微積分学の歴史

ヨハネス・ケプラーの1615年に出版された著作『Stereometrica Doliorum』は、積分学の基礎を形成した。^{[ 23 ]}ケプラーは、楕円の焦点から引かれた多数の半径の長さを足し合わせることによって楕円の面積を計算する方法を開発した。^{[ 24 ]}

重要な業績の一つ​​は、ケプラーの方法に触発された論文^{[ 24 ]}で、ボナヴェントゥラ・カヴァリエリが1635年に発表した「不可分量の方法」に関するものである。彼は、体積と面積は無限に薄い断面の体積と面積の合計として計算されるべきだと主張した。彼は曲線の下の面積を与えるカヴァリエリの求積公式を発見した。${\displaystyle x^{n}}$より高次のもの。これは以前、アルキメデスが『方法』の中で放物線について同様の方法で計算していたが、この論文は13世紀に失われたと考えられており、20世紀初頭に再発見されたため、カヴァリエリには知られていなかっただろう。カヴァリエリの方法は誤った結果につながる可能性があり、彼が導入した微小量も当初は評判が悪かったため、彼の研究はあまり評価されなかった。

トリチェリはカヴァリエリの研究をサイクロイドなどの他の曲線に拡張し、その後、1656年にウォリスによってその公式は分数と負のべき乗に一般化されました。1659年の論文で、フェルマーは任意のべき関数の積分を直接評価する独創的なトリックを考案したとされています。^{[ 25 ]}フェルマーはまた、さまざまな平面図形や立体図形の重心を求める技術も得ており、これは求積法のさらなる研究に影響を与えました。

17世紀、ヨーロッパの数学者アイザック・バロー、ルネ・デカルト、ピエール・ド・フェルマー、ブレーズ・パスカル、ジョン・ウォリスらは、微分の概念について議論した。特に、 1636年に出版された『Methodus ad disquirendam maximam et minima』と『De tangentibus linearum curvarum』の中で、フェルマーは無限小の誤差項を除いて等しいことを表す等価性の概念を導入した。 ^{[ 26 ]}この方法は、さまざまな曲線の最大値、最小値、接線を決定するために使用でき、微分と密接に関連していた。^{[ 27 ]}

アイザック・ニュートンは後に、微積分に関する自身の初期の考えは「フェルマーの接線の描き方」から直接得たものだと書いた。^{[ 28 ]}

微積分学の正式な研究は、カヴァリエリの無限小と、ほぼ同時期にヨーロッパで発展した有限差分法、そしてフェルマーの等式を結びつけた。この組み合わせは、ジョン・ウォリス、アイザック・バロー、ジェームズ・グレゴリーによって達成され、後者の2人は1670年頃に微積分学の第二基本定理の先駆者を証明した。 ^{[ 29 ] [ 30 ]}

フェルマーの接線と求積法への貢献に影響を受けたジェームズ・グレゴリーは、積分は関数の任意の原始関数を用いて計算できるという、微積分学の第二基本定理の制限版を証明することができた。^{[ 31 ] [ 32 ]}

微積分学の基本定理の最初の完全な証明は、アイザック・バローによって与えられました。^{[ 33 ]： p.61、接点Fで弧ME～弧NHの場合、図26 [ 34 ]}

実変数関数の微積分を確立するための前提条件の一つは、有理関数の原始関数を見つけることであった。${\displaystyle \textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$この問題は、直角双曲線の求積問題として表現できます。${\displaystyle xy=1}$1647年、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、必要な関数が${\displaystyle F}$満足​​${\displaystyle F(st)=F(s)+F(t)}$⁠、そのため等比数列は、 ⁠の下で${\displaystyle F}$⁠、等差数列。AA de Sarasa はこの特徴を、乗算を加算に変換することで算術を効率化する対数と呼ばれる当時のアルゴリズムと関連付けました。したがって、⁠${\displaystyle F}$は、最初は双曲線対数として知られていました。オイラーがe = 2.71828...を利用した、${\displaystyle F}$は指数関数の逆関数として特定され、自然対数となり、次の条件を満たした。${\displaystyle \textstyle {\frac {dF}{dx}}={\frac {1}{x}}}$⁠ .

