消尽法

尽くし法（ラテン語：methodus exhaustionis ）とは、ある図形の面積を求める方法の一つで、その図形の中に、面積が元の図形の面積に収束する多角形の列（一度に一つずつ）を内接させるものです。列が正しく構成されていれば、n番目の多角形と元の図形の面積の差は、 nが大きくなるにつれて限りなく小さくなります。この差が限りなく小さくなるにつれて、図形の面積の取りうる値は、列の各要素によって順次確立される下限面積によって体系的に「尽くされ」ていきます。

徹底的証明法では、通常、背理法（reductio ad absurdum）と呼ばれる背理法が用いられる。これは、ある領域の面積を、別の領域の面積と比較することによって求めるものであり、その別の領域の面積を「徹底的」にすることで、真の面積に限りなく近づけることができる。証明の手順としては、まず真の面積が別の領域の面積よりも大きいと仮定し、その主張が誤りであることを証明し、次に真の面積が別の領域の面積よりも小さいと仮定し、その主張も誤りであることを証明していく。

この考えは紀元前5世紀後半にアンティフォンによって提唱されたものだが、彼がそれをどれほど理解していたかは完全には明らかではない。^{[ 1 ]}この理論は数十年後にクニドスのエウドクソスによって厳密に体系化され、彼はそれを用いて面積と体積を計算した。その後、紀元3世紀に中国の劉徽によって円の面積を求めるために再発明された。^{[ 2 ]}この用語が最初に使われたのは1647年、聖ヴィンセントのグレゴリーによる『Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum』である。

攀解法は、微積分法の先駆けとみなされている。17世紀から19世紀にかけて解析幾何学と厳密な積分法が発展するにつれ、攀解法はそれらの発展に吸収され、現在では問題解決に明示的に用いられることはなくなった。重要な代替手法として、カヴァリエリの原理（不可分法とも呼ばれる）があり、これは最終的にロベルヴァル、トリチェリ、ウォリス、ライプニッツらの微積分法へと発展した。

アルキメデス

アルキメデスは、円の内側の面積を計算する方法として、辺の数が増え、それに伴って面積も増える一連の多角形で円を埋めていくという、除去法を用いました。これらの多角形の面積を円の半径の二乗で割った商は、多角形の辺の数が増えるにつれてπにいくらでも近づけることができ、半径rの円の内側の面積はπr²^であることが証明されました。ここでπは円周と直径の比（C / d）として定義されます。

彼はまた、円の周長を内接および外接する96角形の正多角形の周長と比較することにより、 3  + ¹⁰ / ₇₁ < π < 3 + ¹⁰ / ₇₀        (範囲は¹ / _{497 ) という境界値を示した。}

彼が消耗法で得たその他の結果には以下が含まれる：^{[ 9 ]}

• 直線と放物線の交線で囲まれた領域の面積は、底辺と高さが同じ三角形の面積の4/3である（放物線の求積）。
• 楕円の面積は、その長軸と短軸に等しい辺を持つ長方形の面積に比例する。
• 球の体積は、底面の半径が同じで、高さも半径と同じである円錐の体積の4倍である。
• 高さが直径と等しい円柱の体積は、同じ直径を持つ球の体積の3/2である。
• 螺旋回転1つと直線で囲まれた領域の面積は、その直線の長さに等しい半径を持つ円の面積の3分の1である。
• 網羅法を用いることで、無限等比級数の計算にも（初めて）成功した​​。

アルキメデスは螺旋の1回転分の面積を計算した。${\textstyle S}$によって与えられた${\textstyle r=\theta }$そして、${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}}$つまり、${\textstyle a(C)}$それを囲む円の面積。

証明の概略として、次のことを示したいとしよう。${\textstyle a(S)={\frac {1}{3}}a(C)}$矛盾を生じさせるため、次のように仮定する。${\textstyle a(S)<{\frac {1}{3}}a(C)}$区間を分割する${\textstyle [0,2\pi ]}$の中へ${\textstyle n}$均等なピース$\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$、そして各小区間について、螺旋を囲む最小および最大の円形扇形を見つけます。詳細は2番目の画像を参照してください。${\textstyle P}$螺旋の内側のセクターの集合とし、${\textstyle Q}$外側のセクターの集合。次に、${\textstyle a(P)}$これは螺旋の面積の過小評価であり、${\textstyle a(Q)}$過大評価。アルキメデスは、${\textstyle n}$十分に大きい、${\textstyle a(Q)-a(P)<\epsilon }$いかなる場合でも${\textstyle 0<\epsilon }$。

