漸近解析

数学的解析において、漸近解析（漸近論とも呼ばれる）は、限界動作を記述する方法です。

例として、関数f  ( n ) のn が非常に大きくなるときの特性に関心があるとします。 f ( n ) = n ² + 3 nの場合、 nが非常に大きくなると、項3 n はn ²に比べて重要ではなくなります。関数f ( n ) は、 「 n → ∞として、n ²に漸近的に等しい」と言われています。これは、 f  ( n ) ~ n ²と記号的に記述されることが多く、「f ( n ) はn ²に漸近的である」と読みます。

重要な漸近的結果の例として、素数定理がある。π ( x ) を素数計算関数（定数piとは直接関係ない）とすると、π( x ) はx以下の素数の個数となる。このとき、定理は次のように述べている。 $${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}$$

漸近解析は、コンピュータサイエンスにおいてアルゴリズムの解析の一部としてよく使用され、多くの場合、ビッグオー記法で表現されます。

正式には、関数f  ( x )とg ( x )が与えられたとき、次の 条件を満たす場合に限り、 二項関係を定義する (de Bruijn 1981, §1.4)$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

記号~はチルダです。この関係はxの関数の集合上の同値関係です。関数 f と g は漸近的に同値であると言われています。 f と g の定義域は、極限が定義されている任意の集合、たとえば実数、複素数、正の整数にすることができます。

同じ表記法は、極限に到達する他の方法にも使用されます: 例: x → 0、x ↓ 0、| x | → 0。文脈から明らかな場合は、極限に到達する方法が明示的に述べられないことがよくあります。

上記の定義は文献では一般的ですが、x が極限値に近づくにつれてg ( x )が無限にゼロになる場合は問題があります。そのため、一部の著者は別の定義を使用しています。別の定義は、小文字のo表記で、 f ~ g が次の場合のみである、 というものです。$${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

この定義は、 g ( x )が極限値の近傍でゼロでない場合、前の定義と同等である。 ^{[1] [2]}

かつの場合、ある穏やかな条件下では、^{[さらなる説明が必要]}以下が成り立ちます。 ${\displaystyle f\sim g}$${\displaystyle a\sim b}$

• ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$、すべての実数rに対して
• ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$もし${\displaystyle \lim g\neq 1}$
• ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$
• ${\displaystyle f/a\sim g/b}$

このような特性により、漸近的に等価な関数を多くの代数式で自由に交換できるようになります。

• 階乗 - これはスターリングの近似である$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$
• パーティション関数
  正の整数nに対して、分割関数p ( n ) は、加数の順序を考慮せずに整数n を正の整数の和として表す方法の数を与えます。$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• エアリー機能
  エアリー関数 Ai( x ) は、微分方程式y″ − xy = 0の解であり、物理学において多くの応用があります。$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• ハンケル関数 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

関数f ( x )の漸近展開は、実際には、その関数を級数で表現したもので、級数の部分和は必ずしも収束するわけではありませんが、任意の初期部分和を取るとfの漸近式が得られます。この考え方は、連続する項がfの増加の順序をますます正確に記述するというものです。

記号で表すと、 k が固定された各値に対して、 とが成り立つことを意味します。記号の定義を考慮すると、最後の式は小文字の o 表記でを意味し、つまり はよりはるかに小さい値となります。${\displaystyle f\sim g_{1},}$${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$${\displaystyle g_{k}.}$

この関係は、すべてのkに対して である場合に完全な意味を持ち、これはが漸近スケールになることを意味します。その場合、一部の著者は、ステートメント を表すために誤って記述する場合があります。ただし、これは記号の標準的な使用法ではなく、§ 定義で与えられた定義に対応していないことに注意する必要があります。 ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$${\displaystyle g_{k}}$${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$${\displaystyle \sim}$

現状では、この関係は実際にはステップkとk −1を組み合わせることで得られる。1から引くと、すなわち${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

漸近展開が収束しない場合は、引数の特定の値に対して、最適な近似値を提供する特定の部分和が存在し、追加の項を追加すると精度が低下します。この最適な部分和は、引数が限界値に近づくにつれて、通常、より多くの項を持ちます。

• ガンマ関数 $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}$$
• 指数積分 $${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}$$
• 誤差関数。 ここで、m !!は二重階乗です。$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}$$

漸近展開は、通常の級数が収束領域外の値を取ることを強制する形式表現で使用される場合によく発生します。たとえば、通常の級数から始めるとします。 $${\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}}$$

左辺の式は複素平面全体で有効ですが、右辺は に対してのみ収束します。 を掛けて両辺を積分すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle e^{-w/t}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du}$$

左辺の積分は指数積分で表すことができます。右辺の積分は、 を代入するとガンマ関数として認識できます。両方を評価すると、漸近展開が得られます。 ${\displaystyle u=w/t}$$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}}$$

ここで、右辺はtの非ゼロ値に対しては明らかに収束しません。しかし、 t を小さく保ち、右側の級数を有限個の項に切り捨てることで、 の値のかなり良い近似値を得ることができます。 を代入してに注目すると、この記事の前半で示した漸近展開が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {Ei} (1/t)}$${\displaystyle x=-1/t}$${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}$