ロルの定理の最初の証明は、オランダの数学者ヨハン・ファン・ワーフェレン・フッデが開発した方法を用いて、1691年にミシェル・ロルによって行われた。^{[ 35 ]}現代の平均値の定理は、近代微積分学の創始後、ベルナール・ボルツァーノとオーギュスタン＝ルイ・コーシー（1789-1857）によって述べられた。バロー、ホイヘンス、その他多くの人々が重要な貢献をした。

バローは微積分を発明したと一部の著者から評価されているが、スイスの数学者フロリアン・カジョリは、バローが「微積分の解析的手法で通常求められる線、面積、体積を求めることができる作図法を示唆する幾何学的定理」を考案したことは事実だが、「数学者の間で一般的に微分積分という用語で呼ばれているもの」を創造したわけではないと指摘し、さらに「同等の結果をもたらす2つの手法が必ずしも同じであるとは限らない」と述べている。カジョリは最後に「この発明は正しくニュートンとライプニッツに帰属する」と結論付けている。^{[ 36 ]}

ニュートンは、自身の流率計算を体系化した決定的な出版物を完成させることはなかった。むしろ、彼の数学的発見の多くは、書簡、小論文、あるいは『プリンキピア』や『光学』などの他の決定的な著作に組み込まれた形で伝えられた。ニュートンは、ケンブリッジでアイザック・バローの後継者として数学の訓練を始めた。彼の才能は早くから認められ、彼はすぐに当時の理論を習得した。1664年までに、ニュートンは二項定理を発展させ、それを分数指数や負の指数を含むように拡張することで、最初の重要な貢献を果たした。ニュートンは、有限量の代数を無限級数の解析に適用することで、二項定理の適用範囲を拡大することに成功した。彼は、無限級数を近似的な手段としてだけでなく、項を表現する別の形式としても捉える意欲を示した。^{[ 40 ]}

ニュートンは1664年から1666年の間に微積分を定式化し、^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}後に「私の時代の発明と数学と[自然]哲学の絶頂期は、それ以降のどの時代よりも優れていた」と述べている。1665年5月20日付の原稿には、ニュートンが「連続曲線の任意の点における接線と曲率を計算できるところまで微積分を発展させていた」ことが示されている。^{[ 44 ]}ペストによる隔離中に、未発表の『 De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas』に、流動微積分の最初の記述概念が記録された。この論文で、彼はまず瞬間的な変化率を計算し、次に総面積を外挿することによって曲線の下の面積を決定した。彼は面積がxとyの関数である無限に小さな三角形について推論することから始めた。彼は、横軸の微小な増加によって、 x = x + oという新しい式が生まれると考えた（重要なのは、oは数字の0ではなく文字である）。そして、二項定理を用いて面積を再計算し、文字oを含むすべての量を削除して、面積を表す代数式を再構成した。重要なことに、ニュートンは、 oを含む量を「消去」した。なぜなら、「o を掛けた項は、他の項に比べて無意味になる」からである。

この時点でニュートンは、反転という中心的な性質に気づき始めていた。彼はある一点での瞬間的な増加を考慮することで、曲線の下の面積を表す式を作り出した。事実上、微積分学の基本定理が彼の計算に組み込まれていた。彼の新しい定式化は計り知れない可能性を秘めていたが、ニュートンは当時、その論理的な限界を十分に認識していた。彼は「数学においては、どんなに小さな誤りであっても無視してはならない」と認め、自分が成し遂げたことは「正確に証明されたというよりは、簡潔に説明されたに過ぎない」と述べている。

微積分に厳密な説明と枠組みを与えるため、ニュートンは1671年に『Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum』を編纂した。この本の中で、ニュートンの厳密な経験主義が彼の流動微積分を形成し、定義づけた。彼は瞬間的な運動と無限小を非公式に利用した。彼は物理世界を説明するための方法論的ツールとして数学を使用した。ニュートンの改訂された微積分の基礎は連続性となり、そのため彼は計算を連続的な流動運動の観点から再定義した。ニュートンにとって、可変量は無限小要素の集合ではなく、運動という紛れもない事実によって生成される。彼の多くの著作と同様に、ニュートンは出版を遅らせた。『Methodus Fluxionum』は1736年まで出版されなかった。 ^{[ 45 ]}

ニュートンは、変化の比率 に基づいて計算を行うことで、微小量の使用を避けようと試みた。『 Methodus Fluxionum』の中で、彼は生成された変化率をfluxion（点付きの文字で表した）と定義し、生成された量をfluent（フルエント）と定義した。例えば、${\displaystyle {x}}$そして${\displaystyle {y}}$流暢な人であれば、${\displaystyle {\dot {x}}}$そして${\displaystyle {\dot {y}}}$それらはそれぞれの流率である。この改訂された比率の計算は発展を続け、1676年のテキストDe Quadratura Curvarumで成熟した形で述べられ、ニュートンはそこで、現在の微分を究極の変化率として定義し、それを問題となっている瞬間にのみ存在する、消えゆく増分（流率の比）間の比として定義した。本質的に、究極の比は増分が消滅するときの比である。重要なことに、ニュートンは運動に訴えることで究極の比の存在を説明した。^{[ 46 ]}

