このグラフは、指数関数的成長（緑色）が最終的に線形成長（赤色）と三次成長（青色）の両方を上回る様子を示しています。 線形成長
指数関数的成長
指数関数的成長 とは、ある量が時間の指数関数として増加する現象です。その量は、現在の量に 正比例する 速度で増加します。例えば、現在の量の3倍になったとき、その量は現在の量の3倍の速さで増加することになります。
より専門的な言葉で言えば、独立変数に関する量の瞬間的な変化率 （つまり導関数 ）は、その量自体に比例します。多くの場合、独立変数は時間です。 関数 として記述すると、指数関数的に増加する量は時間の指数関数であり、つまり、時間を表す変数が指数になります（ 二次関数的増加 などの他のタイプの増加とは対照的です）。指数関数的増加は対数的増加 の逆 です。
「指数関数的成長」といった用語は、「急速な成長」と誤って解釈されることがあります。実際、指数関数的に成長するものは、最初はゆっくりと成長している場合もあります。[ 1 ] [ 2 ] f （ x ） = x 3 {\textstyle f(x)=x^{3}} x = 1 、 {\textstyle x=1,} x = 10 {\textstyle x=10} 階乗関数 や二重指数関数 などです。
比例定数が負の場合、量は時間とともに減少し、指数関数的減衰 を起こしていると言われます。定義域が等間隔の離散領域 の場合、関数値が等比数列を形成するため、 幾何級数的増加 または幾何級数的減衰 とも呼ばれます。
離散的な間隔（つまり、整数時間 0、1、2、3、…）で時間 t が経過するにつれて、成長率r で変数 x が指数関数的に増加する式は次のようになります。
x t = x 0 （ 1 + r ） t {\displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}
ここで、x 0 は時刻 0 におけるx の値です。細菌 コロニー の成長は、これを説明するためによく用いられます。1 つの細菌が 2 つに分裂し、それぞれがさらに分裂して 4 つ、次に 8 つ、16 つ、32 つ、といった具合に増えていきます。増加量は、増え続ける細菌の数に比例するため、増え続けます。このような成長は、ウイルス感染の拡大、複利による負債の増加、 バイラル動画 の拡散など、現実の活動や現象で観察されます。実際のケースでは、初期の指数関数的成長は永遠に続くことはなく、外部要因による上限のために最終的には減速し、ロジスティック成長 に変わります。
例 細菌は最適な条件下では指数関数的に増殖する。
生物学 培養液 中の微生物 の数は、必須栄養素が枯渇し、それ以上微生物が増殖するための栄養素がなくなるまで指数関数的に増加します。通常、最初の微生物は2つの娘微生物に分裂し 、それぞれが4つに分裂し、さらに8つに分裂し、以下同様に続きます。指数関数的成長は一定の成長率を示すため、指数関数的に成長している細胞は定常状態にあると仮定されることがよくあります。しかし、細胞は代謝と遺伝子発現を再構築しながら一定の速度で指数関数的に成長することができます。[ 3 ] ウイルス（例えばCOVID-19 や天然痘）は、人工的な 免疫が 利用できない場合、最初は指数関数的に広がるのが一般的です。感染した人はそれぞれ複数の新しい人に感染させる可能性があります。[ 4 ]
物理科学 サイクロンやハリケーンによる風害は風速に比例して指数関数的に変化するため、風速がわずかに増加するだけでも被害が劇的に増加する可能性がある。[ 5 ]
経済 経済成長はパーセンテージで表され、指数関数的な成長を意味する。
コンピュータサイエンス 処理能力。 ムーアの法則 と技術的特異点 も参照のこと。（指数関数的成長においては特異点は存在しない。ここでいう特異点は比喩であり、想像を絶する未来を暗示するものである。この仮説的な概念と指数関数的成長との関連性を最も強く主張しているのは、未来学者のレイ・カーツワイル である。）計算複雑性理論 において、指数関数的複雑性を持つコンピュータアルゴリズムは、問題サイズが一定に増加するだけで、必要なリソース（時間、コンピュータメモリなど）が指数関数的に増加します。例えば、時間計算量が2xの アルゴリズムの場合、サイズx = 10x = 11の問題の完了に 20 秒かかるとすると、サイズx = 12ムーアの法則 の効果も状況を改善するのにあまり役立ちません。例えば、低速なプロセッサが時間tでサイズ x の問題を解ける場合、その 2 倍の速さのプロセッサでは、同じ時間tで解ける問題はサイズ x + 定数 にしかならない。このように、指数関数的に複雑なアルゴリズムはほとんどの場合実用的ではなく、より効率的なアルゴリズムの探求は、今日のコンピュータ科学における中心的な目標の一つとなっている。
指数関数的成長： 1 = 3 b = 2 r = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}} 指数関数的減衰： 1 = 24 b = 1 2 r = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}} 量x が 時間t に指数関数的に依存するとは、 x （ t ） = 1 ⋅ b t / τ {\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }} a はx の初期値であり、x （ 0 ） = 1 、 {\displaystyle x(0)=a\,,} b τ は時定数、つまり xが b x （ t + τ ） = 1 ⋅ b （ t + τ ） / τ = 1 ⋅ b t / τ ⋅ b τ / τ = x （ t ） ⋅ b 。 {\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.}
