モジュラー形式

数学において、モジュラー形式とは、上半平面、上の(複素)解析関数であり、次式を満たします。 ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$

• モジュラー群の群作用に関する一種の関数方程式、
• そして成長条件。

したがって、モジュラー形式の理論は複素解析に属します。この理論の主な重要性は、数論とのつながりにあります。モジュラー形式は、代数的位相幾何学、球面パッキング、弦理論などの他の分野にも登場します。

モジュラー形式理論は、より一般的な保型形式の理論の特殊なケースであり、保型形式は、モジュラー群の例を一般化して、特定の離散部分群の作用に関してうまく変換するリー群上で定義された関数です。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

体系的な説明としての「モジュール形式」という用語は、通常、エーリッヒ・ヘッケに帰属します。

各モジュラー形式はガロア表現に関連付けられている。^[1]

一般に、^[2]算術群と呼ばれる有限指数の部分群が与えられた場合、レベルと重みのモジュラー形式は上半平面からの正則関数であり、次の2つの条件が満たされます。 ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$

• 自己同型条件: 任意のに対して等式が存在する^{[注 1]}${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$
• 成長条件: 任意の関数に対して、関数は有界である${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

ここで、関数は行列と同一視されます。このような関数をこのような行列と同一視すると、このような関数の合成は行列の乗算に対応します。さらに、次の成長条件を満たす場合、 それはカスプ形式と呼ばれます。${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$${\textstyle \gamma }$${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$

• 尖頭条件: 任意の関数として${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

モジュラー形式は、モジュラー多様体上の特定の線束 のセクションとして解釈することもできます。レベルと重量のモジュラー形式は、要素として定義できます。${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )}$

モジュラー曲線上の標準直線束はどこにあるか${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

これらのモジュラー形式の空間の次元は、リーマン・ロッホの定理を使用して計算できます。^[3]の古典的なモジュラー形式は、楕円曲線のモジュライスタック上の線束の切断です。 ${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

モジュラー関数は、モジュラー群に関して不変な関数ですが、f  ( z ) が上半平面で正則であるという条件 (その他の要件) がありません。代わりに、モジュラー関数は有理型です。つまり、関数の極である孤立点の集合の補集合上で正則です。

モジュラー群の重みkのモジュラー形式

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

は上半平面H = { z∈C , Im ( z )>0}上の複素数値関数fであり、次の3つの条件を満たす 。  

1.  f は H上の正則関数です。
2. 任意のz∈Hと上記のようなSL(2, Z )内の任意の行列に対して、次式が成り立ちます。

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.  f は z → i ∞として制限される必要がある。

備考：

• 重みk は通常、正の整数です。
• kが奇数の場合、ゼロ関数のみが 2 番目の条件を満たすことができます。
• 3 番目の条件は、fが「カスプで正則」であるという表現でも表されます。この用語については以下で説明します。明示的には、条件は、 が存在すること、つまり、何らかの水平線より上に有界であることを意味します。  ${\displaystyle M,D>0}$${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$${\displaystyle f}$
• 2番目の条件は

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

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${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

それぞれSとTは モジュラー群SL(2, Z )を生成するので、上記の2番目の条件はこれら2つの式と同等です。

• f  ( z + 1) =   f  ( z )なので、モジュラー形式は周期1 の周期関数であり、フーリエ級数を持ちます。 

モジュラー形式は、 C内の格子集合から特定の条件を満たす 複素数集合への関数Fとして定義することもできます。

1. 定数αと変数zによって生成される格子Λ = Z α + Z zを考えると、F (Λ) はzの解析関数になります。
2. αがゼロでない複素数で、α Λ がΛの各要素にαを乗じて得られる格子である場合、F ( α Λ ) = α ^{− k} F (Λ)となります。ここで、kは形式の重みと呼ばれる定数 (通常は正の整数) です。
3. F (Λ)の絶対値は、 Λ内の最小の非ゼロ要素の絶対値が 0 から離れる方向に制限されている限り、上方向に制限されたままです。