なぜなら、究極速度とは、物体が最終位置に到達する前でも、運動が停止した後でもなく、まさに到着した瞬間に物体が移動する速度を意味するからである。… 消滅する量の究極比とは、量が消滅する前でも後でもなく、消滅するのと同時に存在する量の比を意味する。

ニュートンは、計算において非公式に用いられる微小量の使用を避けるために、流率計算を開発した。

歴史家のA・ルパート・ホールは、ニュートンが同時代の学者たちと比べて微積分を急速に発展させたことを指摘し、「ニュートンは1690年よりずっと前に、ライプニッツ、ベルヌーイ兄弟、ロピタル、ヘルマンらが1700年代初頭までに共同で出版した微積分学の発展段階にほぼ達していた」と述べている。^{[ 47 ]}ホールはまた、ニュートンは『プリンキピア』では流率法を用いなかったものの、微分方程式の積分に相当する方法を用いて問題を解決することができたと述べており、「実際、彼は著書の中で、後の微積分学の提唱者たちが自らの斬新な業績とみなした多くの結果を先取りしていた」としている。^{[ 48 ]}

ニュートンは1665年から1666年にかけて流率計算の開発を始めたが、その発見が広く知られるようになったのは後のことだった。その間、ライプニッツもまた自身の計算体系の構築に努めた。幼い頃から数学に親しんだニュートンとは対照的に、ライプニッツは成熟した知性をもって厳密な数学研究を始めた。彼は博学者であり、その知的関心と業績は形而上学、法律、経済学、政治学、論理学、そして数学に及んだ。ライプニッツの計算体系における推論を理解するためには、彼の背景を念頭に置く必要がある。特に、宇宙をモナドロジーとして記述した彼の形而上学、そして「理性のすべての真理をある種の計算に還元する一般的な方法」という、正確な形式論理を構築しようとする彼の計画は重要である。^{[ 49 ]}

1672年、ライプニッツは数学者のホイヘンスと出会い、ホイヘンスはライプニッツに数学の研究に多くの時間を費やすよう説得した。1673年までにライプニッツはパスカルの『円四分の一正弦論』を読むまでに至り、独学で研究を進めていた最中に「ひらめきが訪れた」とライプニッツは述べている。ニュートンと同様に、ライプニッツは正接を比率と捉えたが、それを単に縦座標と横座標の比率であると宣言した。彼はこの推論をさらに推し進め、積分は実際には横座標の無限小区間における縦座標の和、つまり無限個の長方形の和であると主張した。これらの定義から逆の関係、すなわち微分が明らかになり、ライプニッツはすぐに全く新しい数学体系を構築できる可能性に気づいた。ニュートンは生涯を通じて、無限小を用いる方法に加えていくつかの方法を用いたが、ライプニッツはこれを自身の記法と微積分学の基礎とした。^{[ 50 ] [ 51 ]}

1675年10月25日から11月11日までの手稿の中で、ライプニッツは様々な記法を用いた自身の発見と実験を記録している。彼は使用される記法用語を鋭く意識しており、正確な論理記号体系を構築しようとする彼の以前からの計画が明らかになった。最終的に、ライプニッツは横座標と縦座標の微小増分をdxとdy、そして無限に多くの微小な長方形の総和を長いs（∫  ）で表し、これが現在の積分記号となった。${\displaystyle \scriptstyle \int }$。

ライプニッツの記法は現代数学でも用いられているが、彼の論理的基盤は現代のそれとは異なっていた。ライプニッツは無限小を受け入れ、「パスカルのように無限小を謎にしない」ために、このことについて多くの著作を残した。^{[ 52 ]}ジル・ドゥルーズによれば、ライプニッツのゼロは「無であるが、絶対的な無ではなく、それぞれ無である」（ライプニッツの著作「通常の代数学による無限小の計算の正当化」からの引用）^{[ 53 ]} 。あるいは、彼はそれらを「与えられた量よりも小さい」と定義している。ライプニッツにとって、世界は無限小の点の集合体であり、それらの存在に対する科学的証明がないことは彼を悩ませなかった。ライプニッツにとって無限小は、目に見える数とは異なるタイプの理想的な量であった。連続性の真理は、存在そのものによって証明された。ライプニッツにとって、連続性の原理、ひいては彼の微積分の妥当性は保証されていた。ライプニッツの研究から300年後、アブラハム・ロビンソンは微積分における無限小量の使用に確固たる基礎を与えることができることを示した。^{[ 54 ]}