τ > 0b > 1x は 指数関数的に増加します。τ < 0 かつ b > 1 の場合、 または> 00 << 1 の 場合、xは 指数関数的に減少し ます。
例：ある細菌種が10分ごとに倍増し、最初は1個の細菌しか存在しない場合、1時間後には何個の細菌が存在するでしょうか？ この問題は、 a = 1b = 2τ = 10分で
x （ t ） = 1 ⋅ b t / τ = 1 ⋅ 2 t / （ 10 ミニ ） {\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}} x （ 1 hr ） = 1 ⋅ 2 （ 60 ミニ ） / （ 10 ミニ ） = 1 ⋅ 2 6 = 64. {\displaystyle x(1時間)=1\cdot 2^{(60分)/(10分)}=1\cdot 2^{6}=64.}
1時間後、つまり10分間隔を6回繰り返すと、細菌の数は64個になるだろう。
無次元の 非負の数b τ 物理量 )の多くのペア( b 、τ )は、同じ成長率を表し、 τ はlog b b (たとえば eまたは 2) に対して、成長率は非ゼロの時間 τ τに対して、成長率は無次元の正の数 b
このように、指数関数的成長の法則は、異なる底 を用いることで、数学的に等価な様々な形で記述することができる。最も一般的な形式は以下のとおりである。 x （ t ） = x 0 ⋅ e k t = x 0 ⋅ e t / τ = x 0 ⋅ 2 t / T = x 0 ⋅ （ 1 + r 100 ） t / p 、 {\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},} x 0 x (0)
パラメータ（指数関数的減衰の場合は負の値）：
量k τ T pに対しては r k = 1 τ = ln 2 T = ln （ 1 + r 100 ） p ${\displaystyle k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$ k = 0 はr = 0τ T
p を t / p tを用いると、 t / p は t に置き換えることができますが、ここでは統一性を保つためにこの置き換えは避けています。この場合、最後の式のp
成長率から倍加時間を計算する一般的な近似方法は、70の法則 、つまり、T ≃ 70 / r {\displaystyle T\simeq 70/r}
指数関数的増殖（太線）と指数関数的減衰（細線）の倍加時間と半減期、およびそれらの70/
t と72/
tの近似値を比較したグラフ。SVG 版では、グラフにカーソルを合わせると、そのグラフとその補グラフが強調表示されます。
変数x が 指数関数的成長を示す場合、x （ t ） = x 0 （ 1 + r ） t {\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}} 対数 を取ることでわかるように、x の対数（任意の底）は時間とともに直線的に増加します。 ログ x （ t ） = ログ x 0 + t ⋅ ログ （ 1 + r ） 。 {\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).}
これにより、指数関数的に増加する変数を対数線形モデル でモデル化することが可能になります。例えば、x の時系列データから成長率を経験的に推定したい場合、log x を t に対して線形回帰する ことができます。
微分方程式 指数関数 x （ t ） = x 0 e k t {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}} 線形微分方程式 を満たす： d x d t = k x {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx} tにおける x の瞬間的な変化はx ( t ) の値に比例し、x ( t )は 初期値 を持つ、と述べている。x （ 0 ） = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}}
微分方程式は直接積分によって解かれる。 d x d t = k x d x x = k d t ∫ x 0 x （ t ） d x x = k ∫ 0 t d t ln x （ t ） x 0 = k t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}} x （ t ） = x 0 e k t 。 {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}
上記の微分方程式において、k < 0指数関数的に減少します 。
この成長モデルの非線形 変形については、ロジスティック関数を 参照してください。
その他の成長率 長期的には、あらゆる種類の指数関数的成長はあらゆる種類の線形成長（これがマルサスの破局 の基礎である）およびあらゆる多項式 成長を追い越す、つまりすべてのα について次のようになる。 リム t → ∞ t α 1 e t = 0. \lim_{t\to\infty}{t^{\alpha}}{ae^{t}}}=0.
