体上の代数

数学において、体上の代数（単に代数と呼ばれることが多い）は、双線型積を備えたベクトル空間です。したがって、代数とは、体の元による乗算、加算、スカラー乗算の演算を含む集合で構成され、「ベクトル空間」と「双線型」によって暗示される公理を満たす代数構造です。 ^[1]

代数における乗算演算は結合的である場合もそうでない場合もあり、結合的代数と非結合的代数という概念につながります。整数nが与えられたとき、n次実正方行列の環は、行列の乗算が結合的であるため、行列の加算と行列の乗算の下での実数体上の結合的代数の例です。ベクトル外積によって与えられる乗算を伴う3 次元ユークリッド空間は、ベクトル外積が非結合的であり、代わりにヤコビ恒等式を満たすため、実数体上の非結合的代数の例です。

代数は、乗算に関して単位元を持つ場合、単位元またはユニタリーである。n次実正方行列の環は、 n次単位行列が行列乗算に関して単位元であるため、単位代数を形成する。これは、ベクトル空間でもある (単位) 環である単位結合代数の例である。

多くの著者は、代数という用語を結合代数、単位結合代数、または代数幾何学などの一部の主題では単位結合可換代数の意味で使用します。

スカラー体を可換環に置き換えると、環上の代数というより一般的な概念が導かれます。代数は、内積空間のような双線型形式を備えたベクトル空間と混同しないでください。そのような空間では、積の結果は空間内ではなく、係数体内にあります。

Kを体とし、A を K 上のベクトル空間とし、ここで·で表されるA × AからAへの追加の二項演算を備えるものとします(つまり、xとyがAの任意の 2 つの要素である場合、x · y はAの要素であり、 xとyの積と呼ばれます)。 このとき、Aのすべての要素x、y、zと、 Kのすべての要素 (多くの場合、スカラーと呼ばれます) aとbに対して次の恒等式が成り立つ場合、AはK上の代数です。

• 右分配法則: ( x + y ) · z = x · z + y · z
• 左分配法則: z · ( x + y ) = z · x + z · y
• スカラーとの互換性: ( ax ) · ( by ) = ( ab ) ( x · y )。

これら 3 つの公理は、二項演算が双線型であることを別の言い方で表したものです。 K上の代数はK代数と呼ばれることもあり、KはAの基底体と呼ばれます。二項演算は、Aにおける乗算と呼ばれることがよくあります。この記事で採用されている慣例によれば、代数の要素の乗算は必ずしも結合的ではありません。ただし、一部の著者は結合代数を指すために代数という用語を使用しています。

ベクトル空間上の二項演算が可換である場合、左分配法則と右分配法則は同等であり、この場合、証明が必要な分配法則は 1 つだけです。一般に、非可換演算の場合、左分配法則と右分配法則は同等ではなく、別々の証明が必要です。

K代数AとBが与えられたとき、K代数の準同型写像、またはK代数準同型写像は、Aのすべてのx、yに対してf ( xy ) = f ( x ) f ( y )となるK線型写像f : A → Bである。AとB が単位写像である場合、 f (1 _A ) = 1 _Bを満たす準同型写像は単位準同型写像と呼ばれる。 AとBの間のすべてのK代数準同型写像の空間は、次のように記述されることが多い 。

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).}$

K代数同型は、全単射の K代数準同型です。

体K上の代数の部分代数は、その任意の 2 つの元の積が再びその部分空間内にあるという特性を持つ線型部分空間です。言い換えると、代数の部分代数は、加算、乗算、およびスカラー乗算に対して閉じている、空でない元の部分集合です。記号で、K代数Aの部分集合Lが部分代数であるとは、 L内のすべてのx、y、およびK内のすべてのcに対して、x · y、x + y、およびcx がすべてL内にあることを意味します。

実数上の 2 次元代数として見た複素数の上記の例では、1 次元の実数直線は部分代数です。

K代数の左イデアルは、部分空間の任意の要素を代数の任意の要素で左側に掛け合わせると、部分空間の要素が生成されるという性質を持つ線形部分空間です。記号で言えば、Lの任意のxとy、Aのz、Kのcに対して、次の 3 つの命題が成り立つ場合、 K代数Aの部分集合L は左イデアルであると言います。

1. x + y はLに含まれる（Lは加法に関して閉じている）、
2. cxはLに含まれる（Lはスカラー乗算に関して閉じている）、
3. z · x はL内にあります( L は任意の元による左乗算に対して閉じています)。

