微積分

微積分は、幾何学が形状の研究であり、代数学が算術演算の一般化の研究であるのと同じように、連続的な変化の数学的研究です。

もともとは微分積分学または「無限小の微積分学」と呼ばれていたこの学問には、微分積分学と積分積分学という2つの主要な分野があります。前者は瞬間的な変化率と曲線の傾きに関するもので、後者は量の蓄積と曲線の下または曲線間の面積に関するものです。この2つの分野は、微積分学の基本定理によって互いに関連しています。これらは、無限列と無限級数が明確に定義された限界に収束するという基本概念を利用しています。^[1]

微積分は17世紀後半にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって独立して開発されました。^[2]^{[3]その後の}極限の概念の体系化などの研究により、これらの発展はより強固な概念的基盤の上に築かれました。今日、微積分は科学、工学、社会科学の分野で広く使用されています。^[4]

語源

数学教育において、微積分学は無限小微積分学と積分微積分学の両方の略語であり、初等的な数学的解析の過程を指します。

ラテン語でcalculusは「小さな小石」（「石」を意味するcalxの縮小形）を意味し、この意味は今でも医学の世界で残っている。そのような小石は距離を数えたり、^[5]投票を集計したり、そろばんを使った計算をするのに使われたため、この言葉は計算を意味するラテン語となった。この意味で、この言葉は少なくとも1672年には英語で使われていた。これは数学のテキストをラテン語で書いたライプニッツとニュートンの出版の数年前である。^[6]

微分計算や積分計算に加えて、この用語は、特定の計算方法や、何らかの計算を暗示する理論を指す場合にも使用されます。この用法の例には、命題計算、リッチ計算、変分計算、ラムダ計算、シーケント計算、プロセス計算などがあります。さらに、「計算」という用語は、倫理学や哲学において、ベンサムの幸福計算や倫理計算などのシステムで多様に使用されています。

歴史

現代の微積分学は、17 世紀のヨーロッパでアイザックニュートンとゴットフリートヴィルヘルムライプニッツによって開発されました(両者は独立して、ほぼ同時期に初版が出版されました)。しかし、その要素は最初に古代エジプトで、その後ギリシャで登場し、その後中国と中東で登場し、さらに後になって中世ヨーロッパとインドで再び登場しました。

古代の先駆者

エジプト

積分学の目的の一つである体積と面積の計算は、エジプトのモスクワ・パピルス（紀元前 1820 年頃）に見られるが、その公式は単純な指示であり、どのように得られたかについては何も示されていない。^[7]^[8]

ギリシャ

古代ギリシャの数学者クニドスのエウドクソス（紀元前 390年頃～337年）は、積分学の基礎を築き、極限の概念を予見して、円錐とピラミッドの体積の公式を証明するための尽きる法を考案しました。

ヘレニズム時代には、この方法はアルキメデス（紀元前 287年頃-紀元前 212年頃）によってさらに発展し、彼はこれを無限小の先駆けである不可分の概念と組み合わせることで、現在積分法で扱われているいくつかの問題を解くことを可能にした。『力学定理の方法』では、例えば、固体半球の重心、円放物面の錐台重心、放物線とその割線で囲まれた領域の面積の計算について述べている。^[9]

中国

尽量の法則は、後に中国で3世紀に劉徽によって円の面積を求めるために独立して発見されました。^[10]^[11] 5世紀には、祖崇志の息子である祖庚之が、球の体積を求めるための、後にカヴァリエリの原理と呼ばれる方法を確立しました。 ^[12]^[13]

中世

中東

中東では、ハサン・イブン・アル＝ハイサム（ラテン語表記はアルハゼン、 965年頃～ 1040年頃）が4乗の和の公式を導き出しました。彼はその結果を使って、今ではこの関数の積分と呼ばれるものを実行し、積分の平方和と4乗の公式を使って放物面の体積を計算することができました。^[14]

インド

バースカラ2世（1114年頃 - 1185年）は微分積分学のいくつかの考えに精通しており、「微分係数」は関数の極値で消えると示唆した。^[15]彼は天文学の著作の中で、無限小法の先駆けとなるような手順を示した。すなわち、ならばこれは、コサインがサインの導関数であるという発見と解釈できる。^[16] 14世紀、インドの数学者は、いくつかの三角関数に適用できる、微分に似た非厳密な方法を示した。サンガマグラマのマドハヴァとケーララ天文学数学学校は微積分の構成要素を述べたが、ビクター・J・カッツによれば、彼らは「微分と積分という2つの統一テーマの下に多くの異なるアイデアを組み合わせ、両者の関係を示し、微積分を今日私たちが持っている素晴らしい問題解決ツールに変えることはできなかった」^{[14] 。} $x\approx y$ $\sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y).$

