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アレクサンダー・グロタンディーク | |
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 1970 年、モントリオールのアレクサンダー・グロタンディーク | |
| 生まれる | 1928年3月28日 |
| 死亡 | 2014年11月13日（享年86歳） |
| 国籍 |
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| 母校 | |
| 知られている | 代数幾何学の刷新と代数幾何学と数論および位相幾何学との統合 アレクサンダー・グロタンディークにちなんで名付けられたものの一覧 |
| 受賞歴 |
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| 科学者としてのキャリア | |
| フィールド | 関数解析 代数幾何学 ホモロジー代数 |
| 機関 |
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| 論文 | テンソリエルのトポロジーと核の空間の生成 (1953) |
| 博士課程の指導教員 | |
| 博士課程の学生 | |
アレクサンドル・グロタンディーク、後のフランス語ではアレクサンドル・グロタンディーク( / ˈ ɡ r oʊ t ən d iː k / ;ドイツ語: [ˌalɛˈksandɐ ˈɡʁoːtn̩ˌdiːk] ;フランス語:[ɡʁɔtɛndik]; 1928年3月28日 - 2014年11月13日）は、ドイツ生まれのフランスの 数学者代数幾何学の創始者となった。[7][8]彼の研究は代数幾何学の範囲を広げ、可換代数、ホモロジー代数、層理論、圏論その基礎に加えた。一方、彼のいわゆる「相対的」観点は純粋数学の多くの分野に革命的な進歩をもたらした。[7][9]彼は20世紀で最も偉大な数学者であると多くの人に考えられている。[10][11]
グロタンディークは1949年に数学者としての生産的かつ公的なキャリアを開始した。1958年に彼は高等科学研究所（IHÉS）の研究教授に任命され、1970年までそこに留まったが、軍事資金をめぐる論争の後、個人的かつ政治的な信念に駆られて辞職した。彼は1966年に代数幾何学、ホモロジー代数、K理論の進歩によりフィールズ賞を受賞した。[12]彼は後にモンペリエ大学の教授となり[1]、依然として関連する数学的研究を行いながら、数学コミュニティから身を引いて政治的および宗教的追求（最初は仏教、後にカトリック寄りのキリスト教のビジョン）に専念した。[13] 1991年に彼はフランスのピレネー山脈にあるラセール村に移り、そこで隠遁生活を送りながら、2014年に亡くなるまで数学と哲学的・宗教的思想の研究を続けた。[14]
人生
家族と幼少時代
グロタンディークはベルリンでアナキストの両親のもとに生まれた。父のアレクサンダー・「サーシャ」・シャピロ（アレクサンダー・タナロフとしても知られる）はハシディズムのユダヤ教徒で、1922年にドイツに移住する前にロシアで投獄されていた。一方、母のヨハンナ・「ハンカ」・グロタンディークはハンブルクのプロテスタント系ドイツ人家庭の出身で、ジャーナリストとして働いていた。[a]両親は10代の頃に幼少期の環境から離脱した。[16]グロタンディークが生まれた当時、母はジャーナリストのヨハネス・ラダッツと結婚しており、当初、彼の出生名は「アレクサンダー・ラダッツ」と記録されていた。この結婚は1929年に解消され、シャピロは父親であることを認めたが、ハンカ・グロタンディークと結婚することはなかった。[16]グロタンディークには母方の兄弟、異母妹のマイディがいた。
グロタンディークは1933年末まで両親とともにベルリンに住んでいたが、その年に父親はナチズムから逃れるためにパリに移住した。母親もその後すぐに追随した。グロタンディークはハンブルクのルーテル派の牧師兼教師であるヴィルヘルム・ヘイドルンに預けられた。[17] [18]ヴィンフリート・シャルラウによると、この時期、両親はスペイン内戦に非戦闘員として参加していた。[19] [20]しかし、シャピロはアナキスト民兵として戦ったと主張する者もいる。[21]