(3) をx · z がLにあると置き換えると、右イデアルが定義されます。両側イデアルは、左イデアルと右イデアルの両方である部分集合です。イデアルという用語自体は、通常、両側イデアルを意味すると解釈されます。もちろん、代数が可換である場合、これらのイデアルの概念はすべて同等です。条件 (1) と (2) を合わせると、L がAの線型部分空間であることに相当します。条件 (3) から、すべての左または右イデアルは部分代数であることがわかります。

この定義は、条件(2)を要求する点で、環のイデアルの定義とは異なります。もちろん、代数がユニタルであれば、条件(3)は条件(2)を意味します。

体の拡大 F / K、つまりK を含むより大きな体Fがある場合、 K上の任意の代数からF上の代数を構築する自然な方法があります。これは、より大きな体上のベクトル空間、つまりテンソル積を作成するのに使用するのと同じ構成です。したがって、 A がK上の代数である場合、 はF上の代数です。 ${\displaystyle V_{F}:=V\otimes _{K}F}$${\displaystyle A_{F}}$

体上の代数にはさまざまな種類があります。これらの種類は、乗算演算の交換性や結合性など、代数の広い定義では必要とされないいくつかの追加の公理を主張することで指定されます。異なる種類の代数に対応する理論は、多くの場合、大きく異なります。

代数が単位元または恒等元Iを持ち、代数内の すべてのxに対してIx = x = xIとなる場合、代数は単位元またはユニタリ代数です。

代数内のすべてのu、vに対してuv = 0となる場合、その代数はゼロ代数と呼ばれます^[2]。1つの要素を持つ代数と混同しないように注意してください。ゼロ代数は本質的に非単位元（要素が1つの場合を除く）、結合法則、可換法則を持ちます。

体(またはより一般的には環) KとKベクトル空間 (または加群) Vの加群の直和をとり、 Vのすべての要素のペアの積がゼロになるように定義することで、単位零代数を定義できます。つまり、λ、μ ∈ Kかつu、v ∈ Vの場合、( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu )です。e ₁、 ... e _{d が}Vの基底である場合、単位零代数は、多項式環K [ E ₁、 ...、En ]を、すべてのペア( i、j )についてE _i E _jによって生成されるイデアルで割った_商です。

単位零代数の例としては、双対数の代数、すなわち 1 次元の実ベクトル空間から構築された 単位零R代数があります。

これらの単位零代数は、代数の一般的な性質をベクトル空間または加群の性質に変換できるため、より一般的に有用である可能性がある。たとえば、グレブナー基底の理論は、体上の多項式環R = K [ x ₁、...、x _n ]のイデアルに対してブルーノ・ブッフバーガーによって導入された。自由R加群上の単位零代数の構成により、この理論を自由加群のサブ加群のグレブナー基底理論として拡張することができる。この拡張により、サブ加群のグレブナー基底を計算するために、イデアルのグレブナー基底を計算するための任意のアルゴリズムとソフトウェアを、変更せずに使用できるようになる。

結合代数の例としては、

• 体（または可換環）K上のすべてのn行n 列の行列の代数。ここでの乗算は通常の行列の乗算です。
• 群代数では、群はベクトル空間の基底として機能し、代数の乗算は群の乗算を拡張します。
• K上のすべての多項式の可換代数K [ x ] （多項式環を参照）。
• 関数の代数、例えば区間[0,1] 上で定義される実数値連続関数全体のR代数や、複素平面上のある固定された開集合上で定義される正則関数全体のC代数など。これらも可換である。
• 接続代数は、特定の半順序集合上に構築されます。
• 線形作用素の代数、例えばヒルベルト空間上の代数。ここで、代数の乗算は作用素の合成によって与えられる。これらの代数も位相を持ち、それらの多くは基礎となるバナッハ空間上で定義され、それによってバナッハ代数になる。反転も与えられると、B*-代数とC*-代数が得られる。これらは関数解析で研究される。

体K上の非結合的代数[ ^3] (または分配代数) は、 K双線型写像を備えたKベクトル空間Aです。ここでの「非結合的」という語は、結合性が仮定されていないことを伝えるためのもので、結合性が禁止されていることを意味するものではありません。つまり、「必ずしも結合的ではない」ことを意味します。 ${\displaystyle A\times A\rightarrow A}$

メイン記事で詳しく説明されている例は次のとおりです。

• ユークリッド空間 R ^{3の乗算は}ベクトル積で与えられる
• 八元数
• リー代数
• ジョーダン代数
• 代替代数
• 柔軟な代数
• べき乗結合代数

単位元を持つ結合的K代数の定義は、別の方法で与えられることもよくある。この場合、体K上の代数は環 Aと環準同型である。

${\displaystyle \eta \colon K\to Z(A),}$

ここでZ ( A ) はAの中心である。η は環準同型なので、Aが零環であるか、ηが単射であるかのいずれかでなければならない。この定義は、スカラー乗算を伴う上記の定義と同等である。

