無理数

数学において、無理数( in- +有理数)は、有理数ではないすべての実数です。つまり、無理数は 2 つの整数の比として表すことはできません。2つの線分の長さの比が無理数である場合、その線分は通約不可能であるとも説明されます。つまり、共通の「尺度」が存在しないということです。つまり、与えられた 2 つの線分の両方の長さをそれ自身の整数倍として表すのに使用できる長さ (「尺度」) は、どれほど短くても存在しません。

無理数には、円周と直径の比π 、オイラー数e、黄金比φ、2の平方根などがある。^[1] 実際、完全平方以外の自然数の平方根はすべて無理数である。^[2]

すべての実数と同様に、無理数は位置記法、特に 10 進数として表現できます。無理数の場合、 10 進展開は終了せず、繰り返しシーケンスで終了しません。たとえば、πの 10 進表現は 3.14159 から始まりますが、 π を正確に表すことができる有限の桁はなく、繰り返されることもありません。逆に、終了したり繰り返されたりする 10 進展開は有理数でなければなりません。これらは有理数と位置記数法の証明可能な特性であり、数学の定義としては使用されません。

無理数は、非終端連分数（場合によっては周期的）として表現することも、他の多くの方法で表現することもできます。

実数は不可算で有理数は可算であるというカントールの証明の結果として、ほとんどすべての実数は無理数であるということになる。 ^[3]

無理数の存在を初めて証明したのは、通常ピタゴラス学派（おそらくメタポントゥムのヒッパソス）であるとされ、^[4]彼は五芒星の辺を特定しているときに無理数を発見したと考えられている^[5]。 ピタゴラスの方法では、これらの長さの 1 つともう 1 つに均等に収まる、十分に小さく分割できない単位が存在するはずだと主張した。しかし、紀元前 5 世紀のヒッパソスは、共通の測定単位は存在せず、そのような存在の主張は矛盾していると推論した。彼は、直角二等辺三角形の斜辺が実際に1 辺と通約可能である場合、その測定単位で測定された長さの 1 つは奇数と偶数の両方になるはずだが、これは不可能であることを示すことによってこれを行った。彼の推論は以下のとおりである。

• 辺の長さが整数a、b、cである直角二等辺三角形から始めます。斜辺と一辺の比はc : bで表されます。
• a、b、cが可能な限り最小の項（つまり、共通因数がない）であると仮定します。
• ピタゴラスの定理によれば、c ² = a ² + b ² = b ² + b ² = 2 b ²です。(三角形は二等辺三角形なので、a = bです)。
• c ² = 2 b ²なので、c ²は 2 で割り切れ、したがって偶数です。
• c ²は偶数なので、c も偶数でなければなりません。
• c は偶数なので、 c を2 で割ると整数になります。この整数をy ( c = 2 y ) とします。
• c = 2 yの両辺を二乗するとc ² = (2 y ) ²、つまりc ² = 4 y ²となります。
• 最初の式 ( c ² = 2 b ² )のc ²に4 y ^{2 を代入すると、 4} y ² = 2 b ²となります。
• 2で割ると、2 y ² = b ²となります。
• y は整数であり、2 y ² = b ²なので、b ^{2 は}2 で割り切れ、したがって偶数です。
• b ²は偶数なので、b も偶数でなければなりません。
• 先ほど、 bとc は両方とも偶数でなければならないことを示しました。したがって、これらには 2 という共通の因数があります。しかし、これはこれらに共通の因数がないという仮定と矛盾しています。この矛盾は、cとb が両方とも整数になることはできず、したがって 2 つの整数の比として表すことができない数が存在することを証明しています。^[6]

ギリシャの数学者たちは、この通約不可能な大きさの比をアロゴス（表現不可能）と呼んだ。しかし、ヒッパソスの功績は称賛されなかった。ある伝説によると、彼は海上でこの発見をし、その後、ピタゴラス学派の仲間から「宇宙のすべての現象は整数とその比に還元できるという教義を否定する要素を宇宙に生み出した」という理由で船外に投げ出されたという。^[7]別の伝説では、ヒッパソスは単にこの発見のために追放されただけだとされている。ヒッパソス自身にどのような結果がもたらされたにせよ、彼の発見はピタゴラス数学に非常に深刻な問題を提起した。なぜなら、数と幾何学は切り離せないという彼らの理論の基礎を崩したからである。