モダンな

ヨハネス・ケプラーの著書『立体測量法』（1615年）は積分学の基礎となった。^[17]ケプラーは楕円の焦点から引いた多数の半径の長さを足し合わせることで楕円の面積を計算する方法を考案した。^[18]

重要な業績は、ボナヴェントゥラ・カヴァリエリによって書かれた、ケプラーの方法を起源とする論文^[18]であり、体積と面積は極小の断面積の体積と面積の合計として計算されるべきであると主張した。その考えはアルキメデスの『方法』に似ていたが、この論文は13世紀に失われ、20世紀初頭に再発見されたと考えられており、カヴァリエリは知らなかったと思われる。カヴァリエリの方法は誤った結果につながる可能性があり、彼が導入した極小の量は当初評判が悪かったため、カヴァリエリの研究はあまり評価されていなかった。

微積分の正式な研究は、カヴァリエリの無限小数と、ほぼ同時期にヨーロッパで発展した差分法を結びつけた。ピエール・ド・フェルマーは、ディオファントスから借用したと主張し、無限小の誤差項までの等式を表すアデコレクトの概念を導入した。 ^[19]この組み合わせは、ジョン・ウォリス、アイザック・バロー、ジェームズ・グレゴリーによって達成され、後者の2人は1670年頃に微積分学の第二基本定理の先駆者を証明した。 ^[20]^[21]

積の法則と連鎖律^[22]、高次導関数とテイラー級数^[23]の概念、解析関数^[24]は、アイザック・ニュートンによって独特の表記法で使用され、数理物理学の問題を解くために適用されました。ニュートンは著書の中で、当時の数学の表現方法に合うように自分のアイデアを言い換え、無限小での計算を、非の打ちどころのないものとみなされた同等の幾何学的議論に置き換えました。彼は、惑星の運動、回転する流体の表面の形状、地球の扁平率、サイクロイド上を滑る重りの運動、および彼の著書『プリンキピア』 （1687年）で議論された他の多くの問題を解決するために微積分の方法を使用しました。他の著作では、分数累乗や無理数累乗を含む関数の級数展開を展開しており、テイラー級数の原理を理解していたことは明らかでした。彼はこれらの発見のすべてを公表しなかったが、当時は微量測定法はまだ評判が悪いと考えられていた。^[25]

これらのアイデアは、当初ニュートンから盗作の疑いをかけられていたゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって真の微積分学にまとめられた。 ^{[26]現在では、彼は微積分の}独立した発明者および貢献者とみなされている。彼の貢献は、微分量を扱うための明確な規則を提供し、2次およびそれ以上の導関数の計算を可能にし、積分形式と積分形式で積分則と連鎖律を提供したことだ。ニュートンとは異なり、ライプニッツは表記法の選択に細心の注意を払った。^[27]

今日では、ライプニッツとニュートンは、通常、独立して微積分を発明し、発展させた功績を両者とも認められています。ニュートンは、微積分を一般物理学に初めて応用した人物です。ライプニッツは、今日の微積分で使用されている記法の多くを考案しました。^[28]^：51–52ニュートンとライプニッツの両者がもたらした基本的な洞察は、微分と積分が逆過程であることを強調した微分と積分の法則、2次以上の導関数、および近似多項式級数の概念でした。

ニュートンとライプニッツが初めて結果を発表したとき、どちらの数学者（したがってどちらの国）が功績を認められるかで大きな論争があった。ニュートンが最初に結果を導き出した（後に流数法として発表）が、ライプニッツが「最大と最小のための新方法」を最初に発表した。ニュートンは、ライプニッツが、王立協会の数名と共有していた彼の未発表のメモからアイデアを盗んだと主張した。この論争は、英語圏の数学者と大陸ヨーロッパの数学者を長年にわたって分断し、英国の数学に損害を与えた。^[29]ライプニッツとニュートンの論文を注意深く調べると、彼らは独立して結果に到達しており、ライプニッツは最初に積分から始め、ニュートンは微分から始めたことがわかる。しかし、この新しい分野に名前を付けたのはライプニッツである。ニュートンは微積分学を「流数学」と呼び、この用語は19世紀までイギリスの学校で使われ続けた。^[30]^{: 100}英語で書かれ、ライプニッツ記法を使用した微積分学に関する最初の完全な論文は1815年まで出版されなかった。^[31]

