誤った）振る舞い』[ 28 ]に紹介されています。
ハーバード大学の客員教授として、マンデルブロは複素平面上の特定の変換に対して不変なジュリア集合と呼ばれる数学的対象の研究を始めた。ガストン・ジュリアとピエール・ファトゥーの先行研究に基づき、マンデルブロはコンピュータを用いてジュリア集合の画像を描画した。これらのジュリア集合の位相構造を研究する中で、彼はマンデルブロ集合を研究し、 1979年末にその可視化を開始し、1980年に初めて論文を発表した。
1975年、マンデルブロはこれらの構造を記述するために「フラクタル」という用語を作り出し、そのアイデアをフランス語の著書『フラクタルの物体：形、偶然、次元』（Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension ）で初めて発表した。この本は後に1977年に『フラクタル：形、偶然、次元』（Fractals: Form, Chance and Dimension ）として翻訳された。[ 29 ]コンピュータ科学者で物理学者のスティーブン・ウルフラムによれば、この本はマンデルブロにとって「画期的な」ものであり、それまで彼は「これまで本格的な数学の光をほとんど浴びたことのない分野に、かなり単純な数学を適用する」のが常だったという。[ 11 ]ウルフラムは、この新しい研究の結果、マンデルブロはもはや「放浪の科学者」ではなくなり、後に彼を「フラクタルの父」と呼んだと付け加えている。
マンデルブロは最終的に素晴らしい科学的業績を残し、より強力で根本的なアイデアを特定しました。簡単に言えば、彼が「フラクタル」と呼んだ幾何学的形状の中には、あらゆるスケールで同じように「粗い」ものがあるということです。どれだけ近づいて見ても、それらは決して単純化されません。足元に見える岩だらけの海岸線の一部が、宇宙から見える海岸線と同じくらいギザギザに見えるのと同じです。[ 11 ]
ウルフラムはフラクタルを幾何学的反復の一形態として簡潔に説明し、「パターンのより小さなコピーが次々と入れ子状に配置され、全体をどれだけ拡大しても、同じ複雑な形状が現れる。シダの葉とロマネスクブロッコリーは自然界の2つの例である」と述べている。[ 11 ]彼は意外な結論を指摘している。
このような単純で基本的な規則性は、何百年、いや何千年も研究されてきたと思われがちだが、そうではなかった。実際、この規則性が注目を集めるようになったのは、ここ30年ほどのことで、ほぼ完全に数学者ブノワ・マンデルブロという一人の人物の努力によるものだった。[ 11 ]
マンデルブロは「フラクタル」という用語を、ラテン語の「fractus」（割れたガラス、粉々になったガラス）に由来するものとして用いた。新たに開発されたIBMコンピュータを自由に使えるようになったマンデルブロは、グラフィックスコンピュータコードを使ってフラクタル画像を作成することができた。あるインタビュアーは、その画像を「1960年代のサイケデリックアートの陶酔的な奔放さと、自然や人体を不気味に連想させる形」のようだと評した。彼はまた、惑星の軌道を計算し記述した17世紀の科学者ヨハネス・ケプラーにちなんで、自らを「ケプラーになろうとする者」と見なしていた。[ 30 ]
しかし、マンデルブロ自身は、自分が新しいアイデアを発明しているとは決して感じていなかった。彼は科学ライターのアーサー・C・クラークとのドキュメンタリーの中で、その気持ちを次のように語っている。
このセットを探求しているとき、私は決して発明をしているという感覚を抱きませんでした。発見したこれらの並外れたものをすべて発明できるほど、自分の想像力が豊かだという感覚も全くありませんでした。誰も見たことがなかったにもかかわらず、それらはそこに存在していました。非常に単純な公式が、これらの非常に複雑なものをすべて説明できるというのは素晴らしいことです。つまり、科学の目標は、混乱から出発して、それを単純な公式で説明することであり、科学の夢のようなものです。[ 31 ]
クラークによれば、「マンデルブロ集合は、数学の歴史全体において最も驚くべき発見の一つである。これほど単純な方程式が、文字通り無限の複雑さを持つ画像を生み出すことができるとは、誰が想像できただろうか？」クラークはまた、「奇妙な偶然」にも言及している。
