中世イスラム世界における数学

イスラムの黄金時代、特に9世紀から10世紀の数学は、ギリシャ数学（ユークリッド、アルキメデス、アポロニウス）とインド数学（アリヤバータ、ブラフマグプタ）の統合の上に成り立っていました。この時代における重要な発展には、位取り記数法の拡張による小数への拡張、代数の体系化された研究、幾何学と三角法の進歩などがあります。^[1]

中世イスラム世界では数学が大きく発展した。この変革において重要な役割を果たしたのがムハンマド・イブン・ムサ・アル＝フワーリズミーで、9世紀に代数学を独立した分野として導入した。アル＝フワーリズミーのアプローチは、それまでの算術の伝統から離れ、代数学の算術化の基礎を築き、数学的思考に長期にわたって影響を与えた。アル＝カラジのような後継者は彼の研究を発展させ、さまざまな数学の分野の進歩に貢献した。これらの数学的手法の実用性と幅広い適用性は、アラビア数学の西洋への普及を促進し、西洋数学の発展に大きく貢献した。^[2]

アラビアの数学的知識は、中世にはアル・ホリズミーの方法論の実用化に牽引されて、様々な経路を通じて広まった。この普及は、経済的、政治的要因だけでなく、十字軍や翻訳運動などの出来事に代表される文化交流によっても影響を受けた。8世紀から14世紀にかけてのイスラムの黄金時代は、様々な科学分野で大きな進歩がみられた時代であり、この知識を求めて中世ヨーロッパの学者たちが集まった。貿易ルートと文化交流は、アラビアの数学的思想を西洋に紹介する上で重要な役割を果たした。14世紀から17世紀にかけてのアラビアの数学的テキストの翻訳は、ギリシャやローマの作品とともに、ルネサンスの知的環境を形成する上で極めて重要な役割を果たした。

アラビア数学、特に代数学は中世に大きく発展した。 813年から833年にかけてバグダッドで行われたムハンマド・イブン・ムサ・アル・フワーリズミー（アラビア語：محمد بن موسى الخوارزمي、 780年頃–  850 年頃）の著作は転換点となった。彼は著書『Kitab al-jabr wa al-muqabala』の題名に「代数学」という用語を導入し、代数学を独自の学問分野として位置づけた。彼は自分の著作を「（代数学の）最も簡単で有用なものに限定した、完成と簡約（の規則）による計算に関する短い著作」とみなした。^[3] 後になって、彼の著作は理論的な論文であるだけでなく、商業や土地の測量などの分野の問題を解決することを目的とした実用的なものでもあると評された。

アル＝フワーリズミーのアプローチは、ディオファントスを含む、それ以前のいかなる「算術」の伝統からも生まれなかったという点で画期的だった。彼は代数のための新しい語彙を開発し、純粋に代数的な用語と算術と共有される用語を区別した。アル＝フワーリズミーは、数の表現が日常生活で非常に重要であることに気づいた。そのため、彼は数学的操作、いわゆる代数を簡素化する方法を見つけたい、または要約したいと考えていた。^[3]彼の代数は当初、線形方程式と二次方程式、および二項式と三項式の初等算術に焦点を当てていた。このアプローチは、根号と関連する代数計算を使用して方程式を解くことを含み、彼の死後も数学的思考に影響を与えた。

アル＝ホワーリズミーによる、（ax^2 + bx = c）形式の二次方程式を解く規則の証明は、一般に「平方根と根は等しい数」と呼ばれ、代数学の歴史における記念碑的な業績でした。この画期的な発見は、二次方程式を解く体系的なアプローチの基礎を築き、西洋世界で発展するにつれて代数学の基本的な側面となりました。^[4]アル＝ホワーリズミーの平方完成法は、この種の方程式の実用的な解法を提供しただけでなく、数学の問題に対する抽象的で一般化されたアプローチも導入しました。彼の著作は、彼の代表作「完成とバランスによる計算の簡潔な書」にまとめられ、12世紀にラテン語に翻訳されました。この翻訳は代数学の知識をヨーロッパに伝える上で極めて重要な役割を果たし、ルネサンス期の数学者に大きな影響を与え、現代数学の発展を形作りました。^[4]アル・フワーリズミーの貢献、特に二次方程式の証明は、イスラム世界の豊かな数学的遺産とそれが西洋数学に与えた永続的な影響の証です。

アラビア数学が西洋に広まったのは、いくつかの要因による。アル・フワーリズミーの手法の実用性と汎用性は重要であった。数値的または幾何学的な問題を正規形の方程式に変換し、標準的な解の公式を導くように設計された。彼とアル・カラジのような後継者の研究は、数論、数値解析、有理ディオファントス解析など、さまざまな数学の分野の進歩の基礎を築いた。^[5]

アル・フワーリズミーの代数学は、歴史的観点から独立した学問であり、最終的には「代数学の算術化」につながりました。彼の後継者たちは彼の研究を拡張し、新しい理論的および技術的課題に適応させ、抽象的な代数計算のためのより算術的な方向に再方向付けました。

アル・フワーリズミーの著作に代表されるアラビア数学は、数学界の形成に重要な役割を果たしました。西洋への普及は、その実用的応用、その後継者による数学概念の拡張、そしてこれらのアイデアの西洋的文脈への翻訳と適応によって推進されました。この普及は、経済、政治、文化交流を含む複雑なプロセスであり、西洋の数学に大きな影響を与えました。

イスラムの黄金時代（8世紀から14世紀）として知られる時代は、数学を含むさまざまな分野で大きな進歩が特徴的でした。イスラム世界の学者は、数学、天文学、医学、およびその他の科学に多大な貢献をしました。その結果、イスラムの学者の知的業績は、この豊富な知識にアクセスしようとした中世ヨーロッパの学者の注目を集めました。シルクロードなどの交易路は、東西間の商品、アイデア、知識の移動を促進しました。バグダッド、カイロ、コルドバなどの都市は学問の中心地となり、さまざまな文化的背景を持つ学者を魅了しました。したがって、イスラム世界の数学の知識は、さまざまな経路を通じてヨーロッパに伝わりました。一方、十字軍は西ヨーロッパ人とイスラム世界を結び付けました。十字軍の主な目的は軍事でしたが、文化交流や数学を含むイスラムの知識への露出もありました。聖地やイスラム世界の他の地域を旅したヨーロッパの学者たちは、アラビア語の写本や数学の論文を入手した。14世紀から17世紀にかけて、アラビア語の数学書の翻訳は、ギリシャやローマの文献とともに、ルネッサンスの知的環境を形成する上で重要な役割を果たした。北アフリカや中東で学んだフィボナッチのような人物は、ヨーロッパでアラビア数字や数学概念を紹介し、普及させることに貢献した。

代数学は、アラビア語で完成または「壊れた部分の再結合」を意味する言葉に由来する^{[6]学問で、}イスラムの黄金時代に栄えた。バグダッドの知恵の館のペルシャ人学者ムハンマド・イブン・ムサ・アル＝フワーリズミーは代数学の創始者であり、ギリシャの数学者ディオファントスとともに代数学の父として知られる。アル＝フワーリズミーは著書『完成と平衡による計算の簡略書』で、 1次および2次（線形および2次）の多項式方程式の正の根を求める方法を扱っている。彼は簡約法を紹介し、ディオファントスとは異なり、扱う方程式の一般解も示している。^{[7] [8] [9]}

アル＝フワーリズミーの代数学は修辞的であり、つまり方程式が完全な文章で書かれていた。これは、シンコペーションが取られ、ある程度の象徴が使われているディオファントスの代数学の著作とは異なっていた。記号のみが使われる象徴代数学への移行は、イブン・アル＝バンナー・アル＝マラクシやアブー・アル＝ハサン・イブン・アリー・アル＝カラサディーの著作に見ることができる。^{[10] [9]}

アル＝フワーリズミーの研究について、JJオコナーとエドマンド・F・ロバートソンは次のように述べている。^[11]