2 つの定義の同等性を証明する上で重要な考え方は、そのような関数F は、2 番目の条件により、Z + Z τ（τ ∈ H ）の形式の格子上の値によって決定されるということです。

I. エイゼンシュタインシリーズ

この観点から最も単純な例はアイゼンシュタイン級数である。 k > 2 の各偶数整数に対して、 G _k (Λ) をΛのすべての非ゼロベクトルλ上のλ ^{− k}の合計として定義する。

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

このとき、G _{k は}重みkのモジュラー形式となる。Λ = Z + Z τのとき 、

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

収束には条件k > 2が必要です。 kが奇数の場合、λ ^{− k}と(− λ ) ^{− k}の間に相殺があり、そのような級数は完全にゼロになります。

II. 偶ユニモジュラ格子のシータ関数

R ⁿの偶ユニモジュラ格子 Lは、行列式が 1 の行列の列を形成するn 個のベクトルによって生成される格子であり、 Lの各ベクトルの長さの 2 乗が偶数であるという条件を満たします。いわゆるシータ関数

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

Im(z) > 0 のとき収束し、ポアソン和公式の結果として重みn /2のモジュラー形式であることが示されます。偶数ユニモジュラー格子を構成するのはそれほど簡単ではありませんが、1つの方法があります。n を8 で割り切れる整数とし、2 v が整数座標を持ち、すべて偶数またはすべて奇数で、vの座標の合計が偶数であるようなR ⁿのすべてのベクトルvを考えます。この格子をL _{nと呼びます。} n = 8のとき、これはE ₈と呼ばれるルートシステムのルートによって生成される格子です。スカラー乗算を除いて重み 8 のモジュラー形式は 1 つしかないため、

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

格子L ₈ × L ₈とL ₁₆は相似ではないが、ジョン・ミルナーは、 R ^{16 を}これら 2 つの格子で割って得られる16 次元トーラスは、等スペクトルだが等長ではないコンパクトリーマン多様体の例であると観察しました( 「ドラムの形を聞く」を参照)。

III. モジュラー判別式

デデキントのイータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

ここでq はノームの二乗である。すると、モジュラー判別式 Δ( z ) = (2π) ¹² η ( z ) ^{24 は}重み 12 のモジュラー形式になる。24 が存在するのは、リーチ格子が 24 次元であるという事実に関係している。有名なラマヌジャンの予想では、Δ( z ) をq のべき級数として展開すると、 任意の素数pに対するq ^pの係数の絶対値は≤ 2 p ^11/2になると主張した。これは、ラマヌジャンの予想を導くことが示された ヴェイユ予想のデリーニュによる証明の結果として、アイヒラー、志村、久我、井原、ピエール・ドリーニュの研究によって確認された。

2番目と3番目の例は、モジュラー形式と、整数の2次形式による表現や分割関数などの数論における古典的な問題との関係について、ある程度のヒントを与えている。モジュラー形式と数論の間の重要な概念的なつながりは、ヘッケ演算子の理論によって提供され、この理論はモジュラー形式の理論と表現論の間のつながりも与えている。

重みkが 0 のとき、リウヴィルの定理を使用して、モジュラー形式は定数関数のみであることが示されます。ただし、 fが正則であるという要件を緩和すると、モジュラー関数の概念が生まれます。関数f  : H → C は、次の特性を満たす場合、モジュラーと呼ばれます。

• fは開いた上半平面Hにおいて有理型である
• モジュラー群Γ内のすべての整数行列 に対して、.${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$
• 2番目の条件は、fが周期的であり、したがってフーリエ級数を持つことを意味している。3番目の条件は、この級数が次の形式であるということである。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

これは、次のように (ノームの二乗)で表すことが多いです。 ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

