球面三角法

球面多角形とは、球面上に描かれた多角形のことです。その辺は、大円弧、つまり平面幾何学における線分に相当する球面幾何学における弧です。

このような多角形は、1 より大きい任意の数の辺を持つことができます。2 辺の球面多角形（三日月形、または二角形、二角形とも呼ばれる）は、2 つの大円弧で囲まれています。身近な例としては、オレンジの房の湾曲した外側の表面が挙げられます。3 つの弧は、本稿の主題である球面三角形を定義するために使用されます。より多くの辺を持つ多角形（4 辺の球面四角形、5 辺の球面五角形など）も同様の方法で定義されます。平面上の対応する多角形と同様に、3 辺を超える球面多角形は常に球面三角形の合成として扱うことができます。

興味深い特性を持つ球状多角形の1つに、ペンタグラマ・ミリフィクムがある。これは、すべての頂点が直角である5辺の球状星形多角形である。

この記事のこの時点から、議論は球面三角形に限定され、単に三角形と呼ばれます。

• 三角形の頂点と頂点における角度は、いずれも同じ大文字のA、B、Cで表されます。
• 単位半径の球面の辺の長さは、小文字のa、b、cで​​表されます。辺の長さと小文字の角度は、後者がラジアンで測定される場合、等しくなります(弧長を参照)。慣例として、真球面三角形の辺はπラジアン未満であり、$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$$（トッドハンター、^{[ 1 ]}第22条、32項）。
• 角度A (それぞれBとC ) は、頂点 A で球と交わる 2 つの平面間の二面角とみなすか、あるいは同等に、頂点で交わる大円弧の接線間の角度とみなすことができる。真球面三角形の角度は(慣例により) πラジアンより小さく、$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi }$$（トッドハンター、^{[ 1 ]}第22条、32項）。
  特に、球面三角形の内角の和は、ユークリッド平面上に定義された三角形の内角の和よりも必ず大きくなります。ユークリッド平面上の内角の和は常にπラジアンです。
• 球の半径は1とする。半径Rの球に関する具体的な実用的問題では、以下の式を用いる前に、辺の長さをRで割る必要がある。同様に、単位球上での計算後、辺a、b、cをRで乗じる必要がある。 

三角形△ ABCに関連付けられた極三角形は、次のように定義されます。辺BCを含む大円を考えます。この大円は、直径平面と曲面との交線によって定義されます。その平面の中心に法線を引くと、曲面と 2 点で交わり、平面上でAと同じ側にある点を (慣例的に) Aの極と呼び、 A'で表します。点B'とC'も同様に定義されます。 

三角形△ A'B'C'は、三角形△ ABCに対応する極三角形です。極三角形の角度と辺は (Todhunter、^{[ 1 ]} Art.27) で与えられます。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$$したがって、 △ ABC に対して何らかの恒等式が証明されれば、上記の置換を行うことで、最初の恒等式を極三角形に適用して、すぐに2番目の恒等式を導き出すことができます。このようにして、余弦方程式から補余弦方程式が導き出されます。同様に、直角三角形の恒等式から四分三角形の恒等式を導き出すことができます。極三角形の極三角形は、元の三角形です。

3 × 3行列M の列が位置A、B、Cである場合、行列M ⁻¹の逆行列の行は、長さを単位に正規化すると、位置A′、B′、C′になります。特に、△ A′B′C′が△ ABCの極三角形である場合、△ ABCは△ A′B′C′の極三角形になります。

余弦定理は球面三角法の基本恒等式であり、正弦定理を含む他のすべての恒等式は余弦定理から導き出すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

これらの恒等式は平面三角法の余弦定理を一般化したものであり、内角が小さい極限では漸近的にそれと等価である。（単位球面上では、${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$ セット${\displaystyle \sin a\approx a}$そして${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$（以下参照。球面余弦定理を参照。）

球面正弦法則は次の式で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$これらの恒等式は、辺の長さが球の半径よりもはるかに小さい場合、平面三角法 の正弦定理を近似的に表す。

球面余弦公式は、もともと初等幾何学と平面余弦定理を用いて証明されました（Todhunter、^{[ 1 ]}第37条）。彼はまた、単純な座標幾何学と平面余弦定理を用いた導出も示しています（第60条）。ここで概説するアプローチは、より単純なベクトル法を使用します。（これらの方法は、「球面余弦定理」でも議論されています。）