指数関数的成長率よりも遅く、線形成長率よりも速い（長期的には）考えられる成長率の階層全体が存在します。多項式の次数§ 関数値から計算されるを 参照してください。
成長率は指数関数的よりも速い場合もある。最も極端なケースでは、有限時間内に成長が際限なく増加する場合、それは双曲線的成長と呼ばれる。指数関数的成長と双曲線的成長の間には、 テトレーション から始まるハイパー演算 など、より多くの種類の成長挙動が存在する。A （ n 、 n ） {\displaystyle A(n,n)} アッカーマン関数 の対角線。
物流の成長 J字型の指数関数的成長（左、青）とS字型のロジスティック成長（右、赤） 実際には、初期の指数関数的成長は永遠に続くことはほとんどない。一定期間後には、外部要因や環境要因によって減速する。例えば、人口増加は資源の制約により上限に達する可能性がある。[ 11 ] ピエール・フランソワ・ヴェルフルストは 、このような成長の数学的モデルを初めて提案し、「ロジスティック成長 」と呼んだ。[ 12 ]
モデルの限界 物理現象の指数関数的成長モデルは、限られた領域内でのみ適用可能です。なぜなら、際限のない成長は物理的に現実的ではないからです。成長は最初は指数関数的かもしれませんが、モデル化された現象は最終的に、これまで無視されてきた負のフィードバック 要因が重要になる領域（ロジスティック成長 モデルにつながる）に入るか、連続性や瞬間的なフィードバックといった指数関数的成長モデルのその他の前提条件が破綻する領域に入ります。
指数関数的成長バイアス 研究によると、人間は指数関数的成長を理解するのが難しい。指数関数的成長バイアスとは、複利的成長プロセスを過小評価する傾向のことである。このバイアスは、財務的な影響も及ぼす可能性がある。[ 13 ]
チェス盤の上の米 伝説によると、宰相シッサ・ベン・ダヒルはインドの王シャリムに美しい手作りのチェス盤 を贈った。王は贈り物のお返しに何が欲しいかと尋ね、廷臣は最初のマスに米粒を1つ、2番目のマスに2つ、3番目のマスに4つ、といった具合に、と王を驚かせた。王はすぐに同意し、米を持ってくるように命じた。最初はすべて順調だったが、n番目のマスに 2 n −1 粒の米が必要だとすると、21番目のマスには100万粒以上、 41番目のマスには1 兆粒 以上が必要となり、最後のマスには全世界の米でも足りなかった。（Swirski、2006より）[ 14 ]
「チェス盤の後半 」とは、指数関数的に増大する影響力が、組織の全体的な事業戦略に大きな経済的影響を与える時期を指します。
スイレン フランスの子供たちに、指数関数的成長の一側面と思われるなぞなぞが提示される。「指数関数的に増加する量が一定の限界に近づく際の、見かけ上の急激さ」である。このなぞなぞは、池で育つスイレンを想像している。スイレンは毎日大きさが2倍になり、そのままにしておくと30日で池を覆い尽くし、水中の他のすべての生物を死滅させてしまう。日を追うごとにスイレンの成長は小さいため、池の半分を覆うまでは問題にならないと判断される。それは何日目になるだろうか？29日目で、池を救うために残された時間はあと1日しかない。[ 15 ] [ 14 ]
参考文献 ↑ スリ、マニル（2019年3月4日）「意見｜ 『指数関数的』と言うのをやめよう。数学オタクより」ニューヨーク・タイムズ 。 ↑ 「おそらく間違って使っている10の科学用語」 HowStuffWorks 。 2014年7月11日。 ↑ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M. ; van Oudenaarden, Alexander (2014). "Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis" . Cell Reports . 