ライプニッツやニュートンの時代以来、多くの数学者が微積分の継続的な発展に貢献してきました。微積分と積分に関する最初の、そして最も完全な著作の一つは、 1748年にマリア・ガエターナ・アニェージによって書かれました。^[32]^[33]

基礎

微積分学において、基礎とは公理と定義から対象を厳密に発展させることを指す。初期の微積分学では、微小量の使用は厳密ではないと考えられ、ミシェル・ロールやビショップ・バークリーなど数人の著者から激しく批判された。バークリーは1734年に著書『分析家』の中で、微小量を過去の量の亡霊と表現したことで有名である。ニュートンやライプニッツに続く1世紀の大半、数学者たちは微積分の厳密な基礎を作り上げることに専念し、今日でもある程度は活発に研究されている分野である。^[34]

マクローリンを含む数人の数学者が無限小の使用の妥当性を証明しようとしたが、150年後、コーシーとワイエルシュトラスの研究により、無限小量の単なる「概念」を避ける方法がようやく発見された。^[35]微分積分学の基礎が築かれた。コーシーの『解析学』には、無限小による連続性の定義や、微分の定義における極限の（やや不正確ではあるが）プロトタイプの（ε, δ）定義など、幅広い基礎的アプローチが見られる。 ^[36]ワイエルシュトラスは、その研究で極限の概念を形式化し、無限小を排除した（ただし、ワイエルシュトラスの定義は、nilsquare無限小を検証できる）。ワイエルシュトラスの研究に続いて、微積分は極限ではなく無限小量に基づくのが一般的になったが、このテーマは今でも時々「無限小微積分」と呼ばれる。ベルンハルト・リーマンはこれらの考え方を使って積分の正確な定義を与えた。^{[37]また、この時期には、}複素解析の発展とともに微積分のアイデアが複素平面に一般化された。^[38]

現代数学では、微積分の基礎は実解析の分野に含まれており、そこには微積分の定理の完全な定義と証明が含まれている。微積分の範囲も大幅に拡大されている。アンリ・ルベーグはエミール・ボレルの初期の発展に基づいて測度論を発明し、それを使って最も異常な関数を除くすべての関数の積分を定義した。^[39]ローラン・シュワルツは超関数を導入し、これを使ってあらゆる関数の微分を取ることができる。^[40]

極限は、微積分学の基礎に対する唯一の厳密なアプローチではない。別の方法は、アブラハム・ロビンソンの非標準解析を使用することである。1960年代に開発されたロビンソンのアプローチは、数学論理の技術的機構を使用して、元のニュートン-ライプニッツの概念のように、無限小数と無限数で実数系を拡張する。結果として得られる数は超実数と呼ばれ、微積分の通常の規則をライプニッツのように展開するために使用できる。^{[41]また、}滑らかな無限小解析もあり、これは導出中に高次無限小を無視することを義務付ける点で非標準解析と異なる。^{[34]滑らかな無限小解析は、}FWローヴェレのアイデアに基づき、圏論の方法を採用して、すべての関数を連続的で、離散的な実体で表現できないものと見なします。この定式化の1つの側面は、排中律が成り立たないことです。 ^[34]排中律は構成的数学でも否定されている。構成的数学は、数、関数、その他の数学的対象の存在の証明は、その対象の構成を与えるべきであると主張する数学の一分野である。構成的枠組みにおける微積分の再定式化は、一般的に構成的解析の主題の一部である。^[34]

意義

微積分学の考え方の多くはギリシャ、中国、インド、イラク、ペルシャ、日本で以前に開発されていましたが、微積分学の使用は17世紀にヨーロッパで始まり、ニュートンとライプニッツが初期の数学者の研究に基づいてその基本原理を導入しました。^[11]^[25]^[42]ハンガリーの博学者ジョン・フォン・ノイマンはこの研究について次のように書いています。

微積分は近代数学の最初の成果であり、その重要性を過大評価することは難しい。微積分は他の何よりも近代数学の始まりを明確に定義し、その論理的発展である数学的分析のシステムは、正確な思考における最大の技術的進歩を構成していると私は考えている。^[43]

