群論の歴史

群論は、様々な形態の群を研究する数学の分野であり、その歴史はさまざまな並行した流れの中で発展してきました。群論の歴史的ルーツは、代数方程式、数論、幾何学の3つです。^{[1] [2] [3]}ジョセフ・ルイ・ラグランジュ、ニールス・ヘンリク・アーベル、エヴァリスト・ガロアは、群論の分野における初期の研究者でした。

群の研究は、おそらく 18 世紀後半のラグランジュの研究に遡ります。しかし、この研究はやや孤立しており、1846 年にオーギュスタン・ルイ・コーシーとガロアが発表した論文の方が、群論の始まりとしてよく知られています。群論は真空中で発展したわけではないので、ここではその前史における 3 つの重要な流れについて説明します。

群論の根本的な根源の 1 つは、4 次以上の 多項式方程式の解の探求でした。

初期の源泉は、与えられた次数方程式の根のうちのmを根として持つ次数mの方程式を形成する問題に見られる。単純なケースでは、この問題はヨハン・ファン・ウェイヴェレン・フッデ（1659）に遡る。 ^[4]ニコラス・サンダーソン（1740）は、2次式の2次因子を決定すると必然的に6次方程式につながることを指摘し、^[5]トーマス・ル・スール（1703–1770）（1748）^{[6] [7]}とエドワード・ウォーリング（1762〜1782）はさらにこの考えを詳しく述べた。ウォーリングは対称多項式の基本定理を証明し、特に4次方程式の根とその解法3次方程式の関係を考慮した。^{[8] [3] [9]}${\displaystyle n>m}$

ラグランジュの目標 (1770, 1771) は、なぜ三次および四次の方程式が解の公式を持つのかを理解することであり、その鍵となる対象は根の順列群であった。これに基づいて置換理論が構築された。^{[10]彼は、調べたすべての}ラグランジュ分解( résolvantes、réduites )の根が、それぞれの方程式の根の有理関数であることを発見した。これらの関数の特性を研究するために、彼はCalcul des Combinaisons を発明した。^{[11]同時代の}アレクサンドル＝テオフィル・ヴァンデルモンド(1770)の研究は、対称関数の理論と円分多項式の解を発展させた。^{[3] [12]} レオポルド・クロネッカーは、ヴァンデルモンドの最初の論文から代数学の新たなブームが始まったと語ったと伝えられている。^{[13] [14]}同様にコーシーは、対称関数と変数の順列の研究においてラグランジュとヴァンデルモンドの功績を認めた。^{[15] [14] [より良い情報源が必要]}

パオロ・ルッフィニ（1799）は、 5次方程式および高次の方程式を解くことが不可能であることを証明しようとした。 ^[16]ルッフィニは、群の元の順序、共役性、および置換群の元のサイクル分解などの置換群の理論のアイデアを研究した最初の人物である。ルッフィニは、現在では推移群と非推移群、原始群と原始群と呼ばれるものを区別し、（1801）方程式の群をl'assieme delle permutazioniという名前で使用している。彼はまた、ピエトロ・アッバティから自分宛てに宛てた手紙を出版しており、その中で群のアイデアが顕著になっている。 ^{[17] [3]}しかし、彼は群の概念、さらには置換群の概念を形式化することはなかった。

エヴァリスト・ガロワは、現在ガロア理論と呼ばれている理論によって、群論と体論を結びつけた最初の数学者として称えられています。^{[3]ガロアは}モジュラー方程式の理論や楕円関数の理論にも貢献しました。^{[18] [19]}群論に関する彼の最初の出版物は18歳のとき（1829年）に発表されましたが、彼の貢献は1846年に彼の死後に出版された論文集（リウヴィル、第11巻）までほとんど注目されませんでした。彼は、現在では順列群の 閉包性と呼ばれているものを初めて考察し、次のように表現しました。

そのようなグループに置換基 S と T がある場合、置換基 ST が存在します。

ガロアは、方程式のn個の根があるとき、 rの順列のグループが常に存在し、 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}}$

