超複素数

クリフォード代数は、二次形式を備えた基礎となるベクトル空間上で生成される単位的結合代数である。実数上では、これは対称スカラー積を定義できることと同等である。${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$二次形式を直交化するために使用できる基底を与える${\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}$すなわち、 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}\right)={\begin{cases}-1,0,+1&i=j,\\0&i\not =j.\end{cases}}}$$

乗法による閉包を課すと、基底によって張られる多重ベクトル空間が生成される。${\displaystyle 2^{k}}$要素、${\displaystyle \{1,\,e_{1},\,e_{2},\dots ,\,e_{1}e_{2},\,\dots ,\,e_{1}e_{2}e_{3},\,\dots \}}$これらは超複素数系の基底として解釈できます。基底とは異なり、${\displaystyle \{e_{1},\,\dots ,\,e_{k}\}}$⁠、残りの基底要素は、2つの因子を交換するために何回の単純な交換を行う必要があるかに応じて、反交換である必要はありません。したがって、${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$しかし​​${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$⁠ .

元素を含む基質を脇に置く${\displaystyle e_{i}}$そのため${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$（つまり、二次形式が退化していた元の空間の方向）残りのクリフォード代数はラベルで識別できます。${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$⁠、これは代数が以下から構築されていることを示しています${\displaystyle p}$単純な基本要素と${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$⁠、${\displaystyle q}$と共に​${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$⁠、そして${\displaystyle \mathbb {R} }$これは、実数上のクリフォード代数であることを示している。つまり、代数の要素の係数は実数である。

幾何代​​数と呼ばれるこれらの代数は体系的な集合を形成し、回転、位相、スピンを含む物理学の問題、特に古典力学、量子力学、電磁気理論、相対性理論において非常に有用であることがわかっています。

例としては、複素数などが挙げられる。${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,1}(\mathbb {R} )}$⁠、複素数分割⁠${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,0}(\mathbb {R} )}$⁠、四元数⁠${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,2}(\mathbb {R} )}$⁠、分割バイクォータニオン⁠${\displaystyle {\text{Cl}}_{0,3}(\mathbb {R} )}$⁠、分割四元数${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,1}(\mathbb {R} )\approx {\text{Cl}}_{2,0}(\mathbb {R} )}$（2次元ユークリッド空間の自然代数）${\displaystyle {\text{Cl}}_{3,0}(\mathbb {R} )}$（3次元ユークリッド空間の自然代数、およびパウリ行列の代数） ；そして時空代数${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )}$⁠ .

代数の要素${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$偶数部分代数を形成する${\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$代数学の${\displaystyle {\text{Cl}}_{q+1,p}(\mathbb {R} )}$⁠ は、より大きな代数における回転をパラメータ化するために使用できます。したがって、2 次元空間における複素数と回転、3 次元空間における四元数と回転、(1+1) 次元空間における分割複素数と (双曲) 回転 (ローレンツ変換) などの間には密接な関係があります。

ケイリー・ディクソン代数や8次元以上の分割複体構造は乗法に関して結合法則を満たさないのに対し、クリフォード代数は次元数に関わらず結合法則を保持する。

1995年、イアン・R・ポーテウスはクリフォード代数に関する著書の中で「部分代数の認識」について書いた。彼の命題11.4は超複素数の場合を要約している。^{[ 17 ]}

させて${\displaystyle A}$単位元を持つ実結合代数である${\displaystyle 1}$⁠。それから

• 1 生成する${\displaystyle \mathbb {R} }$（実数の代数）
• 要素によって生成される任意の2次元部分代数${\displaystyle e_{0}}$の${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$は同型である${\displaystyle \mathbb {C} }$（複素数の代数）
• 要素によって生成される任意の2次元部分代数${\displaystyle e_{0}}$の${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle e_{0}^{2}=1}$は同型である${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（成分ごとの積を持つ実数のペア、分割複素数の代数と同型）
• 集合によって生成される任意の4次元部分代数${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}$相互に反交換する要素の${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$は同型である${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元数の代数）
• 集合によって生成される任意の4次元部分代数${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1}\}}$相互に反交換する要素の${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$は同型である${\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {R} )}$（⁠${\displaystyle 2\times 2}$⁠実数行列、余四元数)、
• 集合によって生成される任意の8次元部分代数${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}$相互に反交換する要素の${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$は同型である${\displaystyle {}^{2}\mathbb {H} }$（分割二元数）、
• 集合によって生成される任意の8次元部分代数${\displaystyle \{e_{0},\,e_{1},\,e_{2}\}}$相互に反交換する要素の${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$は同型である${\displaystyle {\text{M}}_{2}(\mathbb {C} )}$（⁠${\displaystyle 2\times 2}$（複素行列、双四元数、パウリ代数）。

