独立性（数学的論理）

数学的論理学において、独立性とは、ある特定の文が他の特定の文の集合から証明不可能であることを意味します。この集合内の文は「公理」と呼ばれます。

文σ が与えられた一階理論Tから独立しているとは、T がσ を証明も反証もしない場合、つまり、Tから σ を証明することは不可能であり、またTから σ が偽であることを証明することも不可能であることを意味します。 σ は (同義的に) Tから決定不可能であると言われることもあります。 (この概念は、決定問題における「決定可能性」という概念とは無関係です。)

理論Tが独立であるとは、 Tの公理がTの残りの公理から証明できない場合を指します。独立した公理の集合が存在する理論は、独立に公理化可能です。

著者の中には、 T がσ を証明できない場合にσ はTから独立していると言う人もいますが、これによって必ずしもT がσ を反駁できないとは主張していません。これらの著者は、 T がσ を証明も反駁もできない ことを示すために、 「σ はTから独立しており、T と一致している」と言うことがあります。

集合論における多くの興味深い命題は、ツェルメロ-フランケル集合論(ZF) とは独立しています。集合論における次の命題は、ZF が一貫しているという仮定の下では、ZF とは独立していることが知られています。

• 選択の公理
• 連続体仮説と一般化連続体仮説
• ススリン予想

以下の記述（いずれも誤りであると証明されていない）は、ZFC が一貫しているという追加の仮定の下では、ZFC（ツェルメロ-フランケル集合論と選択公理）では ZFC から独立していることを証明できません。

• 強くアクセス不可能な枢機卿の存在
• 大型枢機卿の存在
• クレパの木が存在しない

以下の記述は選択公理と矛盾しており、したがって ZFC とも矛盾しています。ただし、上記に対応する意味で、これらはおそらく ZF とは独立しています。これらは ZF では証明できず、ZF で反証が見つかると期待している実用集合論者はほとんどいません。ただし、ZF は矛盾がないという追加の仮説があっても、これらが ZF と独立していることを証明することはできません。

• 決定性公理
• 実数決定性の公理
• AD+

2000年以降、論理的独立性は物理学の基礎において極めて重要な意味を持つものとして理解されるようになった。^{[1] [2]}

• ZFC から独立したステートメントのリスト
• 幾何学における平行線公理の例

• メンデルソン、エリオット（1997）、数学論理学入門（第4版）、ロンドン：チャップマン＆ホール、ISBN 978-0-412-80830-2
• モンク、J.ドナルド（1976）、数学論理学、数学の大学院テキスト、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90170-1
• ステイブラー、エドワード・ラッセル（1948年）『数学的思考入門』マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェズリー