サンガマグラーマのマダヴァ

マダヴァが活躍した時期を特定する確たる証拠もありません。マダヴァは『ヴェンヴァローハ』の中で、その時代を西暦1400年としています。マダヴァの弟子であり、唯一知られている直弟子であるパラメーシュヴァラ・ナンブディリは、1430年に代表作『ドリッガニタ』を完成させたことが知られており、パラメーシュヴァラの生没年は1360年頃から1455年頃とされています。こうした状況証拠から、歴史家たちはマダヴァの生没年を1340年頃から1425年頃と推定しています。 

マダヴァ以前には、クタールル・キザール（2世紀）^{[ 13 ]} 、ヴァラルチ（4世紀）、シャンカラナラーヤナ（西暦866年）など、数名の天文学者が知られていました。他にも、マダヴァ以前に知られていない人物がいた可能性もあります。しかし、マダヴァ以降の伝統については、より明確な記録があります。 パラメーシュヴァラは直弟子でした。スーリヤ・シッダーンタのマラヤーラム語注釈のヤシの葉の写本によると、パラメーシュヴァラの息子ダモダラ（1400年頃～1500年頃）は、ニラカンタ・ソマヤジを弟子の1人として持っていました。ジェーシュタデーヴァはニラカンタの弟子でした。トリッカンティユールのアチュタ・ピシャラディはジェーシュタデーヴァの弟子として、文法学者メルパトゥール・ナラヤナ・バッタティリは彼の弟子として言及されています。^{[ 10 ]}

彼の数多くの貢献の中でも、正弦、余弦、逆正接の三角関数の無限級数や、円周を計算する多くの方法を発見したことが挙げられる。マダヴァの級数の1つは、マダヴァが発見した逆正接のべき級数の導出と証明を含むテキスト『ユクティバーサ』から知られている。 ^{[ 16 ] [ 15 ]}このテキストの中で、ジェーシュタデーヴァは次のように級数を説明している。

最初の項は、与えられた正弦と目的の弧の半径の積を弧の余弦で割ったものです。次の項は、最初の項に正弦の二乗を繰り返し掛け、余弦の二乗で割る反復処理によって得られます。すべての項は、1、3、5、...の奇数で割られます。弧は、奇数階の項と偶数階の項をそれぞれ加算および減算することによって得られます。弧の正弦またはその補数のどちらか小さい方を、ここで与えられた正弦として採用する必要があります。そうしないと、上記の反復によって得られた項は、ゼロの大きさに収束しません。^{[ 17 ]}

これにより、以下の結果が得られます。

${\displaystyle r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots }$

または同等に：

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

この数列はグレゴリー数列（マダヴァの3世紀後にこれを再発見したジェームズ・グレゴリーにちなんで名付けられた）である。たとえこの特定の数列をジェーシュタデーヴァの作品とみなしたとしても、グレゴリーより1世紀前に遡ることになり、確かに同様の性質を持つ他の無限数列はマダヴァによって研究されていた。今日では、これはマダヴァ・グレゴリー・ライプニッツ数列と呼ばれている。^{[ 17 ] [ 18 ]}

マダヴァは正確な正弦表を作成した。マダヴァの値は小数点以下第7位まで正確である。彼は24の等間隔で四分円をマークし、それぞれの等間隔に対応する半弦（正弦）の長さを示した。彼は級数展開に基づいてこれらの値を計算したと考えられている。^{[ 5 ]}

sin q = q − q ³ /3! + q ⁵ /5! − q ⁷ /7! + ...

cos q = 1 − q ² /2! + q ⁴ /4! − q ⁶ /6! + ...

