ブラフマグプタ

ブラフマグプタは続けて、最初のn個の整数の平方と立方の合計を示している。

12.20. 平方和は、その和にステップ数の2倍を掛け、1を足して3で割ったものです。立方和はその和の2乗です。同じボールを使ったこれらの積み重ねも計算できます。^{[ 19 ]}

ここでブラフマグプタは、現代の慣習であるnではなく、最初のn個の整数の和という形で結果を得た。 ^{[ 20 ]}

彼は最初のn個の自然数の平方和を⁠ n ( n + 1)(2 n + 1) / 6 ⁠と、最初の n 個の自然数の立方和を( ⁠ n ( n + 1) / 2 ⁠ ) ^{2 ⁠としている。}。

ブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ』は、ゼロと負の数に適用される算術操作の規則を提供する最初の書物である。^{[ 21 ]}『ブラフマスプタシッダーンタ』は、ゼロをバビロニア人が行ったように他の数を表す単なる桁として、あるいはプトレマイオスやローマ人が行ったように数量の欠如の記号としてではなく、それ自体としての数として扱った最も古い既知のテキストである。ブラフマグプタは『ブラフマスプタシッダーンタ』の第18章で、負の数に対する演算について説明している。彼はまず加算と減算について説明し、

18.30. 2つの正の和は正であり、2つの負の和は負である。正と負の和はそれらの差であり、それらが等しい場合はゼロである。負とゼロの和は負であり、正とゼロの和は正であり、2つのゼロの和はゼロである。

[...]

18.32. 負の数からゼロを引くと負の数になり、正の数からゼロを引くと正の数になり、ゼロからゼロを引くとゼロになります。負の数から正の数を引く場合、または正の数から負の数を引く場合は、足し合わせる必要があります。^{[ 14 ]}

彼は続けて掛け算について説明し、

18.33. 負の数と正の数の積は負の数であり、2つの負の数の積は正の数であり、正の数の積は正の数である。ゼロと負の数、ゼロと正の数、または2つのゼロの積はゼロである。^{[ 14 ]}

しかし、彼のゼロ除算の説明は、現代の私たちの理解とは異なっている。

18.34. 正を正で割るか負を負で割ると正になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる。正を負で割ると負になる。負を正で割ると負になる。 18.35. 負または正をゼロで割ると、そのゼロが約数となる。また、ゼロを負または正で割ると、その負または正が約数となる。負または正の二乗は正である。ゼロの二乗はゼロである。その二乗が二乗となるものは、その平方根である。^{[ 14 ]}

ここでブラフマグプタは⁠ 0 / 0 ⁠ = 0 であると述べており、 a ≠ 0 の場合の⁠ a / 0 ⁠の問題については、彼は断言していません。^{[ 22 ]}負の数とゼロに関する彼の算術規則は、現代の数学ではゼロによる除算が未定義のままになっている点を除いて、現代の理解にかなり近いものです。

ブラフマグプタは『ブラフマスプタシッダーンタ』第12章で、ピタゴラス数を生成するのに役立つ公式を示している。

12.39. 山の高さに与えられた乗数を掛けたものが都市までの距離であり、消去されるわけではない。それを乗数を2倍したもので割ると、同じ旅をする2人のうちの1人の跳躍距離となる。^{[ 23 ]}

言い換えれば、 d = mx / x + 2の場合、高さmの山の頂上から距離d だけ垂直に「飛び上がり」、その後、山の麓から水平距離mxの都市まで直線で移動する旅行者は、山を垂直に下り、その後、水平方向に都市まで移動する旅行者と同じ距離を移動することになります。^{[ 23 ]}幾何学的に言うと、直角三角形の底辺の長さが a = mx、高さがb = m + dの場合、斜辺の長さcはc = m (1 + x ) − dで与えられるということです。そして実際、基本的な代数操作により、 dが上記の値をとるときはいつでもa ² + b ² = c ²が成り立つことがわかります 。また、 mとx が有理数であれば、 d、a、b、cも有理数です。したがって、ピタゴラス数は、 a、b、cそれぞれに分母の最小公倍数を掛けることによって得られます。

ブラフマグプタは、ユークリッドの互除法を用いて、Nx ² + 1 = y ² (ペル方程式と呼ばれる)のような2次ディオファントス方程式の特定の例の解を生成する漸化式を示した。ユークリッドの互除法は、数をますます小さな断片に分解するため、彼にとって「粉砕機」として知られていた。^{[ 24 ]}

平方数の性質: 18.64. 与えられた平方数の平方根の2倍に乗数を掛け、任意の数だけ増減させる。最初の[ペア]に乗数を掛けたものと最後の[ペア]の積が、最後に計算された値である。18.65. 雷の積の合計が最初の値である。加法は加法の積に等しい。2つの平方根を加法または減法で割ったものが加法ルーパである。^{[ 14 ]}

彼の解決策の鍵は、次の同一性であった。^{[ 25 ]}

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$

これはディオファントスによって発見された同一性の一般化である。

${\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$

ブラフマグプタは、自身の恒等式と、( x ₁ , y ₁ )と( x ₂ , y ₂ )がそれぞれ方程式x ² − Ny ² = k ₁とx ² − Ny ² = k ₂の解であるならば、( x ₁ x ₂ + Ny ₁ y ₂ , x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ )がx ² − Ny ² = k ₁ k ₂の解であるという事実を利用して、一連の方程式x ² − Ny ² = k _iを通じてペル方程式の整数解を見つけることができた。ブラフマグプタは、 Nのすべての可能な値に対してこの解を均一に適用することはできず、むしろ、x ² − Ny ² = k がk = ±1、±2、または ±4に対して整数解を持つならば、 x 2 − Ny ² = 1^が解を持つことを示すことしかできなかった。一般ペル方程式の解は、紀元1150年頃のバースカラ2世まで待たなければならなかった。^{[ 25 ]}