マンデルブロという名前と、宗教的なシンボルである「マンダラ」という言葉は、きっと全くの偶然でしょうが、確かにマンデルブロ集合には膨大な数のマンダラが含まれているようです。[ 31 ]
1982年、マンデルブロは『自然のフラクタル幾何学』で自身の考えを拡張し、更新した。[ 32 ]この影響力のある著作は、フラクタルを専門的および一般向けの数学の主流に押し上げ、フラクタルを「プログラムの産物」として退けていた批判者たちを黙らせた。
1987年、マンデルブロはイェール大学の数学科に加わり、1993年にフェローシップが終了するまでIBMフェローとして活動を続けた。[ 33 ]彼はイェール大学の数学科に加わり、75歳だった1999年に初めて終身在職権を得た。 [ 34 ]彼は同僚のマイケル・フレームをイェール大学に招き、彼と共同で様々な論文を発表した。[ 35 ] 2005年にマンデルブロが退職した時点では、彼は数学科学のスターリング教授であった。
マンデルブロは史上初の「粗さの理論」を創り出し、山、海岸線、河川流域の形状、植物、血管、肺の構造、銀河の集まりの中に「粗さ」を見出した。彼の個人的な探求は、自然界のそのような物体の全体的な「粗さ」を測定する数学的公式を作り出すことであった。[ 9 ]： xi彼はまず、自然に関連するさまざまな種類の質問を自分自身に問いかけることから始めた。
幾何学は、その名のギリシャ語の語源[geo-]が約束しているように思われるもの、すなわちナイル川沿いの耕作地だけでなく、未開の地の正確な計測を実現できるのだろうか？[ 9 ]： xii
1967年にサイエンス誌に掲載された論文「英国の海岸線はどれくらい長いか？統計的自己相似性とフラクタル次元」の中で、マンデルブロはハウスドルフ次元を持つ自己相似曲線について論じており、これらはフラクタルの例である。ただし、マンデルブロはこの論文ではこの用語を使用しておらず、1975年までこの用語を造語していなかった。この論文は、フラクタルに関するマンデルブロの最初の出版物の1つである。[ 36 ] [ 37 ]
マンデルブロは、現実世界の多くの「粗い」現象を記述するための現実的で有用なモデルとしてフラクタルの使用を強調した。彼は「実際の粗さはしばしばフラクタルであり、測定可能である」と結論付けた。[ 9 ]： 296マンデルブロは「フラクタル」という用語を造語したが、『自然のフラクタル幾何学』で彼が提示した数学的対象のいくつかは、以前に他の数学者によって記述されていた。しかし、マンデルブロ以前は、それらは不自然で直感に反する性質を持つ孤立した奇妙なものと見なされていた。マンデルブロはこれらの対象を初めてまとめ、現実世界の滑らかでない「粗い」対象を説明するために科学の範囲を拡張するという、長らく停滞していた取り組みに不可欠なツールに変えた。彼の研究方法は、古くもあり新しくもあった。
私がますます好むようになった幾何学の形態は、最も古く、最も具体的で、最も包括的なものであり、特に目によって力づけられ、手によって助けられ、そして今日ではコンピューターによっても助けられ、認識と感覚の世界に統一の要素をもたらし、そして意図せずして、美を創造するという目的にも役立つ。[ 9 ]： 292
フラクタルは、音楽、絵画、建築、金融分野など、人間の営みの中にも見られます。マンデルブロは、フラクタルは不自然なものではなく、多くの点で、従来のユークリッド幾何学の人工的に滑らかな物体よりも直感的で自然であると信じていました。
雲は球体ではなく、山は円錐ではなく、海岸線は円形ではなく、樹皮は滑らかではなく、稲妻も直線を描いて進むわけではない。――マンデルブロ、 『自然のフラクタル幾何学』序文より
マンデルブロは、芸術家、先見の明のある人物[ 38 ]、そして異端児[ 39 ]と呼ばれてきた。彼の気取らない情熱的な文体と、視覚的および幾何学的直観を重視した点（多数の図版の挿入によって裏付けられている）により、『自然のフラクタル幾何学』は専門家以外の人にも理解しやすいものとなった。この本はフラクタルに対する幅広い一般の関心を呼び起こし、カオス理論やその他の科学および数学の分野に貢献した。