微分積分の応用としては、速度や加速度、曲線の傾き、最適化などの計算がある。^[44]^：341–453積分積分の応用としては、面積、体積、円弧の長さ、質量中心、仕事、圧力などの計算がある。^[44]^：685–700より高度な応用としては、べき級数やフーリエ級数がある。

微積分は、空間、時間、運動の性質をより正確に理解するためにも使用されます。何世紀にもわたり、数学者や哲学者は、ゼロ除算や無限数の和に関するパラドックスと格闘してきました。これらの問題は、運動と面積の研究で発生します。古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは、そのようなパラドックスの有名な例をいくつか挙げています。微積分は、特に極限と無限級数などのツールを提供し、パラドックスを解決します。^[45]

原則

極限と無限小

微積分学は、通常、非常に小さな量を扱うことによって発展します。歴史的に、その最初の方法は無限小によるものでした。これらは、実数のように扱うことができるが、ある意味では「無限に小さい」オブジェクトです。たとえば、無限小数は 0 より大きく、1、1/2、1/3、... のシーケンスのどの数よりも小さく、したがってどの正の実数よりも小さくなります。この観点から、微積分学は無限小を操作するための一連の技術です。記号とは無限小とみなされ、導関数はそれらの比でした。^[34] $dx$ $dy$ $dy/dx$

無限小アプローチは、無限小の概念を正確に表現するのが難しかったため、19 世紀には支持されなくなりました。19 世紀後半には、学界では、無限小は極限に対するイプシロンデルタアプローチに置き換えられました。極限は、特定の入力における関数の挙動を、その近傍の入力における値で記述します。極限は、実数系の固有の構造(最小上限特性を持つ距離空間として) を使用して、小規模な挙動を捉えます。この扱い方では、微積分とは、特定の極限を操作するための一連の手法です。無限小は、より小さな数の列に置き換えられ、関数の無限小の挙動は、これらの列の極限挙動をとることで求められます。極限は、微積分にさらに厳密な基礎を提供すると考えられ、このため、20 世紀には標準的なアプローチとなりました。しかし、20世紀に非標準解析と滑らかな微小解析が導入され、微小数の操作に強固な基盤が築かれ、微小数の概念は復活しました。^[34]

微分積分

微分積分学は、関数の導関数の定義、特性、および応用を研究する学問です。導関数を求める過程は、微分と呼ばれます。関数と定義域内の点が与えられた場合、その点における導関数は、その点付近での関数の小規模な動作をコード化する方法です。関数の定義域内のすべての点で関数の導関数を求めることで、導関数または単に元の関数の導関数と呼ばれる新しい関数を作成できます。正式な用語では、導関数は、関数を入力として受け取り、2 番目の関数を出力として生成する線形演算子です。これは、関数が通常数値を入力して別の数値を出力する初等代数で学習する多くの過程よりも抽象的です。たとえば、2 倍関数に 3 という入力が与えられると、6 が出力され、2 乗関数に 3 という入力が与えられると、9 が出力されます。ただし、導関数は、2 乗関数を入力として受け取ることができます。これは、導関数が2乗関数のすべての情報（2は4に、3は9に、4は16に、など）を取得し、この情報を使用して別の関数を生成することを意味します。2乗関数を微分して生成される関数は、2倍関数であることがわかります。^[28]^{: 32}

より明確に言えば、「倍数関数」は $g (x) = 2 x$ で表され、「二乗関数」は $f (x) = x 2$ で表されます。「導関数」は、式「 $x$ $2 」で定義される関数$ $f (x)$ を入力として受け取ります。これは、2 が 4 に送られ、3 が 9 に送られ、4 が 16 に送られるなど、すべての情報です。そして、この情報を使用して、別の関数、関数 $g$ $($ $x$ $) = 2$ $x$ を出力します。

ラグランジュの表記法では、導関数の記号はプライムと呼ばれるアポストロフィのような記号です。したがって、関数 $fの導関数は$ $f'$ で表され、「f プライム」または「f ダッシュ」と発音されます。たとえば、 $f$ $($ $x$ $) =$ $x$ $2$ が 2 乗関数である場合、 $f'$ $($ $x$ $) = 2$ $x$ はその導関数です (上記の 2 倍関数 $g )。$

関数の入力が時間を表す場合、導関数は時間に関する変化を表します。たとえば、 $f$ が時間を入力としてその時間におけるボールの位置を出力する関数である場合、 $f$ の導関数は時間における位置の変化、つまりボールの速度を表します。 ^[28]^{: 18–20}

関数が線形の場合（つまり、関数のグラフが直線の場合）、関数は $y = mx + b$ と表すことができます。ここで、 $x$ は独立変数、 $y$ は従属変数、 $b$ はy切片であり、次のようになります。

m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.