7 (3): 705– 714. doi : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . PMC 4049626. PMID 24767987 . ↑ 「コロナウイルスは指数関数的に増加している ― それが実際に意味すること」 。2020年4月3日。 ↑ 「ハリケーンによる被害の可能性」 。米国海洋大気庁（NOAA）。2023年9月8日。 2025年2月7日にオリジナルから アーカイブ済み。 ↑ サブレッテ、キャリー。 「核兵器の物理学と設計入門」 。核兵器アーカイブ 。 2009年 5月26日 取得。 1 2 Ariel Cintrón-Arias (2014). "To Go Viral". arXiv : 1402.3499 [ physics.soc-ph ]. ↑ カリーヌ・ナホン、ジェフ・ヘムズリー（2013）。 『バイラルになる方法 』ポリティ社、 16 ページ 。ISBN 978-0-7456-7129-1 。↑ YouTube (2012). "江南スタイル vs コール・ミー・メイビー：人気比較" . YouTubeトレンド . ↑ クローダー、ブルース；エヴァンス、ベニー；ノエル、アラン（2008）。関数と変化：大学代数 へ のモデリングアプローチ 。ホートン・ミフリン・ハーコート。398ページ 。ISBN 978-1-111-78502-4 。↑ バーンスタイン、ルース (2003). 個体群生態学：コンピュータシミュレーション入門 . ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 37. ISBN 978-0-470-85148-7 。↑ Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "指数関数的成長バイアスと家計金融". The Journal of Finance . 64 (6): 2807– 2849. doi : 10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x . 1 2ポリット、ジョナサン （ 2005）。 資本主義：まるで世界が重要であるかのように 。ロンドン：アーススキャン。p. 49。ISBN 1-84407-192-8 。↑ メドウズ、ドネラ（2004）。 『成長の限界：30年後の最新情報 』チェルシー・グリーン出版、 21 ページ 。ISBN 9781603581554 。
情報源 ドネラ・メドウズ、ヨルゲン・ランダース、デニス・メドウズ。 『成長の限界 ：30年後のアップデート』。ISBN 9781603581554 ドネラ・H・メドウズ、デニス・L・メドウズ、ヨーゲン・ランダース、ウィリアム・W・ベーレンス3世 (1972) 『成長の限界 。ISBN 0-87663-165-0 ポリット、J. 『世界が重要であるかのような資本主義』 、アーススキャン、2005年。ISBN 1-84407-192-8 スウィルスキー、ピーター。『文学と知識について：物語的思考実験、進化、ゲーム理論の探求 』ニューヨーク：ラウトレッジ。ISBN 0-415-42060-1 トムソン、デビッド・G.『10億ドルへの青写真：指数関数的成長を達成するための7つの必須事項』 ワイリー、2005年12月、ISBN 0-471-74747-5 ツィレル、SV 2004。「地球人口の超指数関数的増加の可能性のある理由について」。社会経済ダイナミクスの数理モデル / MG ドミトリエフおよび AP ペトロフ編、pp. 367–9。モスクワ：ロシア国立社会大学、2004年。
外部リンク 有限な世界における成長 ― 持続可能性と指数関数― プレゼンテーション アルバート・バートレット博士：算術、人口、エネルギー― ストリーミングビデオと音声（58分）
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edfd8a55aac251d0d778e9f63f9bad93c584033)