微積分学の勃興は、数学史において特異な瞬間として際立っている。微積分学は運動と変化の数学であり、そのため、その発明には新たな数学体系の創造が必要であった。重要なのは、ニュートンとライプニッツが同じ微積分学を創り出したわけではなく、現代の微積分学を構想したわけでもないということである。両者とも可変量を扱う数学体系の創造に関わっていたが、その基礎となる考え方は異なっていた。ニュートンにとって変化とは時間とともに変化する量であり、ライプニッツにとって変化とは無限に近接した一連の値の範囲にわたる差であった。

歴史的に、微積分を最初に「発明」したのはニュートンかライプニッツのどちらであるかについては、多くの議論がありました。ドイツ人のライプニッツとイギリス人のニュートンが関わったこの議論、ライプニッツとニュートンの微積分論争は、1世紀以上にわたるヨーロッパの数学界の分裂を引き起こしました。ライプニッツは最初に研究成果を発表しましたが、ニュートンはライプニッツより数年前に研究を開始しており、ライプニッツがこの問題に興味を持った頃には既に接線の理論を開発していたことはよく知られています。これがライプニッツにどれほど影響を与えたかは不明です。最初の告発は世紀の変わり目に2人の偉大な科学者の学生や支持者によって行われましたが、1711年以降は両者とも個人的に関与し、互いに盗作を非難し合いました。

優先権争いは、英語圏の数学者と大陸ヨーロッパの数学者を長年にわたって分断する結果となった。1820年代になってようやく、解析学会の努力により、ライプニッツの解析的微積分がイギリスで受け入れられるようになった。今日では、ニュートンとライプニッツの両者が、微積分の基礎を独自に発展させた功績を認められている。しかし、この新しい学問分野に今日知られている「微積分」という名称を与えたのはライプニッツであるとされている。ニュートンはこれを「流束と流率の科学」と呼んでいた。

数学者カール・B・ボイヤーによれば、両者とも微積分学の論理的基礎を説得力のある形で提示していなかったが、ニュートンの方がよりそれに近いものであった。ニュートンの最良の試みは『プリンキピア』であり、そこで彼は「素数比と極限比」の概念を導入し、「極限概念に非常に近づいた」が、微分を単一の実数ではなく「速度の比」として記述し続けた。実数が完全に定義されるのは19世紀後半になってからである。^{[ 55 ]}対照的に、ボイヤーによれば、ライプニッツの微積分学は「論理的な観点から見て、ニュートンの微積分学に明らかに劣っていた。なぜなら、それは決して$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$yとxの無限に小さな変化または差の商として。」^{[ 55 ]}しかし、ヒューリスティックには、論理的な観点からは「失敗」であったにもかかわらず、成功であった。^{[ 55 ]}

ニュートンとライプニッツの業績は、今日使われている記法に反映されている。ニュートンは記法を導入した。${\displaystyle {\dot {f}}}$関数fの導関数について。^{[ 56 ]}ライプニッツは記号を導入した。${\displaystyle \int }$積分については、変数xの関数yの導関数を次のように書きました。$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$どちらも現在も使用されている。

ライプニッツとニュートンの時代から、多くの数学者が微積分学の継続的な発展に貢献してきた。微積分学と無限小微積分学の両方に関する最初期かつ最も完全な著作の1つは、1748年にマリア・ガエタナ・アニェージによって書かれた。^{[ 57 ] [ 58 ]}