ブラフマグプタの幾何学における最も有名な成果は、円に内接する四角形の公式である。ブラフマグプタは、任意の円に内接する四角形の辺の長さが与えられたとき、その図形の面積の近似式と正確な式を与えた。

12.21. 三角形と四角形のおおよその面積は、辺と対辺の和の半分の積です。正確な面積は、辺の和の半分の積から四角形の各辺を引いた値の平方根です。^{[ 19 ]}

したがって、円に内接する四角形の長さp、q、r、sが与えられた場合、近似面積は⁠ p + r / 2 ⁠ · ⁠ q + s / 2 ⁠であり、t = ⁠ p + q + r + s / 2 ⁠とすると、正確な面積は

√ ( t − p )( t − q )( t − r )( t − s )。

ブラフマグプタはこれらの四角形が円に内接するとは明言していないが、彼の規則からそれが事実であることは明らかである。^{[ 26 ]}ヘロンの公式はこの公式の特殊な場合であり、一辺をゼロに設定することで導出できる。

ブラマグプタは続けて、

12.23. 等しくない四角形の2辺と対辺の積の和の平方根は対角線である。対角線の2乗から底辺と上辺の和の半分の2乗を引いたものが垂線である。^{[ 19 ]}

したがって、「等しくない」円に内接する四角形（つまり、二等辺台形）では、各対角線の長さは√ pr + qsです。

彼は、二等辺台形や不等辺四角形の外接半径、不等辺円に内接する四角形の対角線の長さなど、幾何学的図形の長さと面積の公式を次々と示し続けます。これがブラフマグプタの有名な定理につながります。

12.30–31. 辺の長さが異なる2つの三角形を[円に内接する四角形]の中に想像すると、2本の対角線が2つの底辺となる。それらの2つの線分は、対角線の交点で形成される上側と下側の線分である。2本の対角線の2つの[下側の線分]は、三角形の2辺となる。四角形の底辺は、三角形の底辺である。その垂線は[中心]垂線の下部であり、[中心]垂線の上部は、辺の垂線の合計の半分から[中心]垂線の下部を引いたものである。^{[ 19 ]}

40節では、πの値を与えている。

12.40. 直径と半径の二乗にそれぞれ3を掛けたものが、円の実質的な円周と面積である。正確な値は、これら2つの二乗の平方根に10を掛けたものである。^{[ 19 ]}

ブラフマグプタはπの「実用的な」値として3を使用し、${\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots }$誤差が1%未満の「正確な」 πの値として。

ブラフマグプタは、任意の辺を持つ様々な図形の作図法を示している。彼は基本的に直角三角形を操作して、二等辺三角形、不等辺三角形、長方形、二等辺台形、3辺が等しい二等辺台形、そして不等辺円四角形を作り出した。

円周率πの値を与えた後、彼は平面図形や立体の幾何学、例えば体積や表面積（または立体からくり抜かれた空隙）の求め方などを扱います。彼は直方体、ピラミッド、正四角錐台の体積を求めます。さらに、一連の穴の平均深さを求めます。ピラミッドの円錐台の体積については、「実用的」な値を深さに上面と底面の辺の平均の二乗を掛けた値とし、「表面積」の体積を深さにそれらの平均面積を掛けた値としています。^{[ 28 ]}

ブラフマグプタは、著書『ブラフマスプタシッダーンタ』の第2章「惑星の真経度」の中で、正弦表を提示している。

2.2–5. 正弦：始祖、双子；おおぐま座、双子、ヴェーダ；神々、火、六；味、サイコロ、神々；月、五、空、月；月、矢、太陽 [...] ^{[ 29 ]}

ここでブラフマグプタは、サンスクリット語の論文で数値データによく見られるように、位取り記数の桁を表すために物の名前を使用しています。「始祖」はインドの宇宙論における14人の始祖（「マヌ」）または14を表し、「双子」は2を意味し、「おおぐま座」はおおぐま座の7つの星または7を表し、「ヴェーダ」は4つのヴェーダまたは4を指し、「サイコロ」は伝統的なサイコロの面の数または6を表す、といった具合です。この情報は、214、427、638、846、1051、1251、1446、1635、1817、1991、2156、2312、2459、2594、2719、2832、2933、3021、3096、3159、3207、3242、3263、および3270の正弦のリストに変換できます。半径は3270です（これらの数値は${\displaystyle 3270\sin {\frac {\pi n}{48}}}$のために${\displaystyle n=1,\dots ,24}$) ^{[ 30 ]}

665年、ブラフマグプタは、すでに表にまとめられている他の値から正弦関数 の新しい値を補間するために、2次ニュートン・スターリング補間公式の特殊なケースを考案し、使用しました。 ^{[ 31 ]}この公式は、関数fの引数の値がa + xh ( h > 0、−1 ≤ x ≤ 1 ) の場合の推定値を与えます。これは、関数fの値がすでにa − h、a、およびa + hでわかっている場合に行われます。

推定値の計算式は以下のとおりです。

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.}$

ここで、Δは1次前方差分演算子、すなわち

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$