バビロニアの数学

バビロニア人は、乗算表、逆数表、平方数表（または、同じ表を逆向きに使うことで平方根表）など、計算済みの表を使って算術を補助していました。彼らの乗算表は、${\displaystyle 60\times 60}$10進数の掛け算表になぞらえて想像されるような表はなかった。代わりに、彼らは特定の「主数」（通常の数と7）による掛け算の表だけを残した。他の積を計算するには、掛け合わせる数の1つを主数の和に分解した。^{[ 10 ]}

バビロニアの粘土板には多桁の乗算の練習が数多く記録されているが、それらは通常、乗算される数から積に直接ジャンプし、中間値を示していない。この点と、これらの粘土板に見られるいくつかの間違いのパターンに基づいて、イェンス・ホイルップは、筆算による乗算は、そろばんや計算盤を使う場合のように、計算の各ステップで前のステップの記録が消去されるような方法で行われていたと示唆している。筆算による筆算ではそのようなことは起こらない。^{[ 10 ]}稀な例外として、「知られている唯一の例」は、後期バビロニア/セレウコス朝の粘土板BM 34601であり、これは13桁の六十進数（13桁の13進数）の二乗を計算していると復元されている。$5・325$現代の筆算に似た「部分積の斜め列」を使用する。^{[ 11 ]}

バビロニア人は長除法のアルゴリズムを持っていなかった。^{[ 12 ]}その代わりに、彼らは次の事実に基づいて計算方法を確立した。

$\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}$

逆数の表とともに。素因数が2、3、または 5 のみである数 (5-平滑数または正則数として知られています) は、60 進法表記で有限の逆数を持ち、これらの逆数の広範なリストを含む表が見つかっています。

1/7、1/11、1/13などの逆数は、六十進法では有限の表現を持ちません。1/13を計算したり、数を13で割ったりするために、バビロニア人は次のような近似値を使用していました。

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}$

バビロニアの粘土板YBC 7289（紀元前1800～1600年頃）には、√2の近似値が4つの60進数で表されており、𒐕 𒌋𒌋𒐼 𒐐𒐕 𒌋 = 1;24,51,10、^{[ 13 ]}と表され、これは約6桁の小数点以下の精度があり、 [ ^{14 ] √2}の3桁の60進数表現としては最も近いものです。

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

バビロニアの数学者たちは、算術計算に加えて、方程式を解くための代数的手法も開発した。これもまた、事前に計算された表に基づいていた。

二次方程式を解くために、バビロニア人は基本的に標準的な二次方程式の解の公式を用いました。彼らは次の形式の二次方程式を考えました。

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

ここで、bとcは必ずしも整数ではなく、cは常に正の値でした。彼らは、この形式の方程式の解が次のようになることを知っていました。^{[ 15 ]}

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}$

そして彼らは、除算と平均化を用いて効率的に平方根を求めました。^{[ 16 ]}この種の問題には、面積と長さが幅をどれだけ超えているかが与えられた長方形の寸法を求める問題などがありました。

n ³  + n ²の値の表は、特定の三次方程式を解くために使用されました。たとえば、次の方程式を考えてみましょう。 

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

式にa ^{2を掛けて}b ³で割ると次のようになります。

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}$

y = ax / bを代入すると次のようになる。

${\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}$

^これは、n³ + n²^の表を参照して右辺に最も近い値を見つけることで解ける問題だった。バビロニア人は代数記号を用いずにこれを成し遂げ、驚くべき理解力の深さを示した。しかし、彼らは一般的な三次方程式を解く方法は持ち合わせていなかった。  

バビロニア人は、指数関数的成長、制約付き成長（シグモイド関数の一種による）、そして倍増時間といった概念をモデル化しました。後者は、融資の利子という文脈において用いられました。

紀元前2000年頃の粘土板には、「月利1/60（複利なし）の場合、倍になる時間を計算しなさい」という問題が含まれている。これは年利12/60 = 20%となり、したがって倍になる時間は100%の成長/20%の成長/年 = 5年となる。^{[ 17 ] [ 18 ]}

プリムプトン322タブレットには「ピタゴラス数」、つまり整数のリストが含まれています。${\displaystyle (a,b,c)}$そのため${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$3つの要素が多すぎるし、大きすぎるため、力ずくで得られたとは考えにくい。

この件については多くの文献があり、中には（時代錯誤的な）推測として、この粘土板が初期の三角関数表として使われていた可能性を指摘するものもある。この粘土板を解釈する際には、当時の書記たちが馴染みのある、あるいは利用できた方法に基づいて判断する必要がある。

[...]「タブレットはどのように計算されたのか？」という質問は、「タブレットはどのような問題を提起するのか？」という質問と同じ答えを持つ必要はない。前者は半世紀前に最初に提案されたように相互ペアによって最も満足のいく答えが得られ、後者は何らかの直角三角形の問題によって答えられる。^{[ 19 ]}

バビロニア人は体積と面積の測定に関する一般的な規則を知っていました。円周は直径の3倍、面積は円周の2乗の12分の1として測定しましたが、πが3と推定される場合は正しい値になります。彼らはこれが近似値であることを認識しており、 1936年にスーサ近郊で発掘された古代バビロニアの数学粘土板（紀元前19世紀から17世紀のものと推定）には、πのより良い近似値として25/8 = 3.125が示されており、これは正確な値より約0.5パーセント低い値です。^{[ 20 ]} 円柱の体積は底面と高さの積として扱われましたが、円錐台や四角錐の体積は高さと底面の合計の半分の積として誤って扱われました。ピタゴラスの定理もバビロニア人に知られていました。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

「バビロニアマイル」は、約11.3 km（または現代の約7マイル）に相当する距離の単位でした 。この距離の単位は、最終的に太陽の移動を測定するために使用される「タイムマイル」に変換され、したがって時間を表すようになりました。^{[ 24 ]}

バビロニアの天文学者たちは、星の昇り沈み、惑星の動き、日食や月食の詳細な記録を残しており、これら全てには天球上で測定された角度距離に関する知識が必要だった。^{[ 25 ]}

彼らはまた、フーリエ解析の一種を使用して天体暦（天体の位置表）を計算しました。これは1950年代にオットー・ノイゲバウアーによって発見されました。^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}天体の動きを計算するために、バビロニア人は基本的な算術と、太陽や惑星が通過する天球の一部である黄道に基づいた座標系を使用しました。

大英博物館に保管されている粘土板は、バビロニア人が抽象的な数学的空間における物体の概念さえ持っていた証拠を示している。これらの粘土板は紀元前350年から50年の間に作成されたもので、バビロニア人がこれまで考えられていたよりもさらに早く幾何学を理解し、使用していたことが明らかになった。バビロニア人は、曲線の下に台形を描くことで曲線の下の面積を推定する方法を使用していた。この技術は、以前は14世紀のヨーロッパで生まれたと考えられていた。この推定方法により、例えば、木星が一定時間内に移動した距離を求めることができた。^{[ 30 ]}