数理統計学において、漸近分布は、ある意味では分布のシーケンスの「限界」分布である仮想分布です。分布は、i = 1, …, n、ある正の整数nに対するランダム変数Z _iの順序付けられた集合です。漸近分布では、 i の範囲は制限されません。つまり、nは無限です。

漸近分布の特殊なケースは、後続のエントリがゼロになる場合、つまりi が無限大になるにつれてZ _{i が}0 になる場合です。「漸近分布」の一部のインスタンスは、この特殊なケースのみを参照します。

これは、独立変数が無限大に近づくにつれて定数値 (漸近線) にきれいに近づく漸近関数の概念に基づいています。ここでの「きれい」とは、任意の望ましい近さ epsilon に対して、独立変数のある値があり、それを超えると関数が定数から epsilon 以上異なることはないことを意味します。

漸近線とは、曲線が近づくが、交わったり交差したりすることのない直線です。非公式には、曲線が「無限遠で」漸近線に交わると言うこともありますが、これは正確な定義ではありません。方程式では、x が増加すると、 y の大きさは任意に小さくなります。 ${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$

漸近解析はいくつかの数理科学で使用されています。統計学では、漸近理論は、尤度比統計量や偏差の期待値などのサンプル統計量の確率分布の極限近似を提供します。ただし、漸近理論はサンプル統計量の有限サンプル分布を評価する方法を提供しません。非漸近境界は近似理論の方法によって提供されます。

応用例は以下の通りです。

• 応用数学では、漸近解析は方程式の解を近似する数値手法を構築するために使用されます。
• 数理統計学と確率論では、漸近線はランダム変数と推定量の長期的または大規模なサンプルの挙動の分析に使用されます。
• コンピュータサイエンスでは、アルゴリズムの分析において、アルゴリズムのパフォーマンスを考慮します。
• 物理システムの挙動。例としては統計力学が挙げられます。
• 事故分析では、特定の時間と空間における多数の衝突事故数をカウントモデリングして衝突事故の原因を特定します。

漸近解析は、現実世界の現象を数学的にモデル化する際に生じる常微分方程式と偏微分方程式を調べるための重要なツールです。 ^[3]わかりやすい例としては、流体の流れを支配する完全なナビエ-ストークス方程式から境界層方程式を導出することが挙げられます。多くの場合、漸近展開は小さなパラメータεのべき乗です。境界層の場合、これは境界層の厚さと問題の典型的な長さスケールの無次元比です。実際、数学的モデル化における漸近解析の応用は、多くの場合[ ^{3] 、}問題のスケールを考慮して小さいことが示されている、または小さいと想定されている無次元パラメータを中心に行われます。

漸近展開は、典型的には、特定の積分の近似（ラプラス法、鞍点法、最急降下法）または確率分布の近似（エッジワース級数）で発生します。量子場の理論におけるファインマングラフは、収束しないことが多い漸近展開の別の例です。

De Bruijn は、数値解析者の NA 博士と漸近解析者の AA 博士の間の次の対話で漸近線の使用法を説明しています。

NA:の大きな値に対して、相対誤差が最大 1% になるよう に関数を評価したいです。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

AA: . ${\displaystyle f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )}$

NA: 申し訳ありませんが、わかりません。

AA:${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4}).}$

NA: でも、私の値は100 だけです。 ${\displaystyle x}$

AA: なぜそう言わなかったのですか？私の評価では

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: これは私にとっては新しいことではありません。私はすでにそれを知っています。 ${\displaystyle 0<f(100)<1}$

AA: 私の推定値には少し上乗せできる部分があります。

${\displaystyle |f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100).}$

NA: 私は20%ではなく1%を要求しました。

AA: それは私が得ることのできる最高のものに近いです。 の値をもっと大きくしてみてはいかがでしょうか? ${\displaystyle x}$

NA: !!! 私の電子計算機に聞いたほうがいいと思います。

マシン: f(100) = 0.01137 42259 34008 67153

AA: そう言ったでしょう？私の推定値 20% は、実際の誤差の 14% とそれほどかけ離れてはいません。

NA: !!! . . . !

数日後、NAさんはf(1000)の値を知りたいと思ったが、彼女の計算では答えを出すのに1ヶ月かかるだろう。彼女は漸近的同僚のところに戻り、完全に満足のいく答えを得た。^[4]

• Balser, W. (1994)、発散べき級数から解析関数へ、Springer-Verlag、ISBN 9783540485940
• de Bruijn、NG (1981)、Asymptotic Methods in Analysis、Dover Publications、ISBN 9780486642215
• エストラダ、R.; カンワル、RP (2002)、漸近論への分布的アプローチ、ビルクハウザー、ISBN 9780817681302
• ミラー、PD（2006）、応用漸近解析、アメリカ数学会、ISBN 9780821840788
• マレー、JD (1984)、漸近解析、Springer、ISBN 9781461211228
• パリス、RB; カミンスキー、D. (2001)、漸近論とメリン・バーンズ積分、ケンブリッジ大学出版局

• 漸近解析 —IOS Pressが発行するジャーナルのホームページ
• 漸近分布を用いた時系列解析に関する論文