さて、定義します${\textstyle \epsilon$ :={\frac {1}{3}}a(C)-a(S)} 。すると、${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)-a(S)>a(Q)-a(P)}$仮定により、したがって${\textstyle {\frac {1}{3}}a(C)>a(Q)+a(S)-a(P)>a(Q)}$螺旋が囲んでいるため${\textstyle P}$しかし、面積を明示的に計算することができます。${\textstyle Q}$面積の合計に等しいので${\displaystyle n}$外側の円形セグメントはそれぞれ面積が${\textstyle {\frac {\theta }{2}}r_{i}^{2},}$のために${\textstyle i\in \{1,\dots ,n\}}$つまり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(Q)&={\frac {\theta }{2}}r_{1}^{2}+{\frac {\theta }{2}}r_{2}^{2}+...+{\frac {\theta }{2}}r_{n}^{2}\\&={\frac {\theta }{2}}\left(\theta ^{2}+(2\theta )^{2}+...+(n\theta )^{2}\right)\\&={\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{aligned}}}$$

アルキメデスが発見した平方和の公式を用いる。

こうして、我々は不等式に戻る。

$${\displaystyle {\frac {\theta ^{3}}{12}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {1}{3}}a(C).}$$

円の半径は$2π$円の面積は${\textstyle a(C)=4\pi ^{3}}$それを上記の不等式に代入すると、$\textstyle \theta ={\frac {2\pi }{n}}}$すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {8\pi ^{3}}{12n^{3}}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)<{\frac {4}{3}}\pi ^{3}.}$$

これはさらに等価なものに縮小されます。

$${\displaystyle \left(n+1\right)\left(2n+1\right)<2n^{2}.}$$

しかし、これはすべての正の場合には誤りである${\textstyle n}$左辺の最初の項はより大きいので${\textstyle n}$そして2番目はより大きい${\textstyle 2n}$なので、それらの積はより大きい$2n^2$こうして、私たちは矛盾に陥ってしまった。

その証拠は${\textstyle a(S)>{\frac {1}{3}}a(C)}$むしろ、それは完全に同等である。螺旋の面積は円の面積の3分の1より小さくも大きくもないので、アルキメデスはそれらが等しいと結論付けた。^{[ 12 ]}

この声明は${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$これはエウドクソスに帰せられるが、彼の解説は現存せず、ユークリッドの『原論』第12巻第2命題に再現されている。

証明の概略として、背理法を用いて次のように仮定する。${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}\iff a(C_{1})>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}).}$ させて${\textstyle P_{1},P_{2}}$なれ${\textstyle n}$内接する 辺の正凸多角形${\textstyle C_{1},C_{2}}$それぞれ定義します。${\textstyle \epsilon$ :=a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})} 。次に、ユークリッドの第 1 巻命題 1 により、${\textstyle N}$いつでも${\textstyle n>N}$、${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<\epsilon }$したがって、定義を用いると${\textstyle \epsilon }$私たちは ${\textstyle a(C_{1})-a(P_{1})<a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}),\quad \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<a(P_{1}).}$

しかし、円以外の任意の2つの正凸多角形については、次のことを示すのは自明である。 ${\textstyle {\frac {a(P_{1})}{a(P_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$、 提供された${\displaystyle n}$固定されています。これを前のステートメントに挿入すると、

$${\displaystyle \left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(P_{2})\implies a(C_{2})<a(P_{2}).}$$

しかし、これは矛盾している。${\textstyle P_{2}\subset C_{2}}$次のステップは、 ${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$これも誤りです。しかし、${\textstyle C_{1},C_{2}}$これは完全に恣意的であった。ラベルを付け替えることで、このケースも追加の証明なしに導かれる。したがって、次のことが成り立つ。${\textstyle {\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}}$[ ^{13 ]​}

積分をリーマン和または台形公式で近似する方法は、どちらも現代版の網羅法と見なすことができる。^{[ 14 ]}

• 力学定理の方法
• 放物線の求積法
• 台形公式
• ピタゴラスの定理