これはfのq展開( q 展開原理)とも呼ばれます。係数はfのフーリエ係数として知られ、数mは i∞ におけるfの極の位数と呼ばれます。この条件は「カスプで有理型」と呼ばれ、負のn係数のうちゼロでないものは有限個しかないため、q展開は下方に有界となり、 q  = 0 で有理型であることが保証されます。 ^{[注 2]}${\displaystyle a_{n}}$

モジュラー関数のより弱い定義が使われることもある。代替定義では、f が開いた上半平面で有理型であり、有限指数のモジュラー群の部分群に関してfが不変であれば十分である。 ^[4]この論文ではこれに従っていない。

モジュラー関数の定義を別の方法で表現すると、楕円曲線を使用することになります。つまり、すべての格子 Λ は、C上の楕円曲線 C /Λ を決定します。2 つの格子が同型楕円曲線を決定するのは、一方が他方から何らかの非ゼロの複素数αを乗じて得られる場合のみです。したがって、モジュラー関数は、楕円曲線の同型類の集合上の有理型関数と見なすこともできます。たとえば、楕円曲線のj 不変量j ( z ) は、すべての楕円曲線の集合上の関数と見なすと、モジュラー関数になります。より概念的に、モジュラー関数は、複素楕円曲線の同型類のモジュライ空間上の関数と考えることができます。

q = 0 (つまり、a ₀ = 0 、 z = i ∞とも言い換えられる)で消滅するモジュラー形式fは、カスプ形式(ドイツ語ではSpitzenform )と呼ばれます。 a _n ≠ 0となる最小のn は、 i ∞におけるfの零点の位数です。

モジュラーユニットは、極と零点が尖点に限定されたモジュラー関数である。^[5]

関数方程式、すなわちに対するfの挙動は、より小さなグループ内の行列に対してのみ要求することで緩和できます。 ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

G を有限指数のSL(2, Z )の部分群とする。そのような群G はSL(2, Z )と同じようにHに作用する。商位相空間G \ Hはハウスドルフ空間であることが示される。典型的にはコンパクトではないが、カスプと呼ばれる有限個の点を追加することでコンパクト化できる。これらはHの境界、つまりQ ∪{∞}の点である^{[注 3] 。そこでは、点を固定する}Gの放物線要素(トレース±2の行列) が存在する。これにより、コンパクトな位相空間G \ H ^∗が得られる。さらに、これはリーマン面の構造を備えることができ、これによりホロ型関数と有理型関数について話すことができる。

重要な例としては、任意の正の整数Nに対して、合同部分群のいずれか

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

G = Γ ₀ ( N ) またはΓ( N )の場合、空間G \ HとG \ H ^{∗ はそれぞれ}Y ₀ ( N ) とX ₀ ( N ) とY ( N )、X ( N ) と表されます。

G \ H ^∗の幾何学は、 Gの基本領域、すなわち、D がH上のG作用の各軌道とちょうど1回交差し、 Dの閉包がすべての軌道と交わるような部分集合D ⊂ H を調べることで理解できます。たとえば、G \ H ^∗の種数は計算できます。^[6]

重みkのGのモジュラー形式は、 Gのすべての行列に対して上記の関数方程式を満たすH上の関数であり、 H上およびGのすべてのカスプ上で正則です。また、すべてのカスプで消えるモジュラー形式は、Gのカスプ形式と呼ばれます。重みkのモジュラー形式とカスプ形式のCベクトル空間は、それぞれM _k ( G )およびS _k ( G )と表記されます。同様に、 G \ H ^∗上の有理型関数は、 Gのモジュラー関数と呼ばれます。 G = Γ ₀ ( N )の場合、これらはレベルNのモジュラー形式/カスプ形式および関数とも呼ばれます。G = Γ(1) = SL(2, Z )の場合、これは前述の定義を返します。