原点から三角形の頂点（単位球面上）へ引かれた3つの単位ベクトルOA →、OB →、OC →を考えます。弧BCは中心で大きさaの角度をなすため、 OB → · OC → = cos aとなります。OA →をz軸に、OB →をxz平面上に置き、 z軸と角度cをなすデカルト座標系を導入します。ベクトルOC →はxy平面上のONに投影され、 ONとx軸の間の角度はAです。したがって、3つのベクトルの成分は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

成分で表した スカラー積OB → · OC →は次のようになります。$${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$ スカラー積の2つの式を等しくすると、 $${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$ この方程式を変形すると、辺の長さを用いて角度を明示的に表す式が得られます。 $${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}.}$$

その他のコサイン法則は、巡回置換によって得られる。

この導出はTodhunter ^{[ 1 ]}（第40条）に記載されている。$\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$そして、すぐ上に示された cos Aの明示的な式$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$ 右辺はa、b、cの巡回置換に対して不変であるため、球面正弦則が直ちに導かれる。

基本的なコサインとサインの法則、および次のセクションで展開されるその他の法則を導出する方法は数多くあります。たとえば、Todhunter ^{[ 1 ]}はコサインの法則の証明を 2 つ (第 37 条と第 60 条)、サインの法則の証明を 2 つ (第 40 条と第 42 条) 示しています。球面コサイン法則のページには、コサインの法則の 4 つの異なる証明が示されています。測地学^{[ 2 ]}と球面天文学^{[ 3 ]}の教科書にはさまざまな証明が示されており、 MathWorldのオンライン リソースにはさらに多くの証明があります。^{[ 4 ]さらに、Banerjee [ 5 ]}のように、射影行列の線形代数を使用して公式を導出し、微分幾何学と回転の群論の方法も引用しているような、より特殊な導出方法もあります。

上に示した余弦定理の導出は、簡潔かつ直接的であるという利点があり、正弦定理の導出は、余弦定理以外に別途証明が必要ないという事実を強調しています。ただし、上記の幾何学的構造を用いて、正弦定理の独立した証明を与えることができます。スカラー三重積OA → · ( OB → × OC → )は、図示の基底においてsin b sin c sin Aとなります。同様に、 z軸がOB →に沿って配置された基底において、三重積OB → · ( OC → × OA → )はsin c sin a sin Bとなります。したがって、三重積が巡回置換に対して不変であることから、sin b sin A = sin a sin Bとなり、これが正弦定理の第一法則となります。この導出の詳細については、 「正弦定理の曲線変形」を参照してください。

微分da、db、dc、dA、dB、dCのうち 3 つが分かっている場合、コサイン法則を微分し、サイン法則を使用することで得られる次の式を使用して、消去法により他の 3 つを計算できます。^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

極三角形に余弦法則を適用すると、(Todhunter、^{[ 1 ]} Art.47) となり、A をπ − aに、a をπ − Aなどに置き換えると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

三角形の 6 つの部分は、( aCbAcB ) のように循環的に記述できます。コタンジェント、または 4 部分公式は、三角形の周囲に 4 つの連続した部分を形成する 2 つの辺と 2 つの角を関連付けます。たとえば、( aCbA ) またはBaCb ) です。このようなセットには、内側の部分と外側の部分があります。たとえば、セット ( BaCb )では、内角はC 、内辺はa、外角はB、外辺はbです。コタンジェントの規則は、次のように記述できます (Todhunter、^{[ 1 ]} Art.44) $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$ そして、考えられる6つの方程式は以下のとおりです（関連するセットは右側に示されています）。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$ 最初の公式を証明するには、まず第一余弦定理から始め、右辺に第三余弦定理の cos cを代入します。$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$ 結果は、sin a sin bで割ることによって得られます。他の 2 つの余弦定理でも同様の手法を用いると、CT3 と CT5 が得られます。残りの 3 つの式は、極三角形に定理 1、3、および 5 を適用することによって得られます。

と${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$そして${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

さらに、巡回置換によって12個の恒等式が得られる。

トッドハンター^{[ 7 ]}（第45条）は、辺と角を用いて、それぞれ角と辺の半角公式を導出している。彼の著書は、プロジェクト・グーテンベルクからパブリックドメインの電子書籍として入手可能である。最初の式は、辺bとcおよび角Aを用いて辺aの余弦定理を用いることで証明できる。${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$また、2つの正弦の積を、それらの角度差の余弦からそれらの角度和の余弦を引いた値の半分として表すことによっても表すことができます（和積の恒等式を参照）。詳細： $${\displaystyle {\begin{aligned}2\,\sin(s-b)\,\sin(s-c)&=\cos((s-b)-(s-c))-\cos((s-b)+(s-c))\\&=\cos(c-b)-\cos(a)\\&=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)-(\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)(1-\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)\,{\bigg (}2\,\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {A}{2}}{\bigg )}{\bigg )}\end{aligned}}}$$

