特異点理論

数学において、特異点理論は、多様体に近いが、完全には多様体ではない空間を研究します。弦は、その厚さを無視すれば、1 次元多様体の例として使用できます。特異点は、弦を丸めて床に落とし、平らにすることで作成できます。平らな弦は、場所によっては、ほぼ「X」の形に交差します。床上で弦が交差する点は、特異点の一種である二重点です。床の 1 つの部分が弦の複数の部分に対応します。弦は、下線付きの「U」のように、交差せずに弦自体に触れることもあります。これは別の種類の特異点です。二重点とは異なり、少し押すと「U」の底が「下線」から持ち上がるという意味で、 安定していません。

ウラジミール・アーノルドは、特異点理論の主な目標を、オブジェクトがパラメータにどのように依存するか、特にパラメータの小さな変化によって特性が突然変化するケースを記述することであると定義しています。これらの状況はペレストロイカ (ロシア語: перестройка )、分岐、または大惨事と呼ばれます。変化の種類を分類し、これらの変化を引き起こすパラメータのセットを特徴付けることは、主要な数学的目標の一部です。特異点は、パラメータに依存する行列から波面まで、幅広い数学的オブジェクトで発生する可能性があります。^[1]

特異点理論では、特異点の点と集合の一般的な現象が、多様体（特異点のない空間）がさまざまな経路で特別な特異点を獲得するという概念の一部として研究されます。投影は一方向であり、3 次元のオブジェクトが 2 次元に投影されるときに視覚的に非常に明白です（たとえば、片方の目） 。古典的な彫像を見ると、衣服のひだは最も明らかな特徴の 1 つです。この種の特異点には、プールの底の光のパターンとして非常によく知られている コースティクスが含まれます。

特異点が発生する他の方法は、多様体構造の退化です。対称性の存在は、テーブルナプキンの折り目のように、折り畳まれる過程で「角」を獲得した多様体であるオービフォールドを考慮する十分な理由になります。

歴史的に、特異点は代数曲線の研究で初めて注目されました。曲線の（0, 0）の 二重点

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+x^{3}}$

そしてその 頂点は

${\displaystyle y^{2}=x^{3}\ }$

これらは、スケッチするだけでもわかるように、質的に異なります。アイザック・ニュートンは、これらの例が属する一般的なファミリーであるすべての3次曲線の詳細な研究を行いました。ベズーの定理の定式化では、曲線の交差を説明する際に、このような特異点は重複度（二重点の場合は2、尖点の場合は3）で数えなければならないことが指摘されました。

すると、代数多様体の特異点の一般的な概念を定義すること、つまり、より高次元を許容することは、すぐにできるようになりました。

代数幾何学におけるこのような特異点は、多項式方程式によって定義され、したがって座標系の観点から定義されるため、原理的には研究するのが最も簡単です。特異点の外在的意味は問題ではないと言えます。内在的観点からは、周囲空間の座標は、その点における代数多様体の幾何学をそのまま変換するものではないというだけです。このような特異点の徹底的な研究は、最終的に、広中平祐の特異点の解決に関する基本定理(特性0の双有理幾何学) につながりました。これは、二重点での交差を「明らかに」使用して、弦を「持ち上げる」という単純なプロセスが本質的に誤解を招くものではないことを意味します。代数幾何学のすべての特異点は、ある種の非常に一般的な崩壊として(複数のプロセスを通じて) 回復できます。この結果は、アフィン幾何学を射影幾何学に拡張するために暗黙的に使用されることがよくあります。射影空間での閉包が取られると、アフィン多様体が無限遠の超平面上に特異点を獲得するのはまったく典型的なことです。解決によれば、そのような特異点はむしろ（複雑な）一種のコンパクト化として扱うことができ、最終的にはコンパクト多様体になります（つまり、ザリスキー位相ではなく、強い位相の場合）。

広中の研究とほぼ同時期に、ルネ・トムのカタストロフィー理論が大きな注目を集めていた。これは特異点理論の別の分野であり、ハスラー・ホイットニーの臨界点に関する以前の研究に基づいている。大まかに言えば、滑らかな関数の臨界点とは、レベルセットが幾何学的な意味で特異点を発達させる点である。この理論は、多項式だけでなく、微分可能関数一般を扱う。これを補うために、安定した現象だけが考慮される。自然界では、小さな変化によって破壊されたものは何も観察されないと主張することもできる。目に見えるものが安定しているのだ。ホイットニーは、変数の数が少ない場合、臨界点の安定した構造は局所的に非常に制限されることを示していた。トムはこれと自身の以前の研究を基にして、自然界の不連続な変化を説明する カタストロフィー理論を生み出した。

トムは著名な数学者であったが、その後クリストファー・ゼーマンによって広められた初等的カタストロフィー理論が流行したことは、特にウラジミール・アーノルドの側で反発を引き起こした。^[2]代数幾何学からの入力だけでなく、ホイットニー、トムおよび他の著者の研究から生じたものを含む領域に特異点理論という用語を適用したことは、彼の責任が大きいと思われる。彼は、領域の小さな部分を強調しすぎるという宣伝に対する嫌悪感を明らかにする言葉で書いた。滑らかな特異点に関する基礎研究は、特異点および胚における同値関係の構築として定式化される。技術的には、これはジェット空間上のリー群の群作用を含む。より抽象的な言葉で言えば、テイラー級数が変数変換まで調べられ、十分な導関数を持つ特異点が特定される。アーノルドによれば、その応用は、古典力学の幾何学的形式としてのシンプレクティック幾何学に見られる。

特異点が数学で問題を引き起こす重要な理由は、多様体構造が破綻すると、ポアンカレ双対性の呼び出しも許可されなくなることです。大きな進歩は交差コホモロジーの導入であり、これは当初、層の使用によって双対性を復元する試みから生まれました。ホモロジー代数における倒錯層の概念など、数多くのつながりと応用が元のアイデアから生まれました。

上記の理論は、関数が定義されない値としての数学的特異点の概念とは直接関係がありません。これについては、たとえば、孤立特異点、本質特異点、除去可能な特異点を参照してください。しかし、複素領域における特異点周辺の微分方程式のモノドロミー理論は、幾何学理論と関係があります。大まかに言えば、モノドロミーは被覆写像がどのように退化できるかを研究し、特異点理論は多様体がどのように退化できるかを研究します。そして、これらの分野は関連しています。