マダヴァの数学定数πの値に関する研究は、Mahajyānayana prakāra（「大正弦の方法」）に引用されている。Sarma ^{[ 10 ]} などの学者の中には、この本はマダヴァ自身によって書かれた可能性があると考える者もいるが、16世紀の後継者の著作である可能性の方が高い。^{[ 5 ]}このテキストは、展開のほとんどをマダヴァに帰しており、現在マダヴァ・ライプニッツ級数として知られるπの次の無限級数展開を示している。^{[ 19 ] [ 20 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},}$

これは、逆正接関数のべき級数展開から得られたものです。しかし、最も印象的なのは、n項までの合計を計算した後の誤差に対する補正項R _{nも与えたことです}^{[ 5 ]}すなわち、次のようになります。

R _n = (−1) ⁿ / (4 n )、または

R _n = (−1) ⁿ ⋅ n / (4 n ² + 1)、または

R _n = (−1) ⁿ ⋅( n ² + 1) / (4 n ³ + 5 n )

ここで、3番目の補正によりπの非常に正確な計算が可能になります。

マダヴァがこれらの補正項をどのように見つけたのかは、長い間憶測されてきた。^{[ 21 ]}これらは有限連分数の最初の3つの収束項であり、元のマダヴァの級数をn項まで評価したものと組み合わせると、約3n / 2桁の正しい値が得られる。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.}$

次の高次の補正項の絶対値は

| R _n | = (4 n ³ + 13 n ) / (16 n ⁴ + 56 n ² + 9)。

彼はまた、 πの元の無限級数を変換して、より速く収束する級数を与え、無限級数を得た。

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).}$

彼は最初の 21 項を使用してπの近似値を計算することで、小数点以下 11 桁まで正確な値 (3.14159265359) を得ました。^{[ 22 ]} 小数点以下 13 桁まで正確な値 3.1415926535898 は、マダヴァに帰せられることもありますが、^{[ 23 ]}彼の弟子の 1 人によるものかもしれません。これらは、5 世紀以降に与えられたπの最も正確な近似値でした( πの数値近似の歴史を参照)。

サドラトナマーラというテキストには、 π  = 3.14159265358979324 (小数点以下17桁まで正確)という驚くほど正確な値が示されているようです 。これに基づいて、R. グプタはこのテキストもマダヴァによって書かれたと示唆しています。^{[ 5 ] [ 22 ]}

マダヴァはまた、弧長の他の級数と、 πの有理分数への関連する近似についても調査を行った。^{[ 5 ]}

マダヴァは、いくつかの三角関数のべき級数展開を開発し、それはケーララの天文学と数学の学派で彼の後継者たちによってさらに発展させられました。^{[ 24 ]}（微積分に関するいくつかの概念は、それ以前の数学者にも知られていました。）マダヴァはまた、バースカラ2世の著作を含む以前の著作に見られるいくつかの結果を拡張しました。^{[ 24 ]}しかし、彼らは微分と積分という2つの統一的なテーマの下に多くの異なるアイデアを統合したり、2つの間の関係を示したり、微積分を今日私たちが持っている強力な問題解決ツールに変えたりはしませんでした。^{[ 25 ]}

ケララ学派は、マラバール海岸でヨーロッパの航海士と初めて接触した15世紀から16世紀にかけてよく知られていました。当時、サンガマグラーマ近郊のムジリス港は海上貿易の主要拠点であり、多くのイエズス会宣教師や商人がこの地域で活動していました。ケララ学派の名声と、この時期にイエズス会の一部のグループが地元の学問に関心を示したことを考えると、マンチェスター大学のG・ジョセフを含む一部の学者は、ケララ学派の著作がこの頃、つまりニュートンの約1世紀前にヨーロッパにも伝わっていた可能性があると示唆しています^{[ 31 ] [ 32 ]}。しかし、そのような伝来が実際に起こったことを示す関連写本による直接的な証拠はありません^{[ 32 ]} 。デイヴィッド・ブレッソウドによれば、「19世紀まで、インドのシリーズ作品がインド国外、あるいはケララ州以外でも知られていたという証拠はない」とのことです。^{[ 33 ]}