革命の表面

回転面とは、曲線（母線）を回転軸（通常は母線と交わらないが、端点では交わる）を中心に1回転させることによってユークリッド空間に作られる面である。[ 1 ]この回転によって作ら^れた面 によって囲まれた体積が回転体である。

直線によって生成される回転面の例としては、直線が軸に平行かどうかによって、円筒面と円錐面があります。任意の直径を中心に回転させた円は球を生成し、その球は大円になります。また、円の内部と交わらない軸を中心に円を回転させると、自身と交わらないトーラス（環状トーラス）が生成されます。

回転軸を通る平面によって作られる回転面の断面は、子午線断面と呼ばれる。任意の子午線断面は、それと回転軸によって決定される平面における母線とみなすことができる。^{[ 2 ]}

回転軸に垂直な平面によって作られる回転面の断面は円である。

双曲面（1葉または2葉）および楕円放物面の特殊な場合の中には、回転面となるものがある。これらは、軸に垂直な断面がすべて円形である二次曲面として識別できる。

曲線がパラメータ関数x ( t )、y ( t )で表され、tはある区間[ a , b ]を動き、回転軸がy軸である場合、表面積A _yは次の積分で与えられる。$${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,}$$ ただし、x ( t )は端点aとbの間では決して負にならないものとする。この式は、パップスの重心定理の微積分における等価物である 。^{[ 3 ]}量 $${\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$$これはピタゴラスの定理 から得られるもので、弧長公式にあるように、曲線の弧の小さな部分を表します。量2π x ( t )は、パップスの定理で要求されるように、この小さな部分の軌跡（重心）です。

同様に、回転軸がx軸であり、y ( t )が負にならない場合、面積は^{[ 4 ]で与えられます。}$${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}$$

連続曲線が関数y = f ( x )、a ≤ x ≤ bで記述される場合、積分は次のようになります。 $${\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx}$$x軸 を中心とした回転の場合、 $${\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy}$$y軸 を中心とした回転の場合（a ≥ 0の場合）。これらは上記の式から得られます。^{[ 5 ]}

これは多変数積分からも導き出せる。平面曲線が次のように与えられる場合${\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle }$すると、x軸を中心に回転させたときの対応する回転面のデカルト座標は次のようになる。${\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle }$と${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$すると、表面積は面積分によって与えられる。$${\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}$$

偏微分を計算すると、 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle }$$ そして、交差積 を計算すると、$$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle }$$$ ここで三角関数の恒等式は$\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$が使用されました。このクロス積により、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}$$ ここでも同じ三角関数の恒等式が再び用いられている。y軸を中心に回転させて得られる曲面の導出も同様である。

例えば、半径1の球面は、 tが[0,π]の範囲にあるとき、曲線y ( t ) = sin( t )、x ( t ) = cos( t )によって生成されます。したがって、その面積は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}$$

半径rの球面曲線y ( x ) = √ r ² − x ²をx軸 を中心に回転させた場合$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}$$

最小回転面とは、与えられた2点間の曲線の回転面のうち、表面積を最小にする面の ことである。^{[ 6 ]}変分法の基本的な問題の一つは、この最小回転面を生成する2点間の曲線を見つけることである。^{[ 6 ]}

回転の極小曲面（回転の極小曲面でもある曲面）は、平面とカテノイドの2つだけである。^{[ 7 ]}

曲線を回転させることによって得られる回転面${\displaystyle y=f(x)}$x軸の周りは、最も簡単に次のように説明できます。${\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}}$これにより、以下のパラメータ化が得られます。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle \theta }$として${\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))}$代わりに曲線をy軸を中心に回転させると、曲線は次のように表されます。${\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})}$式が得られる${\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))}$パラメータの観点から${\displaystyle x}$そして${\displaystyle \theta }$。

xとyがパラメータによって定義されている場合${\displaystyle t}$すると、次のパラメータ化が得られます。${\displaystyle t}$そして${\displaystyle \theta }$。 もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$関数${\displaystyle t}$すると、曲線をx軸を中心に回転させて得られる回転面は次のように表される。${\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))}$、曲線をy軸を中心に回転させて得られる回転面は、次のように表される。${\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}$。

経線は常に回転面上の測地線である。その他の測地線はクレローの関係によって支配される。^{[ 8 ]}

回転軸が回転面と交わらない穴のある回転面は、トーラスと呼ばれます。^{[ 9 ]}例えば、長方形をその辺の 1 つに平行な軸を中心に回転させると、中空の正方形断面のリングが生成されます。回転した図形が円である場合、その物体はトーラスと呼ばれます。

• チャネル表面、回転面の一般化
• 円筒対称
• ガブリエルの角笛
• 一般化されたらせん
• レモン（幾何学）、円弧の回転面
• リウヴィル曲面、回転面のもう一つの一般化
• 球状
• 面積分
• 並進曲面（微分幾何学）

• ワイススタイン、エリック・W. 「回転面」 . MathWorld .
• 「表面の革命」。Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (フランス語)。