2番目の式は恒等式を使用する${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$3つ目は商であり、残りの値はその結果を極三角形に適用することで求められます。

ドランブル類推（ガウス類推とも呼ばれる）は、1807年から1809年にかけてドランブル、ガウス、モルワイデによってそれぞれ独立して発表された。^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ さらに、巡回置換によって8つの恒等式が続く。

分子を展開し、半角の公式を用いることで証明される。（トッドハンター^{[ 1 ]}第54条およびデランブル^{[ 9 ]}）

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

さらに、巡回置換によって8つの恒等式が続く。

これらの等式は、ドランブルの公式の分割によって導かれる。（トッドハンター、^{[ 1 ]}第52条）

特に、第1および第2ネイピア公式は、ab ABの 3 つの値が与えられているがcまたはCの値が与えられていない場合に、球面三角形を解くのに役立ちます。これらの 2 つの公式は、${\displaystyle \cot {\tfrac {1}{2}}C}$ab ABに関して。この球面三角形は、余弦定理と正弦定理だけでは直接解くことはできません。

これらの商を取ると、ペルシャの数学者ナスィール・アルディン・アルトゥースィー（1201年～1274年） によって最初に述べられた接線の法則が得られる。$${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

球面三角形の角度の 1 つ (例えばC ) がπ /2に等しい場合、上記のさまざまな恒等式はかなり簡略化されます。集合a、b、c、A、Bから選択された 3 つの要素を関連付ける恒等式は 10 個あります。

ネイピア^{[ 10 ]}は、10個の独立した方程式のための洗練された記憶術を提供しました。この記憶術はネイピアの円またはネイピアの五角形（上の図の右の円を五角形に置き換えたもの）と呼ばれています。

まず、三角形の6つの部分（3つの頂角と3つの辺の弧角）を、三角形の任意の周回経路に沿って出現する順序で書き出します。左上の図の三角形の場合、aから時計回りにaCbAcBとなります。次に、 Cに隣接していない部分（つまりA、c、B）をその補角に置き換え、リストから角度Cを削除します。残りの部分は、上の図（右）に示すように、五芒星または円の5つの順序付けられた等しいスライスとして描くことができます。隣接する3つの部分を選択した場合、1つ（中央の部分）は2つの部分に隣接し、他の2つの部分とは反対になります。ネイピアの10の法則は次のとおりです。

• 中央部分の正弦＝隣接する部分の正接の積
• 中央部分の正弦＝反対側の部分の余弦の積

どの三角関数がどの部分に対応するかを覚える鍵は、部分の種類の最初の母音を見ることです。中央の部分は正弦、隣接する部分は正接、反対側の部分は余弦に対応します。例として、a を含むセクターから始めると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$ 直角球面三角形の規則の完全なセットは、(Todhunter、^{[ 1 ]} Art.62) です。$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

四分球面三角形は、球の中心でπ /2 ラジアンの角度をなす辺を持つ球面三角形として定義されます。単位球上では、辺の長さはπ /2 です。単位球上で辺cの長さがπ /2 である場合、 残りの辺と角度を支配する方程式は、前節の直角球面三角形の規則を、辺a'、b'、c'がA' = π − a、a' = π − Aなどとなる極三角形△ A'B'C'に適用することによって得られます。結果は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

第2の余弦定理を第1の余弦定理に代入して簡略化すると、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$sin c の因数を消去すると、 $${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

他のコサインおよび補コサインの公式にも同様の置換を行うことで、多種多様な5部構成のルールが得られる。しかし、それらはほとんど使用されない。

最初の余弦定理にcos A を掛ける と、$${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$ 同様に、最初の補余弦定理にcos a を 掛けると、$${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$ 2つを引いて、正弦の法則から次のことが導かれることに注目すると、${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$ カニョーリの方程式を生成する $${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$ これは球面三角形の6つの部分間の関係である。^{[ 11 ]}

