小数点

十進記 数法（10進 法、 10進数 / ˈ d iː n ər i / ^[1]またはデカナリアとも呼ばれる）は、整数と非整数の数を表す標準的なシステムである。これは、ヒンドゥー-アラビア記数法の非整数（小数）への拡張である。十進法で数を表す方法は、しばしば十進記法と呼ばれる。^[2]

10進数（単に10進数、または不正確ではあるが10進数とも呼ばれる）は、一般的に10進数表記法による数値の表記を指す。10進数は、小数点記号（通常は「.」または「,」、25.9703や3,1415など）で識別されることもある。^[3]また、 10進数は、小数点記号の後の数字を指すこともある。例えば、「3.14は、 πを2桁小数で近似した値です」など。10進数記号の後の0桁は、値の精度を表すために用いられる。

10 進法で表せる数は、小数です。つまり、a /10 ⁿという形式の分数です。ここで、 aは整数、n は負でない整数です。小数は、整数と小数部分を加算することでも得られます。その結果得られる合計は、分数と呼ばれることもあります。

小数は実数を近似するためによく使用されます。小数点以下の桁数を増やすことで、新しい桁を計算する方法があれば、近似誤差を必要なだけ小さくすることができます。

元来、そしてほとんどの場合、小数は小数点の後に有限個の桁しか持たない。しかし、小数点の後に無限の桁の並びを使うことによって、十進法は任意の実数を表すために無限小数に拡張された（十進表現を参照）。この文脈では、小数点の後に有限個の非ゼロ桁を持つ通常の小数は、終端小数と呼ばれることもある。循環小数とは、ある位置の後、同じ桁の並びを無限に繰り返す無限小数である（例：5.123144144144144... = 5.123 144）。^[4]無限小数は、循環小数であるか有限個の非ゼロ桁を持つ場合にのみ、2つの整数の商である有理数 を表す。

古代文明の多くの記数法では、数字を表すために10とその累乗が使われている。これはおそらく両手に10本の指があり、人々が指を使って数を数え始めたためだろう。例としては、まずエジプト数字、次にブラーフミー数字、ギリシャ数字、ヘブライ数字、ローマ数字、そして中国数字がある。^[5]これらの古い記数法では非常に大きな数を表すことは難しく、最高の数学者だけが大きな数を掛け算または割り算することができた。これらの困難は、整数を表すヒンドゥー-アラビア数字の導入によって完全に解決された。このシステムは、 10進数と呼ばれる整数以外の数を表すために拡張され、10進記数法を形成した。^[5]

10進法では、数字を書く際に10桁の小数点と小数点記号、負の数を表すマイナス記号「−」を使用します。小数点は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9です。[ 6 ]小数点の区切りは多くの国（主に^英語圏）ではドット「.」、[ 7 ]他^の国ではカンマ「,」です。^[3]

負でない数を表す10進数は、

• 数字の（有限の）シーケンス（「2017」など）で、シーケンス全体が整数を表します。

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• または、2つの数字の列を区切る小数点（「20.70828」など）

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$。

m > 0の場合、つまり最初の数列に少なくとも 2 つの数字が含まれている場合、最初の数字a _{m は}ゼロではないと一般に想定されます。状況によっては、左側に 1 つ以上の 0 があると便利な場合があります。これにより、小数点で表される値が変更されることはありません。たとえば、3.14 = 03.14 = 003.14 です。同様に、小数点の右側の最後の数字がゼロの場合、つまりb _n = 0の場合、その数字は削除できます。逆に、小数点の後に末尾のゼロを追加しても、表される数値は変更されません。^{[注 1]}たとえば、15 = 15.0 = 15.00および5.2 = 5.20 = 5.200 です。

負の数を表すには、 _mの前にマイナス記号を置きます。

数字は数を表す ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$。

10 進数の整数部または積分部は、小数点区切りの左側に記述される整数です (切り捨ても参照)。負でない 10 進数の場合、小数点以下の最大の整数です。小数点区切りから右側の部分は小数部で、数値とその整数部の差に等しくなります。