これは直線の傾きの正確な値を与える。^[46]^{: 6}ただし、関数のグラフが直線でない場合は、 $yの変化を$ $x$ の変化で割った値は変化する。導関数は、入力の変化に対する出力の変化の概念に正確な意味を与える。具体的には、関数 $fとし、$ $f$ の定義域に点 $a を$ 固定する。 $($ $a$ $,$ $f$ $($ $a$ $)) は$ 関数のグラフ上の点である。 $h が$ ゼロに近い数であれば、 $a$ $+$ $hは$ $a$ に近い数である。したがって、 $($ $a$ $+$ $h$ $,$ $f$ $($ $a$ $+$ $h$ $))は$ $($ $a$ $,$ $f$ $($ $a$ $))$ に近い。この 2 点間の傾きは

m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

この式は差分商と呼ばれます。曲線上の 2 点を通る線は割線と呼ばれ、 $m は$ $(a 、 f (a))$ と $(a + h 、 f (a + h))$ の間の割線の傾きです。2 番目の線は、 $a$ と $a$ $+$ $h$ の間で何が起こるかを考慮していないため、点 $a$ での関数の動作の近似値にすぎません。 $h$ を 0 に設定しても、 $a$ での動作を見つけることはできません。これは、未定義の0 で割る必要があるためです。導関数は、 $h が$ 0 に近づくときの極限を取ることで定義されます。つまり、 $h$ のすべての小さな値に対する $fの動作を考慮し、$ $h$ が 0 の場合に一貫した値を抽出します。

\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.

幾何学的には、導関数は関数 f のグラフの接線の傾きである $。$ $導$ 関数が差商の極限であるのと同様に、接線は割線の極限である。このため、導関数は関数 $f$ の傾きと呼ばれることもある。^[46]^{: 61–63}

ここでは、入力 3 における二乗関数の導関数という特別な例を示します。二乗関数を $f (x) = x 2とします。$

ある点における曲線の導関数 $f' (x)$ は、その点でその曲線に接する直線の傾きです。この傾きは、2 番目の直線の傾きの極限値を考慮して決定されます。ここで関係する関数 (赤で描画) は、 $f (x) = x 3 - x$ です。点(−3/2, −15/8)を通る接線 (緑)の傾きは 23/4 です。この画像の垂直スケールと水平スケールは異なります。

{\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}

点 (3, 9) における二乗関数の接線の傾きは 6 です。つまり、右に行くよりも 6 倍速く上がっているということです。今説明した極限処理は、二乗関数のドメイン内の任意の点に対して実行できます。これにより、二乗関数の微分関数、または単に二乗関数の微分が定義されます。上記と同様の計算により、二乗関数の微分は倍関数であることがわかります。^[46]^{: 63}

ライプニッツ記法

ライプニッツが導入した、上記の例の導関数の一般的な表記法は次の通りである。

{\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}

限界に基づくアプローチでは、記号 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ダイ/dx⁠ は$ 、2つの数の商ではなく、上で計算した極限の省略形として解釈されるべきである。^[46]^{: 74}しかし、ライプニッツは、これを2つの極めて小さな数の商を表すものと意図していた。dy は、 $x$ $に$ 適用された極めて小さな変化 $dxによって生じる$ $y$ の極めて小さな変化である $。また、 ⁠$ を考えることもできる。 $d / dx ⁠ は$ 微分演算子として、関数を入力として受け取り、別の関数、つまり導関数を出力として返します。例:

{\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.