リーマン面の理論をG \ H ^∗に適用すると、モジュラー形式と関数に関するさらなる情報が得られます。たとえば、空間M _k ( G )とS _k ( G )は有限次元であり、その次元はH上のG作用の幾何学に関してリーマン・ロッホの定理によって計算できます。^[7]たとえば、

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで は床関数を表し、 は偶数です。 ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$${\displaystyle k}$

モジュラー関数はリーマン面の関数体を構成し、したがって超越次数1 ( C上) の体を形成する。モジュラー関数fが恒等的に 0 でない場合、 fの零点の数は基本領域R _Γの閉包におけるfの極の数に等しいことが示される。レベルN ( N ≥ 1)のモジュラー関数体は関数j ( z ) とj ( Nz ) によって生成されることが示される。^[8]

この状況は、射影空間P( V )上の関数の探索で生じる状況と比較すると有益です。その設定では、理想的には、ベクトル空間V上の関数Fが、 V内のv  ≠ 0の座標で多項式であり、すべての非ゼロのcに対して方程式F ( cv ) =  F ( v ) を満たすことが求められます。残念ながら、そのような関数は定数だけです。分母 (多項式ではなく有理関数) を許可すると、F を同じ次数の2 つの同次多項式の比にすることができます。あるいは、多項式に固執してcへの依存性を緩め、 F ( cv ) =  c ^k F ( v )とすることができます。その場合、解はk次同次多項式になります。一方で、これらは各 kに対して有限次元のベクトル空間を形成し、他方では、k を変化させると、実際には基礎となる射影空間 P( V )上の関数であるすべての有理関数を構成するための分子と分母を見つけることができます。

同次多項式は実際には P( V )上の関数ではないので、幾何学的に言えば何なのかと疑問に思う人もいるかもしれません。代数幾何学的な答えは、それらは層のセクションであるということです(この場合は線束とも言えます)。モジュラー形式の状況はまさに類似しています。

モジュラー形式は、楕円曲線のモジュライ空間上の線束の切断として、この幾何学的方向から効果的にアプローチすることもできます。

SL(2, Z )の部分群Γに対して、モジュラー形式の環はΓのモジュラー形式によって生成される次数付き環です。言い換えると、M _k (Γ) が重みkのモジュラー形式のベクトル空間である場合、 Γのモジュラー形式の環は次数付き環です。 ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$

SL(2, Z )の合同部分群のモジュラー形式の環は、ピエール・ドリーニュとマイケル・ラポポートの結果により有限生成されます。合同部分群が非ゼロの奇数の重みのモジュラー形式を持つ場合、そのようなモジュラー形式の環は最大6の重みで生成され、関係は最大12の重みで生成され、非ゼロの奇数の重みのモジュラー形式がない場合は、対応する境界は5と10です。

より一般的には、モジュラー形式の環の生成元の重みと任意のフックス群の関係に関する境界の公式が存在します。

新しい形式は、固定レベルのモジュラー形式^[9]の部分空間であり、を分割するより低いレベルのモジュラー形式からは構成できません。その他の形式は古い形式と呼ばれます。これらの古い形式は、次の観察を使用して構成できます。 の場合、モジュラー形式を逆に包含します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\mid N}$${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$

カスプ形式は、フーリエ級数に定数係数がゼロであるモジュラー形式です。この形式はすべてのカスプで消えるため、カスプ形式と呼ばれます。

この古典的な用法以外にも、「モジュラー関数」という用語にはさまざまな用法があります。たとえば、ハール測度の理論では、これは共役作用によって決定される 関数Δ( g )です。

マース形式はラプラシアンの実解析的 固有関数であるが、正則である必要はない。特定の弱いマース波形の正則部分は本質的にラマヌジャンの模擬シータ関数であることが判明している。SL (2, Z )の部分群ではない群を考慮することができる。