通約不可能な比率の発見は、ギリシャ人が直面していた別の問題、すなわち離散的なものと連続的なものの関係を示唆していた。これはエレアのゼノンによって明らかにされた。彼は、量は離散的で、与えられた大きさの有限個の単位から構成されるという概念に疑問を呈した。過去のギリシャの概念では、必然的にそうでなければならないとされていた。なぜなら、「整数は離散的なオブジェクトを表し、通約可能な比率は 2 つの離散的なオブジェクトの集合間の関係を表す」からである^[8]。しかしゼノンは、実際には「[量] は一般に離散的な単位の集合ではない。そのため、通約不可能な [量] の比率が現れる...。[量] は、言い換えれば、連続的である」^[8]ことを発見した。これが意味するのは、当時の一般的な概念に反して、いかなる量にも分割不可能な最小の測定単位は存在しないということである。実際、これらの量の区分は必然的に無限でなければならない。たとえば、線分について考えてみましょう。この線分は半分に分割でき、あの半分も半分に分割でき、その半分の半分も半分に分割する、というように分割していきます。このプロセスは無限に続く可能性があります。分割する半分が常に存在するからです。線分が半分に分割される回数が増えるほど、測定単位はゼロに近づきますが、正確にゼロになることはありません。これはまさにゼノンが証明しようとしたことです。彼はこれを、当時の数学的思考に内在する矛盾を示す4 つのパラドックスを定式化することで証明しようとしました。ゼノンのパラドックスは当時の数学的概念の欠陥を正確に示していましたが、他の考え方の証明とは見なされていませんでした。ギリシャ人の心の中では、1 つの見解の妥当性を反証しても、必ずしも別の見解の妥当性を証明するとは限らず、そのため、さらなる調査が必要でした。

次のステップは、通約可能量と通約不可能量を考慮に入れた新しい比例理論を定式化したクニドスのエウドクソスによってなされた。彼の考えの中心は、大きさと数の区別であった。大きさは「数ではなく、線分、角度、面積、体積、時間などの実体を表し、いわば連続的に変化する。大きさは、4 から 5 のように、ある値から別の値にジャンプする数とは対照的である」^[9] 。数は、最小の分割不可能な単位で構成されるが、大きさは無限に縮小可能である。大きさには定量的な値が割り当てられていなかったため、エウドクソスは、比率を大きさで定義し、比率を 2 つの比率の等式として定義することで、通約可能比率と通約不可能比率の両方を説明することができた。方程式から定量的な値 (数) を取り除くことで、無理数を数として表現しなければならないという罠を回避した。 「エウドクソスの理論は、ギリシャの数学者が通約不可能な比率に必要な論理的基礎を提供することで、幾何学の大きな進歩を遂げることを可能にした」^{[10]この通約不可能性は、ユークリッドの『原論』第10巻、命題9で扱われている。}エウドクソスが無理数と有理数の比率を考慮した比例理論を開発して初めて、無理数の強力な数学的基礎が構築された。^[11]

数と大きさを区別した結果、幾何学は、通約不可能な比を考慮できる唯一の方法となった。以前の数値の基礎は依然として通約不可能性の概念と両立しなかったため、ギリシャ人の焦点は代数などの数値概念から離れ、ほぼもっぱら幾何学に集中するようになった。実際、多くの場合、代数的概念は幾何学的な用語に再定式化された。これが、x ²とx ^3を、 x の2 乗やx の3 乗ではなく、 x の2 乗やxの 3 乗と考える理由を説明できるかもしれない。また、ゼノンの通約不可能な大きさに関する研究で極めて重要だったのは、初期のギリシャ数学が根本的に破壊された結果生じた演繹的推論への根本的な焦点であった。既存の理論内のいくつかの基本的概念が現実と矛盾しているという認識は、その理論の根底にある公理と仮定の完全かつ徹底的な調査を必要とした。この必要性から、エウドクソスは、一種の背理法である「徹底的推論法」を考案した。これは「...明示的な公理に基づいて演繹的構成を確立した...」だけでなく、「...証明のために演繹的推論に頼るという以前の決定を強化した」ものであった。 ^[12]この徹底的推論法は、微積分学の創造の第一歩である。