この用法では、分母の $dxは「$ $x$ に関して」と読みます。^[46]^{: 79}正しい表記の別の例は次のとおりです。

{\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}

微積分が無限小ではなく極限を使用して展開される場合でも、 $dx$ や $dy$ などの記号を実数であるかのように操作するのが一般的です。このような操作を避けることは可能ですが、全微分などの演算を表現する際に表記上便利な場合があります。

積分学

積分学は、不定積分と定積分という2つの関連概念の定義、特性、および応用を研究する学問である。積分の値を求める過程は積分と呼ばれる。^[44]^{: 508 不定積分は、}反微分とも呼ばれ、微分に対する逆の操作である。^[46]^{: 163–165} $fが$ $F$ の微分である場合、 $Fは$ $f$ の不定積分である。(関数とその不定積分に小文字と大文字を使用するのは、微積分学では一般的である。) 定積分は関数を入力し、入力のグラフとx軸の間の面積の代数和を与える数値を出力します。定積分の技術的な定義には、リーマン和と呼ばれる長方形の面積の合計の極限が含まれます。^[47]^{: 282}

例として、与えられた時間内に移動した距離が挙げられます。^[46]^{: 153}速度が一定の場合は、乗算のみが必要です。

\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}

しかし、速度が変化する場合は、より強力な距離測定方法が必要になります。その方法の 1 つは、時間を多数の短い時間間隔に分割し、各間隔で経過した時間にその間隔内の速度の 1 つを掛けて、各間隔で移動したおおよその距離の合計 (リーマン和) を求めることで、移動した距離を概算することです。基本的な考え方は、経過時間が短い場合は、速度はほぼ同じままであるということです。ただし、リーマン和は移動した距離の近似値しか与えません。正確な移動距離を求めるには、このようなリーマン和すべての極限を求める必要があります。

速度が一定の場合、与えられた時間間隔で移動した総距離は、速度と時間を掛け合わせることで計算できます。たとえば、一定速度で時速 50 マイルで 3 時間移動すると、総距離は 150 マイルになります。速度を時間の関数としてプロットすると、高さが速度に等しく、幅が経過時間に等しい長方形が得られます。したがって、速度と時間の積によって、（一定の）速度曲線の下の長方形の面積も計算されます。^[44]^{: 535} 曲線の下の面積と移動距離の関係は、一定期間にわたって変動する速度を示す不規則な形状の領域にまで拡張できます。f ( x ) が時間の経過と共に変化する速度を表す場合、 $a$ $と$ $b$ $で$ $表さ$ れる $時間$ の間に移動した距離は、 $f (x)$ と $x$ 軸の間、つまり $x = a$ と $x = b の$ 間の領域の面積です。

$その面積を近似するには、直感的な方法として、 a$ と $b$ の間の距離をいくつかの等しいセグメントに分割し、各セグメントの長さを記号 $Δ xで表す方法があります。各小さなセグメントに対して、関数$ $f (x)$ の 1 つの値を選択できます。その値を $h$ $と呼びます。次に、底辺Δ x$ と高さ $h$ の長方形の面積は、そのセグメントで移動した距離 (時間 $Δ x$ に速度 $h$ を掛けたもの) を示します。各セグメントには、その上の関数 $f (x) = h$ の平均値が割り当てられています。このような長方形をすべて合計すると、軸と曲線の間の面積の近似値が得られ、これは移動した総距離の近似値です。Δ $x$ $の値が小さいほど、長方形の数が多くなり、ほとんどの場合、近似値が良くなりますが、正確な答えを得るには、$ $Δ x が$ ゼロに近づくにつれて極限を取る必要があります。^[44]^{: 512–522}

積分の記号は、合計を表すために細長い Sが選ばれている。^[44]^{: 529}定積分は次のように表される。 $\int$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

これは「 xに関するxのfのaからbへの積分」と読みます。ライプニッツの記法 $dxは、$ 曲線の下の領域を無限個の長方形に分割し、その幅 $Δx$ $が$ 無限小の $dx$ になるようにすることを示唆しています。^[28]^：44

不定積分、または不定積分は次のように記述されます。

\int f(x)\,dx.

定数だけ異なる関数は同じ導関数を持ち、与えられた関数の原始導関数は定数だけ異なる関数の族であることが示される。^[47]^：326関数 $y = x 2 + C$ （ $Cは任意の定数）の導関数は$ $y' = 2 x$ であるため、後者の原始導関数は次のように与えられる。

\int 2x\,dx=x^{2}+C.

