魔法陣（数学）

魔法陣は、宋代（960～1279年）の中国の数学者楊慧（1238年頃～1298年）によって発明されました。これは、各円上の数字の合計と直径上の数字の合計が一致するように、円上に自然数を配置したものです。彼の魔法陣の1つは、中心に9がある4つの同心円 上に1から33までの自然数を配置して構築されました。

楊慧の魔法陣シリーズは、 1275年に出版された『續古摘奇算法』(続編)に掲載されています。彼の魔法陣シリーズには、正方形の魔法陣5個、リング状の魔法陣6個、正方形の魔法陣8個、同心円の魔法陣、正方形の魔法陣9個が含まれています。

楊慧の魔法の同心円には次のような性質がある

• 4つの直径の数字の合計 = 147、
  • 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
• 8 つの数字と中央の 9 の合計 = 147;
  • 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
• 9を除いた半径8の合計= 魔法の数字69: 例えば、27 + 15 + 3 + 24 = 69
• 各円上のすべての数字の合計（9は除く） = 2 × 69
• 半円は8 つ存在し、その数字の合計は魔法数 69 です。魔法数 69 の線分 (半円と半径) は 16 個あり、魔法数が 12 個しかない 6 次の魔方陣よりも多くなっています。

64 個の数字 (1～64) が 8 つの円に配置され、各円には 8 つの数字があり、各円の合計は 260 になります。すべての数字の合計は 2080 (=8×260) です。円は 3×3 の正方形のグリッドに配置され、中央の領域は開いており、中央の列と行に沿った水平/垂直の合計も 260 になり、両方の対角線に沿った数字の合計は 520 になります。

1 から 72 までの 72 個の数字が、正方形の 8 個の数字からなる 9 つの円に配置され、隣接する数字が 4 つの追加の 8 個の数字の円を形成します。したがって、合計 13 個の 8 個の数字の円になります。

追加の円 x1 には、円 NW、N、C、W からの数字が含まれ、x2 には、円 N、NE、E、C からの数字が含まれ、x3 には、円 W、C、S、SW からの数字が含まれ、x4 には、円 C、E、SE、S からの数字が含まれます。

• 72 個の数字の合計 = 2628;
• 任意の 8 つの数字の円内の数字の合計 = 292;
• 水平線に沿った 3 つの円の合計 = 876;
• 垂直線に沿った 3 つの円の合計 = 876;
• 対角線上の3つの円の合計 = 876。

丁一東は楊慧と同時代の数学者です。彼の6つの輪を持つ魔法陣では、外側の5つの輪の単位数と中央の輪の単位数が組み合わさって、次の魔方陣を形成します。

施工方法:

ラジアルグループ1 =1,11,21,31,41とする

ラジアル群2=2,12,22,32,42とする

ラジアル群3=3,13,23,33,43とする

ラジアル群4=4,14,24,34,44とする

放射状群6=6,16,26,36,46とする

放射状群7=7,17,27,37,47とする

放射状群8=8,18,28,38,48とする

放射状群9=9,19,29,39,49とする

中心群を =5,15,25,35,45 とする

グループ1、2、3、4、6、7、9を放射状に並べると、

• 各数字は円上の1つの位置を占める
• 1 つの放射状の外側の番号が最小になり、隣接する放射状の外側の番号が最大になるように方向を交互に変更します。
• 各グループは、洛書魔方陣の数字に対応する放射状の位置を占めます。つまり、グループ 1 は 1 の位置、グループ 2 は 2 の位置などです。
• 最後に、中心のグループを中心の円に配置します。

グループ 1 ラジアルの 5 番

グループ2のラジアルの10番

グループ3の放射状の15番

...

グループ9の放射状の45番

明代の数学者程大偉は著書『算法同宗』の中でいくつかの魔法陣を挙げている。

1917年、WSアンドリュースは、地球の緯線と経線を表す球体上に、1、2、3、62の数字を11個の円にそれぞれ12個の数字を配置したものを発表しました。各円には12個の数字があり、合計378個になります。^[1]

魔方陣は、円とスポークの各交点に数字を置くことで、1 つ以上の魔方陣から作成できます。魔方陣の列を複製することで、追加のスポークを追加できます。

図の例では、次の 4 × 4 の最も完全な魔方陣が魔方陣の上部にコピーされています。各数字に 16 を加えたものが、円の中心に対して対称な交点に配置されています。これにより、1 から 32 までの数字を含む魔方陣が完成し、各円と直径の合計は 132 になります。^[1]

• 林立勇: ハン・ホイ・スアン・ファの批判的研究 《杨辉算法》 シンガポール大学出版局 1977
• Wu Wenjun (編集長)、中国数学史大シリーズ、第 6 巻、第 6 部 楊輝、セクション 2 魔法陣 (吴文俊主编沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷 第六篇 《杨辉》 第二节 《幻圆》) ISBN  7-303-04926-6 /O