「おそらく、アラビア数学の最も重要な進歩の 1 つは、この時期にアル・フワーリズミーの著作、すなわち代数学の始まりとともに始まりました。この新しいアイデアがいかに重要であったかを理解することが重要です。これは、本質的に幾何学であったギリシャの数学の概念からの革命的な移行でした。代数学は、有理数、無理数、幾何学的大きさなどをすべて「代数的対象」として扱うことを可能にする統一理論でした。代数学は、それまでの概念よりもはるかに広いまったく新しい発展の道筋を数学に与え、この分野の将来の発展の手段を提供しました。代数学のアイデアの導入のもう 1 つの重要な側面は、それまでになかった方法で数学をそれ自体に適用できるようにしたことです。」

—  MacTutor 数学の歴史アーカイブ

この時期には、他の数学者もアル・フワーリズミーの代数学を発展させた。アブ・カミル・シュジャは、幾何学的な図解と証明を添えた代数学の本を著した。彼はまた、いくつかの問題に対する可能な解をすべて列挙した。アブ・アル・ジュド、オマール・ハイヤーム、そしてシャラフ・アル・ディーン・アル・トゥーシーは、 3次方程式の解をいくつか発見した。オマール・ハイヤームは、3次方程式の一般的な幾何学的解を発見した。^[要出典]

ウマル・ハイヤーム（イラン在住 1038/48年頃– 1123/24年）^{[12] は、}アル・ホリズミー代数学を超える、3次方程式の体系的な解法を含む『代数学の問題の証明に関する論文』を著した。 ^{[13]ハイヤームは、2つの}円錐曲線の交点を見つけることでこれらの方程式の解を得た。この方法はギリシャ人によって使用されていたが、^{[14]彼らはその方法を一般化して正の}根を持つすべての方程式をカバーしなかった。^[13]

シャラフ・アルディーン・アル・トゥースィー（イラン、トゥース在住？ – 1213/4）は、三次方程式の研究に新しいアプローチを開発した。それは三次多項式が最大値をとる点を見つけるというアプローチである。例えば、aとb が正である方程式 を解く場合、彼は曲線の最大点が で発生し、その点での曲線の高さがaより小さいか、等しいか、大きいかによって、方程式には解がないか、1つまたは2つの解があるかがわかる。彼の現存する著作には、彼がどのようにしてこれらの曲線の最大値の公式を発見したかは示されていない。彼がその発見を説明するために、さまざまな推測が提案されている。^[15]${\displaystyle \x^{3}+a=bx}$${\displaystyle \y=bx-x^{3}}$${\displaystyle x=\textstyle {\sqrt {\frac {b}{3}}}}$

数学的帰納法の最も古い暗黙の痕跡は、素数の数が無限であるというユークリッドの証明（紀元前 300 年頃）に見ることができます。帰納法の原理の最初の明示的な定式化は、パスカルの著書「三角形の算術理論」（1665 年） で示されました。

その間に、等差数列に対する帰納法による暗黙の証明がアル・カラージ（1000年頃）によって導入され、アル・サマウアルによって継承され、サマウアルはそれを二項定理の特殊なケースやパスカルの三角形の性質に使用しました。

ギリシャ人は無理数を発見したが、それに満足せず、大きさと数を区別することでしか対処できなかった。ギリシャ人の見方では、大きさは連続的に変化し、線分などの実体に使用できるのに対し、数は離散的であった。したがって、無理数は幾何学的にしか扱うことができず、実際、ギリシャの数学は主に幾何学的であった。アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラムやイブン・タヒル・アル＝バグダディなどのイスラムの数学者は、大きさと数の区別を徐々になくし、無理数が方程式の係数として現れ、代数方程式の解となることを可能にした。^{[16] [17]}彼らは無理数を数学的対象として自由に扱ったが、その性質を詳しく調べることはなかった。^[18]

12世紀には、アル＝フワーリズミの『インド数字による算術』のラテン語訳が、西洋世界に十進位階制を紹介した。^[19]彼の『補完と平衡による計算に関する大要の書』は、線形方程式と二次方程式の最初の体系的な解法を提示した。ルネサンス期のヨーロッパでは、彼は代数の発明者とみなされていたが、彼の作品はより古いインドやギリシャの資料に基づいていることが現在ではわかっている。^{[20] [21]彼は}プトレマイオスの『地理学』を改訂し、天文学と占星術について書いた。しかし、CAナリーノは、アル＝フワーリズミの元の作品はプトレマイオスではなく、派生した世界地図に基づいていたと示唆しており、^[22]おそらくシリア語かアラビア語で書かれたものである。