数値の整数部分がゼロの場合、通常は計算時に整数部分が書かれないことがあります (たとえば、0.1234ではなく.1234 )。通常の書き方では、小数点と他の句読点が混同される危険があるため、これは一般的に避けられます。

簡単に言えば、各桁が数値に与える影響は、数字内の位置によって決まります。つまり、10 進法は位置による記数法です。

小数（特に明示的な分数を含む文脈では、 10進数と呼ばれることもある）は、分母が10の累乗である分数として表現できる有理数である。^[8]たとえば、10進表現は分数を表す。${\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}$4/5⁠、 ⁠1489/100⁠、 ⁠79/100000⁠、 ⁠+809/500⁠と⁠+314159/100000⁠、したがって小数を表します。小数表現（有限桁数）で表すことができない分数の例は、 ⁠です。1/3⁠、3 は 10 の累乗ではありません。

より一般的には、区切り文字（ピリオドまたはカンマ）の後のn桁の小数は、分子が区切り文字を削除して得られる整数である分母が 10 ^{nの分数を表します。}

したがって、数が小数となるのは、有限の 10 進表現がある 場合のみです。

完全約分数として表される小数は、分母が2の累乗と5の累乗の積である数です。したがって、小数の最小の分母は

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

10進数ではすべての実数を正確に表現することはできません。しかし、10進数ではすべての実数を任意の精度で近似することができます。たとえば、10進数3.14159はπに近似し、誤差は10 ^{−5未満です。そのため、10進数は}科学、工学、日常生活で広く使用されています。

より正確には、すべての実数xとすべての正の整数nに対して、小数点以下の桁数が最大でnである 2 つの小数Lとuが存在し、L ≤ x ≤ uかつ( u − L ) = 10 ^{− n}となります。

数値は、測定の結果として得られることが非常に多い。測定には上限がわかっている測定不確かさの影響を受けるため、絶対測定誤差が上から10 ^{− n}に制限されていれば、測定結果は小数点以下n桁の小数で適切に表される。実際には、測定結果は小数点以下の桁数で示されることが多く、これが誤差の制限を示す。たとえば、0.080 と 0.08 は同じ数値を表すが、小数点 0.080 は誤差が 0.001 未満の測定値を示し、数値 0.08 は絶対誤差が 0.01 に制限されていることを示す。どちらの場合も、測定された量の真の値は、たとえば 0.0803 や 0.0796 などになる可能性がある (有効数字も参照)。

実数 xと整数n ≥ 0について、[ x ] _{n は}xより大きくなく、小数点以下がちょうどn桁である最大の数の（有限）小数展開を表すものとする。d i_は[ x ] _iの最後の桁を表すものとする。 [ x ] _{n は}[ x ] _{n −1}の右側にd _{n を}追加することで得られることは明らかである。このようにして、

[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n −1} d _n ,

そして[ x ] _{n −1}と[ x ] _nの差は

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$、

これは、 d _n = 0の場合には 0 となり、n が無限大に近づくにつれて任意に小さくなります。極限の定義によれば、x はn が無限大に近づくときの[ x ] _nの極限です。これは次の ように表されます。${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

x = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ...、

これはxの無限小数展開と呼ばれます。

逆に、任意の整数[ x ] ₀および任意の数字列について、 （無限の）式[ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _n ...は、実数xの無限小数展開です。この展開は、すべてのd _nが 9 に等しくなく、十分に大きいnに対してすべてのd _{n が}0 に等しくない場合（すべてのnが自然数Nより大きい場合）に一意です。 ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

n > Nのすべてのd _{n が}9 に等しく、[ x ] _n = [ x ] ₀ . d ₁ d ₂ ... d _{n の}場合、数列の極限は、9 以外の最後の桁、つまりd _Nをd _N + 1に置き換え、後続のすべての 9 を 0 に置き換えることによって得られる小数です( 0.999...を参照)。 ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