キュレネのテオドロスは17までの整数の無理数の無理数を証明したが、おそらく彼が使用した代数は17の平方根には適用できなかったため、そこで止まった。^[13]

平方根などの無理数を含む幾何学的・数学的問題は、インドのヴェーダ時代に非常に早くから扱われていました。サンヒター、ブラフマナ、シュルバ・スートラ（紀元前800年以前）には、そのような計算についての言及があります。 ^[14]

無理数の概念は、紀元前7世紀以来、インドの数学者によって暗黙のうちに受け入れられていたと示唆されている。当時、マナヴァ（紀元前750年頃 - 690年）は、2や61などの数の平方根は正確には決定できないと信じていた。 ^[15]しかし、歴史家カール・ベンジャミン・ボイヤーは、「そのような主張は十分に裏付けられておらず、真実である可能性は低い」と書いている。^[16]

その後、インドの数学者たちは論文の中で、加算、減算、乗算、合理化、平方根の分離と抽出を含む無理数の算術について書いた。^[17]

ブラフマグプタ（628年）やバースカラ1世（629年）などの数学者は、その後に続く他の数学者と同様に、この分野に貢献しました。12世紀にバースカラ2世はこれらの公式のいくつかを評価し、批判し、その限界を特定しました。

14世紀から16世紀にかけて、サンガマグラマのマドヴァとケーララの天文学と数学の学派は、πや三角関数の特定の無理数など、いくつかの無理数の無限級数を発見した。ジェシュタデーヴァは『ユクティバーシャ』の中でこれらの無限級数の証明を与えた。^[18]

中世には、イスラムの数学者による代数学の発達により、無理数が代数的対象として扱われるようになった。^[19]中東の数学者らはまた、「数」と「大きさ」の概念をより一般的な実数の概念に統合し、ユークリッドの比の概念を批判し、合成比の理論を発展させ、数の概念を連続的な大きさの比に拡張した。^[20]ペルシャの数学者アル・マハニ（874/884年没）は、原論第10巻の注釈において、2次無理数と3次無理数を調べ、分類した。彼は有理数と無理数の大きさの定義を与え、それらを無理数として扱った。彼はそれらを自由に扱ったが、次のように幾何学的な用語で説明した。^[20]

「たとえば、10、12、3%、6% などと言うとき、その値は発音され、定量的に表現されるため、それは有理数 (大きさ) になります。有理数でないものは無理数であり、その値を発音し、定量的に表現することは不可能です。たとえば、10、15、20 などの平方数でない数の根号、立方数でない数の辺などです。」

ユークリッドの線としての大きさの概念とは対照的に、アル・マハニは整数と分数を有理数、平方根と立方根を無理数とみなした。彼はまた、無理数の概念に算術的なアプローチを導入し、以下のことを無理数に帰した。^[20]

「それらの合計または差、またはそれらを有理数に加えた結果、またはこの種の大きさを無理数から減算した結果、または有理数の大きさを無理数から減算した結果。」

エジプトの数学者アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラム（850年頃-930年）は、無理数を二次方程式の解として、あるいは平方根や四乗根の形で方程式の係数として受け入れた最初の人物である。^[21] 10世紀には、イラクの数学者アル・ハシミが、乗算、除算、その他の算術関数を考慮し、無理数の一般的な証明（幾何学的証明ではなく）を示した。^[20]

これらの概念の多くは、 12世紀のラテン語訳の後のいつか、ヨーロッパの数学者に受け入れられた。12世紀にイスラム相続法を専門とするフェズのモロッコ人数学者アル・ハッサールは、分子と分母を水平線で区切る分数線の使用について初めて言及している。彼は論じの中で、「...たとえば、5分の3と5分の3を書くように言われたら、このように書く」と書いている。^[22]この同じ分数表記法は、その後すぐに13世紀のレオナルド・フィボナッチの著作にも登場している。 ^[23]${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