球面正弦法則は10世紀に発見され、アブ・マフムード・ホジャンディ、ナスィルッディーン・アルトゥースィー、アブ・ナスル・マンスールらが発見したとされ、アブ・アルワファ・ブズジャニも貢献したとされている。^[16] 11世紀のイブン・ムアード・アルジャヤニーの『球面の未知の弧についての書』は、正弦の一般法則を紹介した。 ^[23]平面正弦法則は13世紀にナスィルッディーン・アルトゥースィーによって記述された。彼は著書『扇形図形について』の中で、平面三角形と球面三角形の正弦法則を述べ、この法則の証明を示した。^[24]

9世紀には、イスラムの数学者はインドの数学者の著作から負の数に精通していましたが、この時期の負の数の認識と使用は控えめなままでした。^[25] アル・フワーリズミーは負の数や負の係数を使用しませんでした。^[25]しかし、50年以内に、アブー・カミルは乗算を展開するための符号の規則を示しました。^[26]アル・カラージーは著書「アル・ファフリ」で「負の量は項として数えられなければならない」と書いています。 [ ^25] 10世紀には、アブー・アル・ワファ・アル・ブズジャーニーが「書記とビジネスマンのための算術の科学から何が必要であるかについての書」で負債を負の数とみなしました。^[26]${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$

12世紀までに、アル・カラジの後継者たちは記号の一般的な規則を述べ、それを使って多項式除算を解くようになりました。^[25]アル・サマウアルは次のように書いています。

負の数（アル・ナキーシュ）と正の数（アル・ザイド）の積は負であり、負の数による積は正である。負の数をより大きな負の数から引くと、その余りはそれらの負の差である。負の数をより小さな負の数から引くと、その差は正のままである。負の数を正の数から引くと、その余りはそれらの正の合計である。正の数を空の累乗（マルタバ・カリヤ）から引くと、余りは同じ負であり、負の数を空の累乗から引くと、余りは同じ正の数である。^[25]

9世紀から10世紀にかけて、エジプトの数学者アブー・カミルが、二重誤算の使用に関する、現在は失われている論文『二つの誤りの書』（Kitāb al-khaṭāʾayn ）を著した。中東で二重誤算に関する現存する最古の著作は、レバノンのバールベック出身のアラブ人数学者クスタ・イブン・ルカ（10世紀）のものである。彼は、形式的なユークリッド式の幾何学的証明によってこの手法を正当化した。黄金時代のイスラム数学の伝統では、二重誤算はヒサーブ・アル・カッタイン（「二つの誤りによる計算」）として知られていた。これは、商業や法律の問題（コーランの相続規則に従った財産分割）などの実際的な問題や、純粋に娯楽的な問題を解決するために何世紀にもわたって使用されてきた。このアルゴリズムは、イブン・アル＝ヤサミンに帰せられる詩や、モロッコ出身の数学者であるアル＝ハッサールとイブン・アル＝バンナが説明した天秤の図などの記憶術を利用して暗記されることが多かった。^[27]

中世のアラブ・イスラム数学が世界に与えた影響は、科学と数学の両方の分野で広く深い。アラブ人の知識は翻訳運動の過程でスペインとシチリア島を通じて西洋世界にもたらされた。「ムーア人（かつてモーリタニアと呼ばれていた北アフリカのその地域の西方イスラム教徒）は7世紀初頭にスペインに渡り、アラブ世界の文化的資源を持ち込んだ」^[28]。13世紀、カスティーリャ王アルフォンソ10世はカスティーリャ王国にトレド翻訳学校を設立し、学者たちはそこで数多くの科学・哲学書をアラビア語からラテン語に翻訳した。翻訳には三角法へのイスラムの貢献も含まれており、ヨーロッパの数学者や天文学者の研究に役立っている。クレモナのジェラルド（1114-1187）などのヨーロッパの学者は、これらの作品を翻訳して広める上で重要な役割を果たし、より広い聴衆にそれらを届けました。クレモナは「少なくとも90冊の完全なアラビア語のテキスト」をラテン語に翻訳したと言われています。^[28]ヨーロッパの数学者は、イスラムの学者によって築かれた基礎の上に、航海、地図作成、天体航法への応用のために実用的な三角法をさらに発展させ、大航海時代と科学革命を推し進めました。航海と天文学への三角法の実用的な応用は、大航海時代にますます重要になりました。

