パプス構成

幾何学において、パップス配置はユークリッド平面上の9つの点と9つの直線の配置であり、直線ごとに3つの点があり、各点を通る直線は3本である。^[1]

歴史と建設

この配置は、アレクサンドリアのパップスにちなんで名付けられました。パップスの六角形定理は、 6 本の直線 $Ab$ 、 $aB$ 、 $Ac$ 、 $aC$ 、 $Bc$ 、および $bC$ と、それらの 3 つの交点 X = Ab · aB 、 $Y$ $=$ $Ac$ $\cdot$ $aC$ 、および $Z$ $=$ $Bc$ $\cdot$ $bCを加えることで、$ $共線上の$ $点$ $ABC$ と $abc (いずれも 2 本の直線の交点上にない) の 2 つの 3 つ組をすべてパップス配置に$ $完成$ $できる$ $こと$ $を述べています。これらの 3 つの点は、六角形AbCaBc$ の「反対側」の辺の交点です。パップスの定理によると、結果として得られる 9 つの点と 8 つの直線のシステムには、常に 3 つの交点 $X$ 、 $Y$ 、および $Z を含む 9 番目の直線があり、これを$ パップス直線と呼びます。^[2]

パップス配置は、互いに遠近法の関係にある（対応する点のペアを通る 3 本の線が 1 つの交差点で交わる） 2 つの三角形 $△ XcC$ と $△ YbB$ と、それらの 3 つの遠近法の中心 $Z$ 、 $a$ 、および $A$ から、3 つの異なる方法で導くこともできます。配置の点は三角形の点と遠近法の中心であり、配置の線は対応する点のペアを通る線です。

関連する構造

パップス構成のレヴィグラフはパップスグラフとして知られています。これは18の頂点と27の辺を持つ2部対称立方グラフです。 ^[3]

パップス配置にさらに3本の平行線を追加し、配置の線で結ばれていない3つの点を通るようにすると、ヘッセ配置が生成されます。^[4]

パプス構成と同様に、デザルグ構成は透視三角形の観点から定義することができ、ライ構成は、 4 つの異なる方法で相互に透視されている 2 つの四面体から同様に定義でき、四面体のデスミックシステムを形成します。

ユークリッド平面上の任意の非特異三次平面曲線、曲線の3つの実変曲点、および曲線上の4番目の点について、これら4つの点を完成させて、9つの点すべてが曲線上に位置するようなパップス配置を形成する唯一の方法があります。^[5]

アプリケーション

パップス配置の変形は、果樹園の植栽問題、つまり3点を通る直線の本数が最大となる点の集合を見つける問題に対する解法を提供する。パップス配置の9点は、9本の3点直線のみを形成する。しかし、もう1本の3点直線が存在するように配置することができ、合計10本になる。これは、9点を通る3点直線の最大数である。^[6]

参考文献

^ Grünbaum, Branko (2009)、「点と線の構成」、Graduate Studies in Mathematics、vol. 103、プロビデンス、RI：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4308-6、MR 2510707。
^ Grünbaum (2009)、9ページ。
^ グリュンバウム（2009）、28ページ。
^ Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会誌、56 (5): 413–455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5
^ Mendelsohn, NS; Padmanabhan, R.; Wolk, Barry (1987)、「3次曲線上の「n」クラスターに関するいくつかの考察」、Colbourn, Charles J.; Mathon, RA (eds.)、Combinatorial Design Theory、Annals of Discrete Mathematics、vol. 34、Elsevier、pp. 371–378、doi :10.1016/S0304-0208(08)72903-7、ISBN 9780444703286、MR 0920661。
^ Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A003035」、整数シーケンスのオンライン百科事典、 OEIS Foundation

外部リンク

Weisstein、Eric W.、「Pappus Configuration」、MathWorld

[1] Grünbaum, Branko (2009)、「点と線の構成」、Graduate Studies in Mathematics、vol. 103、プロビデンス、RI：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4308-6、MR 2510707。

[2] Grünbaum (2009)、9ページ。

[3] グリュンバウム（2009）、28ページ。

[4] Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会誌、56 (5): 413–455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5

[5] Mendelsohn, NS; Padmanabhan, R.; Wolk, Barry (1987)、「3次曲線上の「n」クラスターに関するいくつかの考察」、Colbourn, Charles J.; Mathon, RA (eds.)、Combinatorial Design Theory、Annals of Discrete Mathematics、vol. 34、Elsevier、pp. 371–378、doi :10.1016/S0304-0208(08)72903-7、ISBN 9780444703286、MR 0920661。

[6] Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A003035」、整数シーケンスのオンライン百科事典、 OEIS Foundation

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関連する構造

アプリケーション

参考文献

外部リンク

関連するトピック

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ユークリッド平面

配置

アレクサンドリアのパップス