• 群の置換によって不変な根のすべての関数は合理的に知られており、
• 逆に言えば、根のすべての合理的に決定可能な関数は、群の置換に対して不変である。

現代的な言葉で言えば、方程式に付随するガロア群の 可解性が、根号を含む方程式の可解性を決定します。

ガロアは、群（フランス語でgroupe）と原始という単語を現代的な意味で初めて使用した人物である。彼は原始群とは使わず、ガロア群が原始である方程式を原始方程式と呼んだ。彼は正規部分群の概念を発見し、解ける原始群が素数位数の有限体上のアフィン空間のアフィン群の部分群と同一視できることを発見した。^[20]

ガロア群に似た群は（今日では）置換群と呼ばれています。置換群の理論は、オーギュスタン・コーシーとカミーユ・ジョルダンの手によって、新しい概念の導入と、主に、置換群の特殊なクラスに関する膨大な結果やいくつかの一般的な定理を通じて、さらに広範囲にわたる発展を遂げました。とりわけ、ジョルダンは同型性の概念を定義しましたが、これは置換群のコンテキストに限定されていました。また、群という用語を広く使用したの もジョルダンでした。

（有限）群という抽象概念は、アーサー・ケイリーの1854年の論文「群論について」${\displaystyle \theta ^{n}=1}$で、記号方程式に依存するものとして初めて登場しました。^{[21] [22]}ケイリーは、任意の有限群は置換群の部分群と同型であると提案しました。これは今日ケイリーの定理として知られている結果です。その後数年間、ケイリーは、無限群と、乗法の結合性、逆の存在、特性多項式などの行列の代数的性質を体系的に調査しました。

第二に、幾何学における群の体系的な使用は、主に対称群を装って、フェリックス・クラインの1872年のエアランゲン計画によって開始されました。^{[23] [24]現在}リー群と呼ばれているものの研究は、 1884年にソフス・リーによって体系的に始まり、その後、ヴィルヘルム・キリング、エドゥアルト・スタディ、イッサイ・シューア、ルートヴィヒ・マウラー、エリー・カルタンの研究が続きました。不連続（離散群）理論は、特にモジュラー形式とモノドロミーとの関連で、クライン、リー、アンリ・ポアンカレ、シャルル・エミール・ピカールによって構築されました。

群論の3番目の根源は数論であった。レオンハルト・オイラーは、フェルマーの小定理の一般化において、整数を法とする数の代数演算、すなわちモジュラー算術を考察した。これらの研究はカール・フリードリヒ・ガウスによってさらに進められ、ガウスは、nを法とする剰余の乗法群の構造を検討し、このようにして生じる巡回群やより一般的なアーベル群の多くの性質を確立した。ガウスは、 2元二次形式の合成の研究において、形式の合成に対する結合法則を明示的に述べた。1870年、レオポルド・クロネッカーは、数体のイデアル類群の文脈でアーベル群の定義を与え、ガウスの研究を一般化した。 ^[25]エルンスト・クンマーによるフェルマーの最終定理の証明の試みは、素数への因数分解を記述する群を導入する研究につながった。^[26] 1882年、ハインリッヒ・M・ウェーバーは、置換群とアーベル群の関係に気づき、両側相殺特性を含む定義を与えたが、彼の文脈（有限群）では逆元の存在は十分であった。^[27]

群論は次第に独立した主題となり、代数学の第4節を群論に充てたセレ、代数論の古典である『代数と方程式の考察』 (1870)を著したカミーユ・ジョルダン、代数論の理論とその応用(1882)によって普及した。ネットの『代数論の理論と代数への応用』はコール(1892)により英訳されている。19世紀の他の群論者には、ジョゼフ・ルイ・フランソワ・ベルトラン、シャルル・エルミート、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス、レオポルド・クロネッカー、エミール・マチュー^[3]、ウィリアム・バーンサイド、レナード・ウジェーヌ・ディクソン、オットー・ヘルダー、EHムーア、ルートヴィヒ・シロー、ハインリヒ・マルティン・ウェーバーがいる。

上記3つの源泉が統一理論に収束したのは、ジョーダンの『トライテ』とヴァルター・フォン・ダイク（1882年）が初めて現代的な意味で群を定義したことから始まった。ウェーバーとバーンサイドの教科書は、群論を学問として確立するのに役立った。^[28] 抽象的な群の定式化は19世紀の群論の大部分には当てはまらず、代わりの形式論がリー代数の観点から与えられた。