アル＝バッターニーは三角法の発展に多大な貢献をしたイスラム数学者の一人です。彼は「新しい三角関数を発明し、コタンジェントの表を作成し、球面三角法のいくつかの公式を作りました。」^[29]これらの発見は、その正確さで賞賛されている彼の天文学的著作と相まって、天文学の計算と機器を大きく進歩させました。

アル＝ハイヤーム（1048-1131）はペルシャの数学者、天文学者、詩人で、代数学と幾何学、特に三次方程式の解法の研究で知られている。彼は「次数 ≤ 3 の方程式の幾何学理論を歴史上初めて詳述した人物」^[30]であり、解析幾何学の創始者とみなされることの多いフランスの数学者デカルトの業績に多大な影響を与えた。実際、「デカルトの『幾何学』を読むことは、上流にアル＝ハイヤームとアル＝トゥーシーを、下流にニュートン、ライプニッツ、クラマー、ベズー、ベルヌーイ兄弟を見ることである」^[30] 。 『幾何学』に登場する多くの問題は、アル＝ハイヤームにまで遡る基礎を持っている。

アブー・カーミル（アラビア語：أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع、別名 Al-ḥāsib al-miṣrī、直訳すると「エジプトの計算者」）（850年頃 - 930年頃）は、代数学の著者であるアル・フワーリズミーに従って代数学を研究した。彼の代数学書（Kitāb fī al-jabr wa al-muqābala）は、「本質的にはアル・フワーリズミーの著作の解説と詳細化であり、その理由とそれ自体の価値により、この本はイスラム世界で広く人気を博した」。^[31]そこには69の問題が収められており、これはアル・ホワーリズミーの40の問題よりも多い。^[31]アブー・カーミルの『代数学』は、西洋数学の軌跡を形作る上で重要な役割を果たしており、特にイタリアの数学者レオナルド・ディ・ピサ（フィボナッチとして広く知られている）の作品に影響を与えた。フィボナッチは『算盤の書』（1202年）で、アラビアの数学者のアイデアを広範囲に取り入れており、『代数学』から29問ほどの問題をほとんど修正せずに使用している。^[31]

アラビアの数学者が代数学と代数幾何学の発展に関して基礎的な研究を行ったにもかかわらず、18世紀から19世紀初頭の西洋の歴史家は、古典科学と数学は西洋独自の現象であるという事実を依然として認めていた。アラブの数学者による数学への貢献が時折認められても、それらは「歴史の外にあるか、本質的にヨーロッパの科学に貢献した範囲でのみ統合されている」^[32]と考えられており、完全に新しい数学の分野を開拓したものではなく、ギリシャの遺産に対する単なる技術革新である。フランスの哲学者エルネスト・ルナンの著作では、アラビアの数学は単に「ペルシャとインドの影響が組み合わされたギリシャの反映」である。そしてデュエムによれば、「アラビアの科学はギリシャの科学から受け継いだ教えを再現しただけである」。アラビアの数学者による数学の著作は、ギリシャ古典科学の偉大な伝統に対する取るに足りない追加や反映に過ぎないと考えられているだけでなく、厳密さに欠け、実用的な応用や計算に重点を置きすぎていると非難されており、西洋の歴史家がアラビアの数学はギリシャの数学者のレベルには決して到達できないと主張した理由もこれである。 ^[32]タンナリーが書いたように、アラビアの数学は「ディオファントスが達成したレベルを決して上回らなかった」。一方で、西洋の数学者が採用した方法と最終目的の両方で非常に異なる道を歩んだと彼らは認識しており、「ギリシャ起源の西洋科学と現代の復興における西洋科学の特徴は、厳密な基準に準拠していることである」。^[32]したがって、アラビアの数学者の本にある証明が厳密ではないと認識されているため、ブルバキは代数の進化をたどったアラビア時代を除外する権限がある。^{[32]その代わりに、古典代数学の歴史は}ルネッサンスの業績として書かれ、代数幾何学の起源はデカルトにまで遡り、アラビアの数学者の貢献は意図的に無視されている。ラシェドの言葉を借りれば、「アラビア語で書かれた科学を科学史から除外することを正当化するために、その厳密さの欠如、計算的な外観、実用的な目的が挙げられます。さらに、当時の科学者はギリシャの科学に厳密に依存しており、最後に実験基準を導入することができなかったため、ヘレニズム博物館の良心的な守護者の役割に追いやられました。」^[32]

