線形方程式

数学において、線形方程式とは、次の形式で表すことができる方程式のことである。 $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ どこ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ は変数（または未知数）であり、 $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ は係数であり、多くの場合実数です。係数は方程式のパラメータとみなすことができ、変数を含まない限り、任意の式にすることができます。意味のある方程式を得るためには、係数は $a_{1},\ldots ,a_{n}$ すべてがゼロであってはならない。

あるいは、ある体上の線形多項式をゼロに等しいとおくことによって線形方程式を得ることができ、その係数は体から取られる。

このような方程式の解とは、未知数に代入したときに等式が成り立つような値のことである。

変数が1つだけの場合、解はちょうど1つだけ存在する（ただし、 $a_{1}\neq 0$ ) 多くの場合、線形方程式という用語は、暗黙のうちにこの特定のケースを指し、この場合、変数は当然未知数と呼ばれます。

2変数の場合、各解はユークリッド平面上の点のデカルト座標として解釈できます。線形方程式の解はユークリッド平面上の直線を形成し、逆に、すべての直線は2変数線形方程式のすべての解の集合と見なすことができます。これが、この種の方程式を記述するための「線形」という用語の由来です。より一般的には、 $n$ 変数線形方程式の解は、 $n$ 次元ユークリッド空間内の超平面（ $n$ $-1$ 次元の部分空間）を形成します。

線形方程式は、数学全般、そして物理学や工学におけるその応用において頻繁に現れる。これは、非線形システムが線形方程式によってうまく近似できる場合が多いからである。

本稿では、実数体上の係数を持つ単一の方程式について考察し、その実数解を研究する。本稿の内容はすべて複素数解にも適用可能であり、より一般的には、任意の体上の係数と解を持つ線形方程式にも適用可能である。複数の連立線形方程式については、「線形方程式系」を参照のこと。

1つの変数

$1変数x$ の線形方程式は次のように書くことができます。 $ax+b=0,$ と $a\neq 0$ 。

解決策は $x=-{\frac {b}{a}}$ 。

2つの変数

$2つの変数x$ と $y$ に関する線形方程式は次のように書くことができます。 $ax+by+c=0,$ $a$ と $bは$ 両方とも $0$ ではない。^{[ 1 ]}

$a$ と $b$ が実数の場合、解は無限に存在する。

線形関数

$b \neq 0 の$ 場合、方程式

ax+by+c=0

$これは、 x$ のすべての値に対して、単一変数 $yに関する線形方程式です。したがって、$ $y$ に対して一意の解が存在し、それは次のように与えられます。

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

これは関数を定義します。この関数のグラフは傾きを持つ直線です。 $-{\frac {a}{b}}$ y切片 $$ $-{\frac {c}{b}}.$ グラフが直線となる関数は、微積分学の分野では一般的に線形関数と呼ばれます。しかし、線形代数においては、線形関数とは、和を被和項の像の和に写像する関数です。したがって、この定義では、上記の関数は $c$ $= 0$ の場合、つまり直線が原点を通る場合にのみ線形となります。混乱を避けるため、グラフが任意の直線となる関数はアフィン関数と呼ばれることが多く、 $c$ $= 0となる線形関数は$ 線形写像と呼ばれることが多いです。

幾何学的解釈

線形方程式の各解 $(x, y)$

ax+by+c=0

は、ユークリッド平面上の点のデカルト座標と見なすことができる。この解釈によれば、 $a$ と $bが$ 両方ともゼロでない限り、方程式のすべての解は直線を形成する。逆に、すべての直線は、線形方程式のすべての解の集合である。

「線形方程式」という言葉は、直線と方程式の間のこの対応関係に由来する。2つの変数を含む線形方程式とは、その解が直線となる方程式のことである。

$b \neq 0$ の場合、直線は前のセクションで定義された $x$ の関数のグラフになります。b $= 0$ $の$ 場合、直線は方程式の垂直線（つまり $y軸に平行な線）になります。$ $x=-{\frac {c}{a}},$ $これは、 x$ の関数のグラフではありません。

同様に、 $a \neq 0$ の場合、直線は $y$ の関数のグラフであり、 $a = 0$ の場合、水平な直線の方程式が得られます。 $y=-{\frac {c}{b}}.$

直線の式

直線を定義する方法は様々です。以下の各節では、それぞれの場合における直線の線形方程式を示します。

傾き切片形式または勾配切片形式

垂直でない直線は、その傾き $m$ と $y$ 切片 $y 0$ ( $y$ 軸との交点の $y$ 座標) によって定義できます。この場合、その線形方程式は次のように書くことができます。

y=mx+y_{0}.

さらに、直線が水平でない場合は、その傾きと $x$ 切片 $x₀$ によって定義できます。この場合、その方程式は次のように書くことができます $。$

y=m(x-x_{0}),

または同等に、

y=mx-mx_{0}.