このような小数、つまりn > Nに対してd _n = 0は、 d _Nをd _N − 1に 置き換え、後続の 0 をすべて 9 に置き換えることによって、同等の無限小数展開に変換できます( 0.999...を参照)。

要約すると、小数でないすべての実数には、一意の無限小数展開があります。各小数には、ちょうど 2 つの無限小数展開があります。1 つは、上記の[ x ] n の定義によって得られる、ある桁の後に 0 のみを含むもので、もう 1 つは、ある桁の後に 9 のみを含むもので、[ x ] _nを、小数点の後_にちょうどn桁を持つ、xより小さい最大の数として定義することによって得られます。

長除算は、有理数の無限小数展開を計算することを可能にする。有理数が小数の場合、除算は最終的に停止し、小数を生成する。この小数は、無限に多くのゼロを追加することで無限展開に延長することができる。有理数が小数でない場合、除算は無限に続く可能性がある。しかし、連続する余りはすべて除数より小さいため、可能な余りの数は有限であり、ある場所以降、商では同じ数字のシーケンスが無限に繰り返される必要がある。つまり、循環小数が存在する。たとえば、

⁠1/81⁠ = 0.  012345679  012... (グループ 012345679 は無限に繰り返されます)。

逆もまた真なりです。つまり、ある数値を 10 進数で表すとき、ある時点で同じ数字の列が無限に繰り返され始める場合、その数値は有理数です。

または、分子と分母の両方を6で割ると、692/1665⁠ .

現代のコンピュータハードウェアおよびソフトウェアシステムのほとんどは、内部的には2進表現を使用するのが一般的です（ただし、ENIACやIBM 650などの初期のコンピュータの多くは、内部的に10進表現を使用していました）。^[9] コンピュータ専門家による外部使用のために、この2進表現は、関連する8進数または16進数システムで提示されることがあります。

ただし、ほとんどの場合、バイナリ値は、人間に提示したり人間から入力したりするために、同等の 10 進数値に変換されます。コンピュータ プログラムは、デフォルトでリテラルを 10 進数で表現します (たとえば、123.1 は、多くのコンピュータ言語でその数値を正確にエンコードできないにもかかわらず、コンピュータ プログラムではそのように記述されます)。

コンピュータのハードウェアとソフトウェアはどちらも、10進数値の格納と演算に実質的に10進数である内部表現を使用しています。この演算は、多くの場合、特にデータベース実装では、2進化10進数の何らかのバリエーションを使用してエンコードされたデータに対して実行されますが、^{[10] [11]}他にも10進数の表現が使用されています（IEEE 754標準浮動小数点演算の新しい改訂版などの10進浮動小数点数を含む）。^[12]

10進演算はコンピュータで使用され、小数部の長さが固定された値を加算（または減算）した10進小数結果が常にこの同じ長さの精度で計算されます。これは特に金融計算で重要であり、たとえば簿記の目的で結果に最小通貨単位の整数倍が必要な場合があります。これは2進法では不可能です。なぜなら、負の累乗には有限の2進小数表現がなく、一般に乗算（または除算）では不可能だからです。^{[13] [14]}正確な計算については 任意精度演算を参照してください。${\displaystyle 10}$