18世紀のドイツとフランスでは、「東と西は地理的に対立しているのではなく、歴史的な実証性として対立している」という東洋主義の見解が支配的だった[ ^{32] 。これは「}合理主義」を西洋の本質と位置づけたが、 19世紀に出現した「東洋の呼び声」運動は「合理主義に反対する」 ^[32]、より「精神的で調和のとれた」ライフスタイルへの回帰と解釈された。したがって、その時代に支配的だった東洋主義は、西洋以外の人々は数学と科学に重要な貢献をするために必要な合理性と科学的精神を欠いていると見なされ、アラブの数学者の貢献がしばしば無視された主な理由の1つであった。

中世のアラブ・イスラム世界は数学の軌跡を形作る上で重要な役割を果たし、アル・フワーリズミーの代数学の革新がその礎となった。イスラムの黄金時代に文化交流と翻訳によって西洋に広まったアラビア数学は、西洋の数学思想に永続的な影響を残した。アル・バッターニー、アル・カイヤーム、アブー・カーミルなどの数学者は、三角法、代数学、幾何学への貢献により、その影響力を時代を超えて広げた。アラブの数学者による基礎的な貢献にもかかわらず、18世紀から19世紀初頭の西洋の歴史家は、東洋主義的な見解に影響され、これらの業績を軽視することもあった。東洋には合理性と科学精神が欠けており、偏った見方が定着し、代数学やその他の数学分野の発展においてアラビア数学が果たした重要な役割が認識されにくくなっています。数学の歴史を再評価するには、多様な数学の伝統の相互関連性を認識し、ヨーロッパ独自の数学の遺産という概念を払拭する必要があります。アラブの数学者の貢献は、実用的応用と理論的革新を特徴としており、数学の歴史の豊かなタペストリーの不可欠な部分を形成しており、認識に値します。

• アブドゥルハミード・イブン・トルコ（830 年頃活躍）（二次方程式）
• シンド・イブン・アリー（864年以降に死亡）
• サビト・イブン・クルラ（826–901）
• アル・バタニー(858年以前 – 929年)
• アブー・カーミル（850年頃 – 930年頃）
• アブール・ハサン・アル・ウクリディシ(fl. 952) (算術)
• アブドゥ・アル・アジズ・アル・カビシ(967 年没)
• アブー・サール・アル・クヒ（940年頃～1000年）（重心）
• イブン・アル・ハイサム(965 年頃 - 1040 年)
• アブ・アル・ラヤーン・アル・ビルーニー(973–1048) (三角法)
• アル＝ハイヤーム（1048–1131）
• イブン・マーダー(c. 1116–1196)
• イスマイル・アル・ジャザリ(1136–1206)
• ジャムシード・アル・カーシー（1380年頃 - 1429年）（小数点と円周率の推定）

• 
  アブー・サール・アル・クヒーの円錐曲線を描くための完璧なコンパスの彫刻
• 
  イブン・ハイサムの定理

• アラビア数字
• 中世イスラムにおけるイスラム数学へのインドの影響
• 微積分の歴史
• 幾何学の歴史
• 中世イスラム世界における科学
• イスラム世界における科学と工学の年表

ウィキメディア・コモンズには、イスラム黄金時代の数学に関連するメディアがあります。

• Hogendijk, Jan P. (1999 年 1 月)。「中世イスラム文明における数学の書誌」
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F. (1999)、「アラビア数学：忘れられた輝き？」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• リチャード・コヴィントン、アラビア科学の再発見、2007年、サウジアラムコ・ワールド
• イスラム黄金時代における数学の発明と発見のリスト