17 世紀には、虚数がアブラハム・ド・モアブル、特にレオンハルト・オイラーの手によって強力なツールとなった。19 世紀には複素数論が完成し、無理数の代数的数と超越数への区別、超越数の存在の証明、そしてユークリッド以来ほとんど無視されてきた無理数論の科学的研究の復活を​​もたらした。1872 年には、カール・ヴァイエルシュトラス(弟子のエルンスト・コサックによる)、エドゥアルト・ハイネ( Crelle's Journal、74)、ゲオルク・カントール(Annalen、5)、リヒャルト・デデキントの理論が出版された。メレーは1869年にハイネと同じ出発点をとったが、理論は一般に1872年とされている。ヴァイエルシュトラスの方法は1880年にサルヴァトーレ・ピンシェルレによって完全に提示され、^{[24]デデキントの方法は著者の後期の研究(1888)と}ポール・タネリーの支持(1894)によってさらに注目されるようになった。ヴァイエルシュトラス、カントール、ハイネは彼らの理論を無限級数に基づいているが、デデキントはすべての有理数系におけるカット(シュニット)の考えに基づいており、カットはそれらを特定の特徴を持つ2つのグループに分ける。この主題は後にヴァイエルシュトラス、レオポルド・クロネッカー(Crelle、101)、シャルル・メレーの手によって貢献されている。

連分数は無理数と密接に関係しており（1613年のカタルディによる）、オイラーによって注目され、19世紀初頭にはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの著作によって注目されるようになった。ディリクレも一般理論に貢献し、この分野の応用に多大な貢献をした。

ヨハン・ハインリヒ・ランバートは、 π は有理数ではあり得ず、nが有理数（n  = 0 でない限り）であればe ⁿは無理数であることを証明した。 ^[25]ランバートの証明はしばしば不完全だと言われるが、現代の評価では満足のいくものであり、実際、当時としては異例なほど厳密である。アドリアン・マリー・ルジャンドル（1794）は、ベッセル・クリフォード関数を導入した後、π ²が無理数であることを示す証明を提供し、このことから π も無理数であることが直ちに導かれる。超越数の存在は、リウヴィル（1844、1851）によって初めて確立された。後に、ゲオルク・カントール（1873）が別の方法によって超越数の存在を証明し、実数のすべての区間に超越数が含まれることを示した。シャルル・エルミート（1873）は初めてeが超越的であることを証明し、フェルディナント・フォン・リンデマン（1882）はエルミートの結論から出発してπについて同じことを証明した。リンデマンの証明はワイエルシュトラス（1885）によって大幅に簡略化され、さらにデイヴィッド・ヒルベルト（1893）によってさらに簡略化され、最終的にアドルフ・フルヴィッツ^[要出典]とポール・ゴルダンによって初歩的なものとなった。^[26]

2の平方根は、無理数であることが証明された最初の数である可能性が高い。^[27]黄金比は、もう一つの有名な二次無理数である。完全な平方数ではないすべての自然数の平方根は無理数であり、その証明は二次無理数の項で見つけることができる。

2 の平方根の無理数の証明は、算術の基本定理を使用して一般化できます。これは、すべての整数が一意に素因数分解されると主張しています。これを使用すると、有理数が整数でない場合は、その整数乗は整数にはならないことが示されます。これは、最小項では、各整数を何乗しても分子を割り切れない素数が分母に必ず存在するためです。したがって、整数が別の整数の正確なk乗でない場合は、その最初の整数のk乗根は無理数です。

おそらく、無理数であることが最も簡単に証明できるのは、特定の対数です。ここでは、log ₂  3 が無理数である (log ₂  3 ≈ 1.58 > 0) という背理法による証明を示します。

log ₂  3 が有理数であると仮定する。いくつかの正の整数mとnに対して、

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}.}$

すると、

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}$

2 を任意の正の整数乗すると、必ず偶数になります (2 で割り切れるため)。また、3 を任意の正の整数乗すると、必ず奇数になります (素因数が2 にならないため)。明らかに、整数は同時に奇数と偶数になることはできません。矛盾が生じます。ここで行った唯一の仮定は、log _{2 3 が有理数である (したがって、} n ≠ 0の 整数m / nの商として表せる ) というものでした。この矛盾は、この仮定が間違っている、つまり log _{2 3 が無理数であり、} n ≠ 0の整数m / n の商として表すことができないことを意味します 。

log ₁₀  2 のようなケースも同様に扱うことができます。

無理数は代数的、つまり整数係数を持つ多項式の実根である場合があります。代数的でない無理数は超越数です。

実数代数とは多項式方程式の実数解である。

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

ここで係数は整数とです。無理数的数の例としては、x ₀  = (2 ^1/2  + 1) ^1/3が挙げられます。これは、と同等の整数多項式の根であるため、明らかに代数的です。有理根定理によれば±1しかあり得ないため、この多項式には有理根がありませんが、 x _{0 は}1 より大きいです。したがって、x _{0 は}無理数的数です。整数多項式は可算数個あるため、代数的数も可算数個あります。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle (x^{3}-1)^{2}=2}$${\displaystyle (x^{6}-2x^{3}-1)=0}$