1870年から1900年にかけての群は、リーの連続群、不連続群、根の置換の有限群（徐々に順列と呼ばれるようになった）、および線型置換の有限群（通常は有限体の）として説明されました。 1880年から1920年にかけて、表現によって記述される群は、ケイリー、ヴァルター・フォン・ダイク、マックス・デーン、ヤコブ・ニールセン、オットー・シュライアーの研究を通じて独自の発展を遂げ、1920年から1940年にかけてHSMコクセター、ヴィルヘルム・マグヌスらの研究によって継続され、組合せ群論の分野を形成しました。

1870年から1900年にかけての有限群では、シローの定理、ヘルダーによる平方自由位数の群の分類、フロベニウスの指標理論の初期の始まりなどがハイライトとなった。1860年までにはすでに有限射影平面の自己同型群が研究されており（マシューによる）、1870年代にはクラインの幾何学の群論的ビジョンが彼のエアランゲン・プログラムで実現されつつあった。高次元射影空間の自己同型群はジョルダンによってTraitéで研究され、いわゆる古典群のほとんどの合成級数が含まれていたが、彼は非素体を避け、ユニタリ群を省略した。この研究はムーアとバーンサイドによって続けられ、 1901年にレナード・ディクソンによって包括的な教科書の形でまとめられた。単純群の役割はジョーダンによって強調され、単純でない群の基準はヘルダーによって開発され、200未満の位数の単純群を分類できるようになった。この研究はフランク・ネルソン・コール（660まで）とバーンサイド（1092まで）によって続けられ、最終的には初期の「ミレニアムプロジェクト」として1900年にミラーとリングによって2001年まで続けられた。

1870 年から 1900 年にかけて連続群は急速に発展しました。キリングとリーの基礎論文、1882 年の不変理論におけるヒルベルトの定理などが出版されました。

1900年から1940年にかけて、無限「不連続」（現在では離散群と呼ばれる）群が独自の生命を獲得した。バーンサイドの有名な問題は、任意の体上の有限次元線型群の任意の部分群、さらには任意の群の研究の先駆けとなった。基本群と反射群は、組合せ群論におけるトッド・コクセター・アルゴリズムなど、JAトッドとコクセターの発展を促した。代数群は、多項式方程式の解として定義され（前世紀のように多項式方程式に作用するのではなく）、リーの連続理論から大きな恩恵を受けた。バーナード・ノイマンとハンナ・ノイマンは、多項式方程式ではなく群論方程式によって定義される群である、群の多様体に関する研究を行った。

連続群もまた、1900年から1940年にかけて爆発的な成長を遂げました。位相群がそのようなものとして研究されるようになりました。連続群には、カルタンの半単純リー代数の分類、ヘルマン・ワイルのコンパクト群の表現理論、アルフレッド・ハールの局所コンパクトケースに関する研究など、多くの偉大な成果がありました。

1900年から1940年にかけて、有限群は大きく発展した。この時期には、フロベニウス、バーンサイド、シュアによる特性理論の誕生があり、これは19世紀の置換群に関する多くの疑問に答えるのに役立ち、抽象有限群におけるまったく新しい手法への道を開いた。この時期には、フィリップ・ホールによる、任意の素数集合へのシローの定理の一般化による有限可解群の研究、およびp群のべき交換子構造に関する研究があった。これには、正則p群と群の等傾斜の考え方が含まれており、これはp群の研究に革命をもたらし、シロー以来のこの分野での最初の大きな成果であった。この時期には、ハンス・ザッセンハウスによる、ホールによるシロー部分群の一般化に対する補集合の存在に関する有名なシュア-ザッセンハウス定理や、フロベニウス群に関する進歩、ザッセンハウス群の近似分類があった。

その後、群論の深さ、広さ、そして影響力は増大した。この分野は代数群、群の拡大、表現論などの分野に広がり始めた。^[29] 1950年代から、大規模な共同作業により、群論者は1982年にすべての有限単純群を分類することに成功した。分類の証明の完成と簡素化は、活発な研究分野である。^[30]

アナトリー・マルツェフもこの時期に群論に重要な貢献をした。1930年代の初期の業績は論理学であったが、1940年代には半群の群への埋め込みの重要な性質を証明し、群環の同型問題を研究し、多環群のマルチェフ対応を確立し、1960年代には論理学に戻って群の研究におけるさまざまな理論が決定不可能であることを証明した。それ以前には、アルフレッド・タルスキが初等群論が決定不可能であることを証明した。^[31]