マンデルブロは宇宙論にも自身の考えを応用した。1974年にオルバースのパラドックス（「暗い夜空」の謎）に対する新たな説明を提示し、フラクタル理論の帰結がパラドックスの十分ではあるが必然的ではない解決策であることを示した。彼は、宇宙の星がフラクタル的に分布している場合（例えば、カントールダストのように）、パラドックスを説明するためにビッグバン理論に頼る必要はないと仮定した。彼のモデルはビッグバンを否定するものではなく、ビッグバンが起こらなかったとしても暗い夜空が存在することを可能にするものであった。[ 40 ]
マンデルブロの受賞歴には、1993年のウルフ賞物理学部門、 2000年の欧州地球物理学会のルイス・フライ・リチャードソン賞、 2003年の日本国際賞[ 41 ] 、2006年のアメリカ数学会のアインシュタイン記念講演などがある。
小惑星27500マンデルブロは、彼にちなんで名付けられました。1990年11月、彼はフランスのレジオンドヌール勲章シュヴァリエを授与されました。2005年12月、マンデルブロは太平洋岸北西部国立研究所のバテル・フェローに任命されました。 [ 42 ]マンデルブロは2006年1月にレジオンドヌール勲章オフィシエに昇格しました。[ 43 ] 2010年5月の卒業式で、ジョンズ・ホプキンス大学から名誉学位が授与されました。[ 44 ]
マンデルブロが受賞した賞の一部リスト：[ 45 ]
マンデルブロは2010年10月14日、マサチューセッツ州ケンブリッジのホスピスで膵臓癌のため85歳で死去した。 [ 1 ] [ 51 ]彼の死の知らせを受けて、数学者のハインツ＝オットー・パイトゲンは次のように述べた。「数学内部の影響や科学への応用について言えば、彼は過去50年間で最も重要な人物の一人である。」[ 1 ]
TEDカンファレンスのキュレーターであるクリス・アンダーソンは、マンデルブロを「世界の見方を変えた象徴」と評した。[ 52 ] マンデルブロの死去当時フランス大統領だったニコラ・サルコジは、マンデルブロは「革新と既成概念の打破を決してためらわない、力強く独創的な頭脳の持ち主だった。主流の研究とは全く異なる彼の研究は、現代の情報理論につながった」と主張した。[ 53 ]エコノミスト誌のマンデルブロの訃報記事は、彼が「学界を超えた有名人」として名声を得ていたことを指摘し、「フラクタル幾何学の父」として彼を称賛している。[ 54 ]
ベストセラーエッセイスト兼作家のナシーム・ニコラス・タレブは、マンデルブロの著書『市場の（誤った）振る舞い』は「これまで出版された中で最も深遠で現実的な金融の本」だと述べている。[ 10 ]
インディーズ音楽界の風刺家、ジョナサン・コルトンの楽曲「マンデルブロ集合」は、マンデルブロに捧げられたもので、楽曲リリース当時、マンデルブロは「まだ存命で、イェール大学で数学を教えている」。この曲には、混沌の中から秩序が生まれるという概念やイメージが取り入れられている。
マンデルブロ集合、君は燃え盛るロールシャッハテスト君は蛍光色のプテロダクティル君はバネとワイヤーでできたハート型の箱君は最高にイカしたフラクタルそして君はまさに救世主僕たちの恐怖を一掃してくれる君はほんの少しだけ世界を変えることができる[ 55 ]
（マンデルブロ集合）の歌のプレコーラスでは、マンデルブロ集合ではない数式が説明されているが、これに対してコルトンは「もし君たちの中に数学者がいて、後で私のところにやってきて、その数式は正しくない、私が実際に説明したのはマンデルブロ集合ではなくジュリア集合だと指摘しようと待ち構えているなら、私はもうそんなことは知っている」と述べている。[ 56 ]
マンデルブロはエプスタイン文書に登場する。フロリダでの最初の判決から2年も経たないうちに、エプスタインは電子メールのやり取りでマンデルブロの論文に5万ドルを提示した。マンデルブロは最終的に健康状態の悪化を理由に論文の売却を延期した。2010年9月12日にケンブリッジで会合が予定されていた。また、2人はエプスタインのニューヨーク市の自宅で一緒に写真に写っている。[ 57 ]
マンデルブロ博士は、フラクタルの研究のきっかけを、若い研究者時代に初めて遭遇した疑問、「イギリスの海岸線の長さはどれくらいか？」に遡った。
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