ほぼすべての無理数は超越数です。例としてはe ^rと π ^{r が}あり、これらはすべての非ゼロの有理数 r に対して超越数です。  

代数的数は実数のサブフィールドを形成するため、超越数と代数的数を組み合わせることで多くの無理実数を構成できます。たとえば、3 π  + 2、π  +  √ 2、e √ 3は無理数 (さらには超越数) です。

無理数の 10 進展開は、有理数とは異なり、繰り返されることはありません (つまり、10 進展開では同じ数字や数字のシーケンスが繰り返されません)。また、終了することはありません (つまり、非ゼロの数字の数が有限ではありません)。2進数、8 進数、16 進数の展開についても同じことが言えます。また、一般に、自然基数を持つすべての位置 表記法の展開についても同じことが言えます。

これを示すために、整数n をmで割るとします( mは 0 以外)。長除法をnのmによる除算に適用すると、 m以上の余りは決して発生しません。余りとして 0 が発生すると、小数展開は終了します。0 が発生しない場合は、アルゴリズムは余りを複数回使用せずに最大m − 1 ステップ実行できます。その後、余りが再び発生する必要があり、その後小数展開が繰り返されます。

逆に、循環小数に直面した場合、それが 2 つの整数の分数であることを証明できます。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots }$

ここで、反復数は 162 で、反復数の長さは 3 です。まず、小数点が反復数の直前にくるように、適切な 10 の累乗を掛けて小数点を右に移動します。この例では、10 を掛けて次のようになります。

${\displaystyle 10A=7.162\,162\,162\,\ldots }$

^{ここで、この式に 10 r}を掛けます。ここでr は繰り返しの長さです。これにより、小数点が「次の」繰り返しの前に移動されます。例では、10 ³を掛けます。

${\displaystyle 10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots }$

2 回の乗算の結果は、まったく同じ「小数部分」を持つ 2 つの異なる式になります。つまり、10,000 Aの末尾は10 Aの末尾と完全に一致します。ここでは、10,000 Aと 10 Aの両方の小数点の後に .162 162 162 ...が付きます。

したがって、 10,000 A の式から 10 A の式を引くと、10 Aの末尾が10,000 Aの末尾を相殺し、次のようになります。

${\displaystyle 9990A=7155.}$

それから

${\displaystyle A={\frac {7155}{9990}}={\frac {53}{74}}}$

整数の比なので有理数です。

ドヴ・ジャーデンは、aと^bが有理数となるような2つの無理数aとbが存在するという簡単な非構成的証明を与えた。^{[28] [29]}

√ 2 ^{√ 2}を考えます。これが有理数であれば、a = b = √ 2とします。そうでない場合は、a を無理数√ 2 ^{√ 2}、b = √ 2とします。すると、a ^b = ( √ 2 ^{√ 2} ) ^{√ 2} = √ 2 ^{√ 2 · √ 2} = √ 2 ² = 2 となり、これは有理数です。

上記の議論は 2 つのケースのどちらかを決定するものではありませんが、ゲルフォン・シュナイダーの定理は√ 2 ^{√ 2}が超越数、つまり無理数であることを示しています。この定理は、aとb が両方とも代数的数であり、aが0 または 1 に等しくなく、bが有理数でない場合、a ^bの任意の値は超越数であると述べています (複素数の累乗が使用される場合、複数の値が存在する可能性があります)。

簡単な構成的証明の例としては^{[30]がある。}

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{\log _{\sqrt {2}}3}=3.}$

左辺の底は無理数で右辺は有理数なので、左辺の指数が無理数であることを証明する必要がある。これは、異なる底を持つ対数を関連付ける公式により、 ${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3}$