1960 年代から 1980 年代にかけては、群論の多くの分野において活気に満ちた時期でした。

有限群には、多くの独立したマイルストーンがありました。1つは、22の新しい散在群の発見と、有限単純群の分類の第一世代の完成でした。1つは、カーター部分群という影響力のあるアイデアと、それに続く形成理論と群のクラスの理論の創出でした。1つは、グリーンによるクリフォード理論の群代数の不可分なモジュールへの注目すべき拡張でした。この時代に、計算群論の分野は、第一世代の分類における大きな成功により、認知された研究分野になりました。

離散群では、ジャック・ティッツの幾何学的手法とセルジュ・ラングの写像の全射性が利用可能になったことで、代数群に革命が起こりました。バーンサイド問題は、1960 年代と 1980 年代初期に優れた反例が構築されるなど、大きな進歩を遂げましたが、「有限個を除くすべての場合」の最終的な仕上げは 1990 年代まで完了しませんでした。バーンサイド問題に関する研究により、指数pのリー代数への関心が高まり、ミシェル・ラザールの手法が、特にp群の研究において、より広い影響を及ぼし始めました。

連続群は大幅に広がり、p進解析の問題が重要になりました。この時期に、コクラス予想を含む多くの予想がなされました。

20 世紀最後の 20 年間は、群論における 100 年を超える研究の成果を享受しました。

有限群における分類後の成果には、オナン・スコットの定理、アッシュバッハーの分類、多重推移有限群の分類、単純群の最大部分群の決定、および対応する原始群の分類などがある。有限幾何学と組合せ論では、多くの問題が解決できるようになった。モジュラー表現論は、融合システム、ルイス・プイグの対理論、冪零ブロックなど、分類の手法が公理化されたことで新しい時代に入った。有限可溶性群の理論も同様に、クラウス・ドークとトレバー・ホークスの影響力のある著書によって変革され、射影子と注入子の理論をより広い読者層にもたらした。

離散群では、幾何学のいくつかの分野が集まって、刺激的な新しい分野が生まれました。結び目理論、オービフォールド、双曲多様体、木に作用する群 (バス・セール理論) に関する研究は、双曲群、自動群の研究を大いに活性化しました。ウィリアム・サーストンの 1982 年の幾何化予想などの問題は、幾何群論と低次元位相幾何学のまったく新しい手法を刺激し、ミレニアム懸賞問題の 1 つであるポアンカレ予想の解決にもつながりました。

連続群は、1992 年にラプラシアン演算子の対称群を使用して、太鼓の形を聞き分ける問題の解を見ました。連続技術は、関数空間と量子群を使用して、群論の多くの側面に適用されました。18 世紀と 19 世紀の多くの問題が、このより一般的な設定で現在再検討されており、群の表現理論の多くの質問に回答があります。

群論は、現在も熱心に研究されているテーマです。群論が現代数学全体にとって重要であることは、群論への貢献により ジョン・グリッグス・トンプソンとジャック・ティッツに授与された2008 年のアーベル賞からも明らかです。

• 群論における歴史的に重要な出版物。
• カーティス、チャールズ W. (2003)、「表現論の先駆者: フロベニウス、バーンサイド、シュア、ブラウアー」、数学史、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-2677-5
• Galois、Évariste (1908)、Tannery、Jules (編)、Manuscrits de Évariste Galois、パリ: Gauthier-Villars
• クライナー、イスラエル (1986)、「群論の進化：簡単な調査」、数学雑誌、59 (4): 195–215、doi :10.2307/2690312、ISSN  0025-570X、JSTOR  2690312、MR  0863090
• クライナー、イスラエル (2007)。クライナー、イスラエル (編)。抽象代数の歴史。ボストン、マサチューセッツ州:ビルクハウザー。doi : 10.1007 / 978-0-8176-4685-1。ISBN 978-0-8176-4685-1。
• スミス、デイヴィッド・ユージン（1906）、近代数学の歴史、数学モノグラフ、第1号
• ウーシング、ハンス（2007）、抽象群概念の起源：抽象群理論の起源の歴史への貢献、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-45868-7
• デュ・ソートイ、マーカス（2008年）、Finding Moonshine、ロンドン：Fourth Estate、ISBN 978-0-00-721461-7