不定積分や不定積分中に存在する不特定の定数 $Cは$ 積分定数として知られている。^[48]^{: 135}

基本定理

微積分学の基本定理は、微分と積分は逆の演算であると述べている。^[47]^{: 290}より正確には、この定理は原始微分の値を定積分に関連付けるものである。原始微分を計算する方が定積分の定義を適用するよりも通常は簡単であるため、微積分学の基本定理は定積分を計算する実用的な方法を提供している。また、この定理は、微分が積分の逆であるという事実を正確に述べているとも解釈できる。

微積分学の基本定理は、関数 $f$ が区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]上で$ 連続であり、 $F$ が区間 $($ $a$ $,$ $b$ $)$ 上で導関数 $f$ である関数である場合、

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

さらに、区間 $（$ $a$ $、$ $b$ $）内の任意の$ $x$ について、

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

ニュートンとライプニッツの両者が成し遂げたこの認識は、彼らの研究が知られるようになってから解析的結果が広まる鍵となった。（ニュートンとライプニッツが直前の研究者たちからどの程度影響を受けたか、特にライプニッツがアイザック・バローの研究から何を学んだかは、両者の間に優先権争いがあるため判断が難しい。^{[49] ）基本定理は、}原始微分を求める公式を見つけることで、極限過程を実行せずに多くの定積分を計算する代数的手法を提供する。また、微分方程式の原型解でもある。微分方程式は未知の関数とその導関数を関連付けるものであり、科学のあらゆる分野で広く用いられている。^[50]^{: 351–352}

アプリケーション

オウムガイの殻の対数螺旋は、微積分に関連する成長と変化を表すために使用される古典的な図像です。

微積分は物理科学のあらゆる分野で使用されています。^[51]¹ 保険数理科学、コンピュータサイエンス、統計学、工学、経済学、ビジネス、医学、人口統計学、および問題を数学的にモデル化でき、最適な解決策が求められるその他の分野。^[52]これにより、（一定でない）変化率から総変化へ、またはその逆に進むことができます。多くの場合、問題を研究する際には、一方がわかっていて、もう一方を見つけようとしています。^[53]微積分は他の数学分野と組み合わせて使用できます。たとえば、線形代数と組み合わせて使用すると、ドメイン内の一連の点に「最もよく合う」線形近似を見つけることができます。または、確率理論で使用して、確率密度関数が与えられた場合の連続ランダム変数の期待値を決定することができます。^[54]^{: 37}関数のグラフを研究する解析幾何学では、微積分は高点と低点（最大値と最小値）、傾き、凹面、変曲点を見つけるために使用されます。微積分は方程式の近似解を見つけるためにも使用され、実際には、ほとんどのアプリケーションで微分方程式を解き、根を見つけるための標準的な方法です。例としては、ニュートン法、固定点反復法、線形近似法などがあります。たとえば、宇宙船はオイラー法のバリエーションを使用して、無重力環境内での曲線コースを近似します。

物理学では特に微積分が使われます。古典力学と電磁気学のすべての概念は微積分を通して関連しています。密度がわかっている物体の質量、物体の慣性モーメント、重力と電磁力による位置エネルギーはすべて微積分を使って求めることができます。力学における微積分の使用例としては、ニュートンの運動の第二法則があります。これは、物体の運動量の時間微分は、物体に働く正味の力に等しいというものです。あるいは、ニュートンの第二法則は、正味の力は物体の質量と加速度の積に等しいと表現することもできます。加速度は速度の時間微分であり、したがって空間位置の第二の時間微分です。物体がどのように加速しているかを知ることから始めて、微積分を使ってその経路を導きます。^[55]

マクスウェルの電磁気学やアインシュタインの一般相対性理論も微分積分学の言語で表現される。^[56]^[57]^{: 52–55}化学では反応速度の決定や放射性崩壊の研究にも微積分学が用いられる。 [58 ^]^{: 599}^[58]^{: 814}生物学では個体群動態は繁殖率と死亡率から始まり、個体群の変化をモデル化する。^[59]^[60]^{: 631}

グリーンの定理は、単純な閉曲線Cの周りの線積分と、Cで囲まれた平面領域D上の二重積分との関係を与え、図面上の平面の面積を計算するために使用されるプラニメータと呼ばれる機器に適用されます。 ^[61]たとえば、敷地のレイアウトを設計するときに、不規則な形の花壇やプールが占める面積を計算するために使用できます。

医学の分野では、微積分は血流を最大化するために血管の最適な分岐角度を見つけるために使われます。 ^{[62]微積分は、薬物が体からどれだけ早く排出されるか、または}癌の腫瘍がどれだけ早く成長するかを理解するために応用できます。^[63]

経済学では、微積分は限界費用と限界収入の両方を簡単に計算する方法を提供することで最大利益を決定することを可能にする。^[64]^{: 387}

参照

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