${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3={\frac {\log _{2}3}{\log _{2}{\sqrt {2}}}}={\frac {\log _{2}3}{1/2}}=2\log _{2}3}$

矛盾を証明するために、これは正の整数の比m/nに等しいと仮定できます。したがって、したがって、したがって、これは矛盾する素因数分解のペアであり、したがって算術の基本定理(一意の素因数分解) に違反します。 ${\displaystyle \log _{2}3=m/2n}$${\displaystyle 2^{\log _{2}3}=2^{m/2n}}$${\displaystyle 3=2^{m/2n}}$${\displaystyle 3^{2n}=2^{m}}$

より強い結果は次の通りである: ^[31]区間内のあらゆる有理数は、無理数aに対してa ^aと表記することも、自然数nに対してn ⁿと表記することもできる。同様に、^[31]正の有理数は無理数aに対してはa と表記することも、自然数nに対してはn n と表記することもできる。 ${\displaystyle ((1/e)^{1/e},\infty )}$${\displaystyle a^{a^{a}}}$${\displaystyle n^{n^{n}}}$

• e、π、および基本関数のさまざまな組み合わせ（ e + π、eπ、e ^e、π ^e、π ^π、ln πなど）は無理数ではないことが知られています。これは、eとπ が代数的に独立であることが知られていないためです。シャヌエルの予想は、上記の数はすべて無理数であり、超越数でさえあることを示唆しています。^[32]
• オイラー定数 γの無理数性に関する問題は、数論における長年の未解決問題である。^[33]
• 無理数ではないことが知られている他の重要な数には、奇数のゼータ定数 ζ（5）、ζ（7）、ζ（9）、...（n> 3）とカタラン定数 β（2）が含まれます。^[34]

構成的数学では排中律は有効ではないため、すべての実数が有理数または無理数であるというのは正しくない。したがって、無理数の概念は複数の異なる概念に分岐する。無理数の伝統的な定義を、有理数ではない実数とみなすこともできる。^[35]しかし、構成的数学で使用される無理数の2番目の定義があり、実数はすべての有理数から離れている場合、または同等に、すべての有理数と の間の距離が正である場合に無理数であるというものである。この定義は、従来の無理数の定義よりも強力です。この2番目の定義は、2の平方根が無理数であるというErrett Bishopの証明で使用されています。^[36]${\displaystyle r}$${\displaystyle \vert r-q\vert }$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$

実数は非可算 集合を形成し、有理数はその非可算な部分集合であるため、無理数の補集合は非可算です。

通常の (ユークリッド) 距離関数の下では、実数は距離空間であり、したがって位相空間でもあります。ユークリッド距離関数を制限すると、無理数に距離空間の構造が与えられます。無理数の部分空間は閉じていないため、誘導される距離は完全ではありません。完全距離空間におけるG デルタ集合、つまり開部分集合の可算な共通集合であるため、無理数の空間は完全に距離化可能です。つまり、無理数上に、ユークリッド距離の制限と同じ位相を誘導する距離がありますが、それに関して無理数は完全です。G デルタ集合に関する前述の事実を知らなくても、これを理解できます。無理数の連分数展開は、無理数の空間からすべての正の整数の列の空間への同相写像を定義し、これが完全に距離化可能であることは容易にわかります。 ${\displaystyle d(x,y)=\vert x-y\vert }$

さらに、無理数全体の集合は不連続な距離化可能な空間です。実際、部分空間位相を備えた無理数は閉開群の基底を持つため、空間は0 次元です。

• ブルジュノ数
• 計算可能な数
• ディオファントス近似
• 非合理性の尺度
• eが無理数であることの証明
• πが無理数であることの証明
• 3の平方根
• 5の平方根
• 三角数

• アドリアン＝マリー・ルジャンドル、幾何学的要素、注 IV、（1802 年）、パリ
• Rolf Wallisser、「On Lambert's Proof of the irrationality of π」、『代数的整数論とディオファンティン解析』、Franz Halter-Koch および Robert F. Tichy、(2000)、Walter de Gruyter

ウィキメディア・コモンズには、無理数に関連するメディアがあります。

• ゼノンのパラドックスと通約不可能性 2016年5月13日アーカイブ、Wayback Machine (nd)。2008年4月1日閲覧。