${\displaystyle K\times A\to A}$

与えられた

${\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a.}$

このような結合的な単位K代数AとBが与えられたとき、単位K代数準同型f : A → Bは、 ηによって定義されるスカラー乗法と可換な環準同型であり、次のように書くことができる。

${\displaystyle f(ka)=kf(a)}$

すべてのおよび に対して成立します。言い換えると、次の図は可換です。 ${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}}$

体上の代数では、A × AからAへの双線型乗算は、 Aの基底元の乗算によって完全に決定されます。逆に、 Aの基底が選択されると、基底元の積は任意に設定でき、その後、一意の方法でA上の双線型演算子に拡張されます。つまり、結果として得られる乗算は代数法則を満たします。

したがって、体Kが与えられれば、任意の有限次元代数は、その次元（たとえばn）を与え、スカラーであるn ³構造係数c _i、j、kを指定することによって同型まで 指定できます。これらの構造係数は、次の規則に従って Aの乗算を決定します。

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

ここで、e ₁、...、e _{n は}Aの基底を形成します。

ただし、構造係数の複数の異なるセットによって同型代数が生じる可能性があることに注意してください。

数理物理学では、構造係数は一般に、座標変換による変換特性を区別するために、上付きインデックスと下付きインデックスで表記される。具体的には、下付きインデックスは共変インデックスであり、プルバックによって変換されるが、上付きインデックスは反変インデックスであり、プッシュフォワードによって変換される。したがって、構造係数はc _{i , j} ^kと表記されることが多く、その定義規則はアインシュタイン表記法を使用して次のように 表記される。

e _i e _j = c _{i , j} ^k e _k .

これをインデックス表記のベクトルに適用すると、次のようになります。

（xy）^k = c _i、j ^k x ⁱ y ^j。

K が可換環のみで体でない場合は、 AがK上の自由加群であれば同じプロセスが機能します。そうでない場合は、乗算はAを張るセットへの作用によって完全に決定されます。ただし、この場合、構造定数を任意に指定することはできず、構造定数のみを知っていても同型までの代数を指定することはできません。

複素数体上の2次元、3次元、4次元の単位結合代数は、エドゥアルト・スタディによって同型性まで完全に分類されました。^[4]

このような2次元代数は2つ存在する。各代数は、2つの基底元1（単位元）とaの線形結合（複素係数）から構成される。単位元の定義によれば、

${\displaystyle \textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.}$

指定する必要がある

${\displaystyle \textstyle aa=1}$   最初の代数については、

${\displaystyle \textstyle aa=0}$   2番目の代数について。

このような3次元代数は5つ存在する。各代数は3つの基底元1（単位元）、a、bの線形結合から構成される。単位元の定義を考慮すると、次のように指定するだけで十分である。

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0}$   最初の代数については、

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   2番目の代数については、

${\displaystyle \textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   3番目の代数については、

${\displaystyle \textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b}$   4番目の代数については、

${\displaystyle \textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   5番目の代数について。

これらの代数のうち 4 番目は非可換であり、その他は可換です。

可換代数などの数学の分野では、より一般的な環上の代数の概念を考えるのが一般的であり、この場合、可換環 R は体Kに置き換わります。定義で変わるのは、 AがR加群（ Kベクトル空間ではなく） であると想定される点のみです。

環A は常に その中心上、および整数上の結合的代数です。その中心上の代数の典型的な例は、分割双四元数代数で、これは2 つの四元数代数の直積と同型です。その環の中心は であるため、その中心上の代数の構造を持ちますが、これは体ではありません。分割双四元数代数は当然 8 次元の -代数でもあることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {H} \times \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

可換代数では、Aが可換環であれば、任意の単位環準同型はA上のR加群構造を定義し、これがR代数構造として知られています。^[5]したがって、一意の準同型を取ることができるため、環には自然な -加群構造が伴います。^[6]一方、すべての環に体上の代数の構造を与えることはできません (たとえば整数)。すべての環に体上の代数のように動作する構造を与える試みの説明については、 1 つの元を持つ体を参照してください。${\displaystyle R\to A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \to A}$

• オペラド上の代数
• 代替代数
• クリフォード代数
• 合成代数
• 微分代数
• 自由代数
• 幾何代​​数
• マックスプラス代数
• 突然変異（代数）
• 演算子代数
• ザリスキの補題

• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)。代数、環、加群。 Vol. 1.スプリンガー。ISBN 1-4020-2690-0。