多くの古代文化では、10を基準とした数字で計算が行われていましたが、これは人間の両手に10本の指があるためと考えられます。^[15]インダス文明（紀元前 3300～1300年頃）で使用された標準化された重量は、1/20、1/10、1/5、1/2、1、2、5、10、20、50、100、200、500の比率に基づいており、標準化された定規であるモヘンジョダロの定規は10の等しい部分に分割されていました。^{[16] [17] [18]} 紀元前3000年ごろから残っているエジプトの象形文字は、純粋な10進法を使用していました。 ^[19]ミノア人の線文字A（紀元前 1800-1450年ごろ）^{[20] [21]}やミケーネ人の線文字B（紀元前1400-1200年ごろ）も同様です。中央ヨーロッパのウニェティツェ文化（紀元前2300-1600年）は、標準化された重量と10進法を貿易に使用しました。^[22]古代ギリシャの記数法も、ローマ数字と同様に、中間の基数5を含む10の累乗を使用していました。^[23]特筆すべきことに、博学者アルキメデス（紀元前287-212年ごろ）は、10 ⁸に基づく10進法の位置システムを『砂の計算書』で発明しました。^{[23] [24]}ヒッタイトの象形文字（紀元前15世紀以降）も厳密に10進法であった。^[25]

エジプトのヒエラティック数字、ギリシャのアルファベット数字、ヘブライのアルファベット数字、ローマ数字、中国の数字、初期のインドのブラーフミー数字はすべて非位置十進法であり、多数の記号を必要としました。たとえば、エジプトの数字では、10、20〜90、100、200〜900、1000、2000、3000、4000、10,000に異なる記号が使用されていました。^[26] 世界最古の位置十進法は、中国の棒計算でした。^[27]

紀元前2世紀以降、中国の長さの単位は10の等分に基づくものとなった。紀元3世紀までには、これらの計量単位は、位置に関係なく、長さの小数を表すために使われた。^[28]長さの小数での計算は、紀元3～5世紀の孫子算経に記されているように、位置を示す計数棒を使用して行われた。紀元5世紀の数学者祖崇志は、πの7桁の近似値を計算し、秦九抄の著書『九部数学論』（1247年）では、計数棒を使用して、測定値ではなく数値を表す小数を明示的に記述している。^[29] 0.96644という数は 、

寸

。

中国の科学史家たちは、小数の概念は中国から中東に伝わったのではないかと推測している。^[27]

アル＝フワーリズミーは9世紀初頭にイスラム諸国に分数を導入した。分数は分子を上に、分母を下に置き、横棒を使わずに書かれた。この分数の形式は何世紀にもわたって使われ続けた。^{[27] [30]}

位取り小数は、10世紀にアラブの数学者アブル・ハサン・アル・ウクリディシが著した本に初めて登場する。 ^[31]ユダヤ人の数学者イマニュエル・ボンフィスは1350年頃に小数を使用したが、それを表す記法は開発しなかった。^[32]ペルシャの数学者ジャムシード・アル・カシは15世紀に小数を使用し、発見したと主張した。^[31]

現代のヨーロッパの十進記法の先駆けは、16世紀にシモン・ステヴィンによって導入されました。ステヴィンの影響力のある小冊子「 De Thiende（10分の1の芸術）」は、1585年にオランダ語で最初に出版され、フランス語にLa Dismeとして翻訳されました。^[33]

ジョン・ネイピアは、1620年に死後に出版された対数表の作成に関する著書の中で、小数の整数部と小数部を区切るためにピリオド（.）を使用することを導入しました。^{[34] ：p. 8、アーカイブp. 32)}

インドでは、10個の記号を使ってあらゆる自然数を表現する方法が生まれました。 ^[35]インドの言語には、単純な10進法を採用している言語がいくつかあります。ドラヴィダ語族の言語では、10から20までの数字が10に加算される規則的なパターンで表現されます。^[要出典]

ハンガリー語も、単純な十進法を採用しています。10 から 20 までの数字はすべて規則的に形成されます (たとえば、11 は「tizenegy」、つまり「10 分の 1」と表現されます)。20 から 100 までの数字も同様です (23 は「huszonhárom」、つまり「20 分の 3」と表現されます)。