ヒルベルト・モジュラー形式は、それぞれが上半平面上の複素数であるn個の変数の関数であり、完全な実数体内の要素を持つ2×2行列のモジュラー関係を満たします。

ジーゲルモジュラー形式は、古典モジュラー形式がSL(2, R )に関連付けられているのと同じ方法で、より大きなシンプレクティック群に関連付けられます。言い換えると、古典モジュラー形式 (この点を強調するために楕円モジュラー形式と呼ばれることもあります) が楕円曲線に関連付けられているのと同じ意味で、ジーゲルモジュラー形式はアーベル多様体に関連付けられます。

ヤコビ形式は、モジュラー形式と楕円関数の混合です。このような関数の例は非常に古典的です (ヤコビ シータ関数や、種数 2 のシーゲル モジュラー形式のフーリエ係数など)。しかし、ヤコビ形式が通常のモジュラー形式の理論に非常に類似した算術理論を持つという観察は比較的最近です。

保型形式はモジュラー形式の概念を一般リー群に拡張します。

重みkのモジュラー積分は、無限遠で中程度に増加する上半平面上の有理型関数であり、有理関数によって 重みkのモジュラーになることはできません。

保型因子は、モジュラー形式を定義するモジュラリティ関係を一般化するために使われる 形式の関数であり、${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

この関数はモジュラー形式のネベンタイプと呼ばれます。重み 1/2 のモジュラー形式であるデデキントのイータ関数などの関数は、保型因子を許容することで理論に含まれる場合があります。 ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$

モジュラー形式の理論は 4 つの期間にわたって発展しました。

• 楕円関数の理論に関連して、19世紀初頭に
• 19世紀末にフェリックス・クラインらによって保型形式の概念が理解されるようになると（1変数の場合）
• エーリッヒ・ヘッケ著1925年頃
• 1960 年代には、数論の必要性と特にモジュラ性定理の定式化により、モジュラー形式が深く関わっていることが明らかになりました。

谷山と志村は、特定のモジュラー形式と楕円曲線が 1 対 1 で対応していることを明らかにしました。ロバート・ラングランズは、このアイデアを基にして、数学における最も広範囲かつ影響力のある研究プログラムの 1 つとなった、 拡張ラングランズ プログラムを構築しました。

1994年、アンドリュー・ワイルズはモジュラー形式を用いてフェルマーの最終定理を証明した。2001年には、すべての楕円曲線が有理数上でモジュラーであることが証明された。2013年には、楕円曲線が実二次体上でモジュラーであることが証明された。2023年には、楕円曲線が、有理数と-5までの整数の平方根を組み合わせて形成される体を含む虚二次体の約半分上でモジュラーであることが証明された。^[1]

• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

• アポストル、トム・M.（1990）、モジュラー関数と数論におけるディリクレ級数、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-97127-0
• ダイアモンド、フレッド、シュルマン、ジェリー・マイケル（2005）、モジュラー形式入門、大学院数学テキスト第228巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーグ、ISBN 978-0387232294 モジュラリティ定理の証明の概要を説明します。
• ゲルバート、スティーブン S. (1975)、「アデール群の保型形式」、数学研究年報、第 83 巻、プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局、MR  0379375表現論の観点からモジュラー形式を解説します。
• ヘッケ、エーリッヒ(1970)、数学ヴェルケ、ゲッティンゲン:ヴァンデンフック & ループレヒト
• ランキン、ロバート A. (1977)、モジュラー形式と関数、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-21212-X
• リベット、K.; スタイン、W.、モジュラー形式とヘッケ演算子に関する講義
• セール、ジャン＝ピエール（1973）、算数コース、大学院数学テキスト第7巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク第7章では、モジュラー形式の理論の初歩的な入門を説明します。
• Skoruppa, NP; Zagier, D. (1988)、「Jacobi 形式とモジュラー形式の特定の空間」、Inventiones Mathematicae、94、Springer :113、Bibcode :1988InMat..94..113S、doi :10.1007/BF01394347
• 数学の「第5の基本演算」であるモジュラー形式を見てみましょう