変分法は、アイザック・ニュートンの研究から始まりました。例えば、ニュートンの最小抵抗問題^{[ 59 ]}は、ニュートンが1685年に定式化して解決し、後に1687年に彼の『プリンキピア』で発表しました^{[ 60 ]。}これは、この分野で最初に定式化され、正しく解決された問題であり、20世紀以前に変分法によって取り組まれた最も難しい問題の1つでした^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]} 。これに続いて、ヨハン・ベルヌーイの最速降下曲線問題(1696)がありました。ベルヌーイはこれを最小時間の原理を使用して解決しましたが、変分法は使用しませんでした。一方、ニュートンは1697年にこれを解決するために変分法を使用し、このようにして彼は2つの問題に関する研究でこの分野の先駆者となりました。^{[ 62 ]}この問題は、1638 年にガリレオ・ガリレイが提起した問題と似ていたが、彼はこの問題を明示的に解決せず、微積分に基づく方法も使用しなかった。^{[ 61 ]}この問題にはすぐにヤコブ・ベルヌーイが注目したが、最初にこの主題を詳細に論じたのはレオンハルト・オイラーであった。彼の貢献は 1733 年に始まり、彼の『Elementa Calculi Variationum』がこの科学にその名を与えた。ジョゼフ・ルイ・ラグランジュはこの理論に大きく貢献し、アドリアン＝マリー・ルジャンドル(1786 年) は、最大値と最小値を区別するための、完全には満足のいくものではない方法を定めた。この区別には、ブルナッチ (1810 年)、カール・フリードリヒ・ガウス(1829 年)、シメオン・ドニ・ポアソン(1831 年)、ミハイル・ヴァシリエヴィチ・オストログラツキー(1834 年)、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(1837 年) らが貢献している。重要な概説書としては、サラス（1842年）の著作があり、これはオーギュスタン・ルイ・コーシー（1844年）によって要約・改良された。その他、シュトラウフ（1849年）、ジェレット（1850年）、オットー・ヘッセ（1857年）、アルフレート・クレブシュ（1858年）、カール（1885年）らが貴重な論文や論文を執筆しているが、おそらく今世紀で最も重要な著作はカール・ワイエルシュトラスの著作であろう。彼の理論に関する講義は、微積分を確固たる厳密な基礎の上に置いた最初のものと言えるだろう。

アントワーヌ・アルボガスト（1800年）は、微分方程式において演算記号と量記号を分離した最初の人物である。フランソワ＝ジョゼフ・セルヴォワ（1814年）は、この主題に関する正しい規則を最初に示した人物であると思われる。チャールズ・ジェームズ・ハーグリーブ（1848年）は、微分方程式に関する論文でこれらの方法を適用し、ジョージ・ブールはこれを自由に用いた。ヘルマン・グラスマンとヘルマン・ハンケルは、この理論を大いに活用し、前者は方程式の研究に、後者は複素数論の研究に用いた。

ニールス・ヘンリック・アーベルは、どのような微分方程式が通常の関数を用いて有限の形で積分できるかという問題を一般的に考察した最初の人物であったようで、この研究はリウヴィルによって拡張された。コーシーは早くから定積分を決定する一般理論に取り組み、この主題は19世紀を通じて重要な位置を占めた。フルラーニ積分、デイヴィッド・ビエレンス・デ・ハーンの理論に関する研究と精緻な表、マイヤーの論文にまとめられたルジューヌ・ディリクレの講義、そしてルジャンドル、ポアソン、プラナ、ラーベ、ゾーンケ、シュレーミルヒ、エリオット、ロイデスドルフ、クロネッカーの数多くの回想録などが、注目すべき貢献である。

オイラー積分は、最初にオイラーによって研究され、その後ルジャンドルによって調査され、ルジャンドルによって次のように第1種および第2種のオイラー積分に分類されました。

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^{n-1}\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}\,dx}$

ただし、これらはオイラーの研究の正確な形式ではなかった。

nが正の整数の場合：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=(n-1)!,}$

しかし、積分はすべての正の実数に対して収束する${\displaystyle n}$そして、零点と負の整数を除く複素平面全体への階乗関数の解析接続を定義する。ルジャンドルはこれに記号を割り当てた。${\displaystyle \Gamma }$そして、それは現在ガンマ関数と呼ばれています。正の実数上で解析的であることに加えて、$\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$、${\displaystyle \Gamma }$また、次のような独自の特性も備えています。${\displaystyle \log \Gamma }$は凸関数であり、美的にも他の解析接続よりもこの階乗関数の解析接続を正当化する。この主題に関して、ルジューヌ・ディリクレは重要な定理（リウヴィル、1839年）を貢献しており、それはリウヴィル、カタラン、レスリー・エリスらによって詳細に検討されている。ラーベ（1843～44年）、バウアー（1859年）、グーダーマン（1845年）は、の評価について記述している。${\displaystyle \Gamma (x)}$そして${\displaystyle \log \Gamma (x)}$ルジャンドルの大表は1816年に発表された。

• カリンガー、ロナルド（1999）。数学の文脈史。プレンティス・ホール。ISBN 978-0-02-318285-3OCLC 40479696​​ 
• Reyes, Mitchell (2004). "数学における修辞学：ニュートン、ライプニッツ、微積分、そして無限小の修辞的力". Quarterly Journal of Speech . 90 (2): 159–184 . doi : 10.1080/0033563042000227427 . S2CID 145802382 .