三角形の解法は球面三角法の主な目的です。三角形の3つ、4つ、または5つの要素が与えられたとき、残りの要素を求めます。5つの要素が与えられた場合は自明で、正弦定理を1回適用するだけで済みます。4つの要素が与えられた場合は、自明でないケースが1つあり、これについては後述します。3つの要素が与えられた場合は、6つのケースがあります。3辺、2辺と挟角、2辺と対角、2つの角と挟辺、2つの角と対辺、または3つの角です。（最後のケースは平面三角法には対応がありません。）下の図は、7つの自明でないケースを示しています。各ケースでは、与えられた辺は横棒で、与えられた角は弧で示されています。（与えられた要素は三角形の下にも記載されています。）ここでASAなどの要約表記では、Aは与えられた角を、Sは与えられた辺を表し、表記中のAとSの並びは三角形内の対応する並びを表します。

• ケース1：3辺が与えられている場合（SSS）。 余弦定理を用いて角度A、B、Cを求めることもできますが、曖昧さを避けるため、半角公式を用いる方が望ましいです。
• ケース 2: 2 辺と挟角が与えられている (SAS)。余弦定理によりaが得られ、ケース 1 に戻ります 。
• ケース 3: 2 辺と対角が与えられている (SSA)。正弦定理によりCが得られ、次にケース 7 となります。解は 1 つまたは 2 つあります。
• ケース 4: 2 つの角と挟まれた辺が与えられている (ASA)。集合 ( cBaC ) と ( BaCb )の 4 部コタンジェントの公式からcとbが得られ、A は正弦定理から導かれる。
• ケース 5: 2 つの角と対辺が与えられている (AAS)。正弦定理によりbが得られ、次にケース 7 (回転) となります。解は 1 つまたは 2 つあります。
• ケース6：3つの角度が与えられている場合（AAA）。補余弦定理を使用して辺a、b、cを求めることができますが、曖昧さを避けるために、半辺公式が推奨されます。
• ケース7：2つの角と2つの対辺が与えられている場合（SSAA）。aとAについてはネイピアの類推法を使用するか、ケース3（SSA）またはケース5（AAS）を使用してください。

ここに挙げた解法は、可能な選択肢のすべてではありません。他にも多くの方法があります。一般的には、角度とその補角の間に曖昧さが生じる可能性があるため、逆正弦を求める方法を避ける方が良いでしょう。半角公式を用いる方法は、半角がπ /2より小さくなるため曖昧さがなく、しばしば推奨されます。詳細については、Todhunterの論文を参照してください。記事「三角形の解法#球面三角形の解法」では、これらの方法のバリエーションが、若干異なる表記で紹介されています。

斜三角形の解法については、Todhunter ^{[ 1 ]の第 6 章で詳しく解説されています。Ross [ 12 ]} の解説も参照してください。Nasir al-Din al-Tusi は、球面三角法における直角三角形の 6 つの異なるケース (図の 2 ～ 7) を初めて列挙しました。^{[ 13 ]}

別のアプローチとして、三角形を 2 つの直角三角形に分割する方法があります。たとえば、 b、c、およびB が与えられているケース3 の例を考えてみましょう。点Dで辺BCに垂直な大円をAから作図します。三角形△ ABDを解くには、ネイピアの法則を使用します。cとBを使用して、辺ADとBD、および角∠ BADを求めます。次に、三角形△ ACDを解くには、ネイピアの法則を使用します。つまり、ADとbを使用して、辺DC、角C、および角 ∠ DACを求めます。角Aと辺a は加算によって求められます。

得られた規則のすべてが、角度がゼロやπに近づくような極端な例において数値的に安定しているとは限りません。特に任意の三角形を解くコードを作成する際には、問題と解決策を慎重に検討する必要があります。 

赤道、2本の経線、および経度線によって囲まれた球面四角形の球面余剰${\displaystyle \lambda _{1}}$そして ${\displaystyle \lambda _{2},}$そして、経度と緯度を持つ2点間の大円弧${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$そして${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$は $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

この結果は、ネイピアの類推の1つから得られる。極限では、${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$すべてが小さいので、これはおなじみの台形領域に縮小されます。${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$。

多角形の面積は、上記のような個々の四角形から、多角形の線分と2つの経線で囲まれた個々の三角形（同様に）から、^{[ 17 ]}グリーンの定理を用いた線積分によって、^{[ 18 ]}またはGISで一般的に行われる等面積投影によって計算できます。他のアルゴリズムは、大円距離の公式を使用して計算された辺の長さでも使用できます。