クリフォード代数すべて${\displaystyle {\text{Cl}}_{p,q}(\mathbb {R} )}$実数とは別に、複素数と四元数は、二乗すると+1になる非実数要素を含むため、除算代数にはなり得ません。複素数を拡張する別のアプローチとして、ケイリー・ディクソン構成があります。これは次元の数体系を生成します。${\displaystyle {1}}$⁠、ベース付き⁠${\displaystyle \left\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\right\}}$⁠、すべての非実数基底要素は反可換であり、 を満たす。${\displaystyle {i_{m}}^{2}=-1}$8次元以上（${\displaystyle n\geq 3}$これらの代数は非結合的です。16次元以上では(${\displaystyle n\geq 4}$これらの代数には、ゼロでない零因子も存在します。

この系列の最初の代数には、4 次元の 4元数、8 次元の 8元数、および 16 次元の 9元数が含まれます。次元が増加するごとに代数的な対称性が失われます。4 元数の乗法は可換ではなく、8 元数の乗法は非結合的であり、 9元数のノルムは乗法的ではありません。9 元数の後には、32 次元の3 元 2 元数(または 32 元数)、64 次元の 6 元 4 元数 (または 64 元数)、128 次元の 10 元 2 元 3 元数 (または 128 元数)、256 次元の 20 元 5 元 4 元数 (または 256 元数) があり、以下に示すように無限に続きます。 ^{[ 18 ]}

ケイリー・ディクソン構成法は、いくつかの段階で追加の符号を挿入することで修正できる。そうすると、構成代数の集合において、除算代数の代わりに「分割代数」が生成される。

基底を持つ分割複素数${\displaystyle \{1,\,i_{1}\}}$満足​${\displaystyle i_{1}^{2}=+1}$⁠、

基底を持つ分割四元数${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\}}$満足​${\displaystyle i_{1}^{2}=-1,\,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$⁠、そして

基底を持つ分割八元数${\displaystyle \{1,\,i_{1},\,\dots ,\,i_{7}\}}$満足​${\displaystyle i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$⁠、 ⁠${\displaystyle i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$⁠ .

複素数とは異なり、分割複素数は代数的に閉じておらず、さらに非自明な零因子と非自明な冪等元を含みます。四元数と同様に、分割四元数は可換ではありませんが、さらに冪零元を含みます。これらは2次元の正方行列と同型です。分割八元数は非結合的で、冪零元を含みます。

任意の2つの代数のテンソル積は別の代数であり、これを用いてさらに多くの超複素数体系の例を生成することができる。

特に、複素数（実数上の代数とみなされる）とのテンソル積をとると、4次元の双複素数が得られる。${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$（テッサリンと​​同型）${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }D}$8次元の2四元数${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$⁠、そして16次元複素八元数⁠${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$⁠ .

別の例としては、2つの四元数環のテンソル積が挙げられる。${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$（クリフォード代数と同型）${\displaystyle {\text{Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$そして${\displaystyle 4\times 4}$実数行列${\displaystyle M(4,\mathbb {R} )}$⁠ ) 相対論的物理学への応用につながる。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}

より一般的には、次のように定義する。${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes m}}$（およびその部分代数）を「ハイパー四元数代数」と呼ぶ。特に、${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M(4,\mathbb {H} )}$四元数行列とその偶数部分代数を生成する${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$（ディラック代数）^{[ 21 ] [ 22 ]}

• 双複素数：実数上の4次元ベクトル空間、複素数上の2次元ベクトル空間であり、テッサリンと​​同型である。
• 多重複素数：${\displaystyle 2^{n}}$実数上の次元ベクトル空間、${\displaystyle 2^{n-1}}$複素数上の次元
• 合成代数：積と合成する二次形式を持つ代数