10 進法は、各位を表す単語 (10十、100百、1000千、10,000万) を伴う簡単な十進法で、11 はten-one、23 はtwo-ten-three、89,345 は 8 (万)万9 (千)千3 (百)百4 (十)十5 と表される。これは中国語と、多少の不規則性はあるものの ベトナム語にも見られる。日本語、韓国語、タイ語は中国の十進法を取り入れた。十進法を採用している他の多くの言語には、10 から 20 までの数字と 10 の位を表す特別な単語がある。たとえば、英語では 11 は「eleven」であり、「ten-one」や「one-teen」ではない。

ケチュア語やアイマラ語などのインカの言語では、11 は1 と 10で表され、23 は2 と 10 と 3 で表されます。

一部の心理学者は、英語の数字名の不規則性が子供の数える能力を妨げる可能性があると示唆している。^[36]

一部の文化では、他の基数の数字が使われていたり、使われていたりします。

• マヤなどのコロンブス以前のメソアメリカ文化では、 20 進法が使用されていました(おそらく、20 本の指と足の指すべてを使用することに基づいていた)。
• カリフォルニアのユキ語とメキシコのパメ語族^{[37]は、話者が指そのものではなく、指と指の間のスペースを使って数えるため、} 8進法（基数-8）を採用しています。^[38]
• ゲルマン語族の言語の最も初期の痕跡に非十進法が存在したことは、その数が十進法であることを意味する単語や注釈の存在によって証明されている（「十数える」または「十進法」と同義）。これは、通常の数え方が十進法でない場合は予想されることであり、十進法であれば珍しいことである。[ ^{39] [40]} この数え方が知られているところでは、「長い百」＝120と「長い千」＝1200に基づいている。「長い」などの記述は、キリスト教徒とともに「小さな百」＝100が登場した後にのみ現れる。ゴードンの古ノルド語入門（2016-04-15にアーカイブ）p . 293には、このシステムに属する数の名前が記載されている。 「180」と同義の表現は200に翻訳され、「200」と同義の表現は240に翻訳される。グッダール^{[ permanent dead link ]}は中世スコットランドにおける長い百の使用について詳細に述べ、繰り上がりによってi C (つまり100)が120となる計算などの例を挙げている。一般の人々がそのような数字に出くわしても驚かなかったということは、十分に一般的な使用法だったことを示唆している。また、長いポンド数ではなく、ストーンやポンドなどの中間単位を使用することで、百のような数字を避けることも可能である。グッダールは、拡張スコアを使用することで百を避ける7スコアのような数字の例を挙げている。また、WHスティーブンソンによる「長い百とイングランドでのその使用」という論文もある。^{[41] [42]}
• チュマシャン語族の言語の多く、あるいはすべては、もともと4を基数とする数え方を採用しており、数字の名前は4の倍数と16の倍数に従って構成されていました。^[43]
• 多くの言語^[44]は、グマジュ語、ヌングブユ語^[45]、クールン・コパン・ヌート語^[46]、サラベカ語など、 5進法（基数5）の記数法を使用しています。これらのうち、グマジュ語は、25が5の上位のグループである唯一の真の5-25言語として知られています。
• ナイジェリア人の中には12進法を使用している人もいます。^[47] インドやネパールのいくつかの小さなコミュニティでも、言語からわかるように12進法を使用しています。^[48]
• パプアニューギニアのフリ語は15進数であると報告されている。^[49] Nguiは15を意味し、ngui kiは15×2 = 30を意味し、ngui nguiは15×15 = 225を意味する。
• ウンブ・ウング語はカコリ語としても知られ、24進数を持つと報告されている。^[50] トカプは24、トカプ・タルは24×2=48、トカプ・トカプは24×24=576を意味する。
• ンギティ語は4進法の周期を持つ32進法の記数法を持っていると報告されている。 ^[44]
• パプアニューギニアのンドム語は6進数の数字を持つと報告されている。^[51] Merは6、mer an thefは6×2 = 12、nifは36、nif thefは36×2 = 72を意味する。