これらの形式は、垂直でない直線を関数のグラフとみなす習慣に基づいている。^{[ 2 ]}方程式で与えられる直線の場合

ax+by+c=0,

これらの形式は、関係式から容易に推論できる。

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

点傾斜形式または点勾配形式

垂直でない線は、その傾き $m$ と座標によって定義できます。 $x_{1},y_{1}$ 直線上の任意の点について。この場合、直線の線形方程式は次のようになります。

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

または

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

この方程式は次のように書くこともできます

y-y_{1}=m(x-x_{1})

直線の傾きは、任意の2点の座標から計算できることを強調するため。

インターセプトフォーム

軸に平行ではなく、原点を通らない直線は、軸を2つの異なる点で切断します。これらの2点の切片値 $x 0$ と $y 0$ はゼロではなく、直線の式は^{[ 3 ]です。}

\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.}

（この方程式で定義される直線の切片が $x 0$ と $y 0$ であることは容易に確認できます。）

2点形式

2つの異なる点 $(x 1, y 1)$ と $(x 2, y 2)$ が与えられたとき、それらを通る直線はただ1つだけ存在する。この直線の線形方程式は、いくつかの方法で表すことができる。

$x 1 \neq x 2$ の場合、直線の傾きは ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$ したがって、点傾斜形式は^{[ 3 ]}

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})。

分母を消去すると、次の式が得られる。

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

$これはx 1 = x 2$ の場合にも有効です（これを検証するには、与えられた 2 つの点がこの方程式を満たすことを検証すれば十分です）。

この形式は与えられた2点に関して対称ではありませんが、定数項を再編成することで対称な形式が得られます。

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

（2つの点を入れ替えると、方程式の左辺の符号が変わります。）

行列式形式

直線の方程式の2点形式は、行列式を用いて簡単に表現できます。これには2つの一般的な方法があります。

方程式 $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0$ これは、方程式の行列式を展開した結果です。

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

方程式 $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ 方程式の行列式を最初の行に関して展開することにより得られる。

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

$この形式は非常にシンプルで覚えやすいだけでなく、次元n$ $- 1$ の空間内の $n$ 個の点を通る超平面のより一般的な方程式の特殊な場合であるという利点があります。これらの方程式は、射影空間内の点の線形依存性の条件に基づいています。

2つ以上の変数

2 つ以上の変数を含む線形方程式は、常に次の形式であると仮定できます。

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

係数 $b は$ 、しばしば $a 0$ と表記され、定数項と呼ばれます(古い書籍では絶対項と呼ばれることもあります^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} )。文脈によっては、係数という用語はi $>$ $0$ の $a i$ に限定されることがあります。

扱う際には $n=3$ 変数を使うのは一般的です $x,\;y$ そして $z$ インデックス付き変数の代わりに。

このような方程式の解とは、 $n$ 個の要素からなる組であり、その組の各要素を対応する変数に置き換えることで、方程式が真の等式に変換されるようなものである。

方程式が意味を持つためには、少なくとも1つの変数の係数がゼロ以外でなければなりません。すべての変数の係数がゼロの場合、1つの変数の場合と同様に、方程式は解を持たないため矛盾しているか（ $b \neq 0の場合）、またはすべての$ $n$ 組が解となります。

$n$ 個の変数を持つ線形方程式の解であるn $組$ は、 $n$ 次元ユークリッド空間(係数が複素数または任意の体に属する場合はアフィン空間)内の $($ $n$ $- 1)$ 次元超平面上の点のデカルト座標です。3 つの変数の場合、この超平面は平面です。

線形方程式が $a j \neq 0$ で与えられた場合、方程式を $x j$ について解くと、次の式が得られます。

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

係数が実数である場合、これは $n 個の$ 実変数の実数値関数を定義します。

注記

↑ Barnett、Ziegler 、 Byleen 2008、15ページ
↑ Larson & Hostetler 2007 、p. 25
1 2ウィルソン＆トレーシー 1925、52-53ページ
↑チャールズ・ハイラム・チャップマン (1892)。『方程式論入門』。J. ワイリー＆サンズ。p. 17。17ページからの抜粋
↑デイビッド・マーティン・センセニグ (1890).普遍化された数：高度な代数学。アメリカン・ブック・カンパニー。p. 113。 113ページからの抜粋

参考文献

Barnett, RA; Ziegler, MR; Byleen, KE (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson, ISBN 978-0-13-157225-6
ラーソン、ロン；ホステトラー、ロバート（2007）、『プレカリキュラス：簡潔なコース』、ホートン・ミフリン、ISBN 978-0-618-62719-6
ウィルソン、WA; トレーシー、JI (1925)、解析幾何学（改訂版）、DC ヒース

外部リンク

「線形方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[1] Barnett、Ziegler 、 Byleen 2008、15ページ

[2] Larson & Hostetler 2007 、p. 25

[WilsonTracey-3] 1 2ウィルソン＆トレーシー 1925、52-53ページ

[4] チャールズ・ハイラム・チャップマン (1892)。『方程式論入門』。J. ワイリー＆サンズ。p. 17。17ページからの抜粋

[5] デイビッド・マーティン・センセニグ (1890).普遍化された数：高度な代数学。アメリカン・ブック・カンパニー。p. 113。 113ページからの抜粋

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]です。

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