第二次世界大戦
1939年5月、グロタンディークはハンブルクでフランス行きの列車に乗せられた。その後まもなく、彼の父親はル・ヴェルネに収容された。[22]その後、彼と母親は1940年から1942年まで「望ましくない危険な外国人」としてさまざまな収容所に収容された。[23]最初の収容所はリュークロ収容所で、ここで彼の母親は結核にかかり、1957年に死亡した。そこで、グロタンディークはメンデルにある地元の学校に通うことができた。一度、彼は収容所から逃げ出し、ヒトラーを暗殺しようとした。[22]その後、彼の母親ハンカは第二次世界大戦の残りの期間、グールス収容所に移送された。[22]グロタンディークは母親と離れて暮らすことを許可された。[24]
ル・シャンボン・シュル・リニョン村では、地元の下宿屋やペンションに保護され隠れていたが、ナチスの襲撃の際には森に避難しなければならず、時には数日間水も食料もなく生き延びたこともあった。[22] [24]
彼の父親はヴィシー政権の反ユダヤ法に基づいて逮捕され、ドランシー収容所に送られ、その後フランスのヴィシー政権によってドイツに引き渡され、 1942年にアウシュビッツ強制収容所で殺害された。[8] [25]
ル・シャンボンでは、グロタンディークはコレージュ・セヴェノール（現在はル・コレージュ・リセ・セヴェノール・インターナショナルとして知られている）に通った。これは1938年に地元のプロテスタントの平和主義者と反戦活動家によって設立されたユニークな中等学校である。ル・シャンボンに隠れていた難民の子供たちの多くはコレージュ・セヴェノールに通っており、グロタンディークが最初に数学に魅了されたのはこの学校だったようだ。[26]
1990年、ユダヤ人を救出するために命を危険にさらしたことにより、村全体が「諸国民の中の正義の人」として認められました。
研究数学の研究と接触
戦後、若きグロタンディークはフランスで数学を学び、最初はモンペリエ大学に通ったが、天文学などの授業で落第するなど成績が振るわなかった。[27]独学でルベーグ測度を再発見した。3年間パリで独自に研究を重ねた後、1948年にパリで研究を続けた。[17]
当初、グロタンディークはエコール・ノルマル・シュペリュールでアンリ・カルタンのセミナーに出席したが、彼にはその優秀なセミナーについていくのに必要な知識がなかった。カルタンとアンドレ・ヴェイユの助言により、彼はナンシー大学に移った。そこでは、ジャン・デュドネとローラン・シュワルツという二人の第一人者がグロタンディークの関心分野である位相ベクトル空間について研究していた。後者は最近フィールズ賞を受賞したばかりだった。デュドネとシュワルツは新入生に最新の論文「空間の双対性 ( F ) と ( LF )」を見せた。その論文は局所凸空間に関する14の未解決問題のリストで終わっていた。[28]グロタンディークは数ヶ月以内にこれらすべての問題を解くことを可能にする新しい数学的手法を導入した。[29] [30] [31] [32] [33] [34] [35]
ナンシーでは、 1950年から1953年にかけて、関数解析の二人の教授の指導の下で博士論文を執筆した。 [36]この頃、彼は位相ベクトル空間理論の第一人者であった。[37] 1953年にブラジルのサンパウロ大学に移り、ナンセン・パスポートを使って移民した。これは、フランス国籍を取得することを拒否したためである（フランス国籍を取得すると、彼の信念に反して兵役に就くことになるため）。彼は（1953年10月から1954年3月までの長期フランス滞在を除き）1954年末までサンパウロに滞在した。ブラジル滞在中に出版された彼の研究は、位相ベクトル空間理論に関するものであり、この分野での最後の主要研究（バナッハ空間の「計量」理論）を完成させたのもブラジルである。
グロタンディークは1955年初頭にカンザス州ローレンスに移り、そこで古い研究を脇に置いて代数位相幾何学とホモロジー代数、そして代数幾何学の研究に取り組み始めた。[38] [39]グロタンディークはローレンスでアーベル圏の理論とそれに基づく層コホモロジーの再定式化を展開し、非常に影響力のある「東北論文」を著した。[40]
1957年、オスカー・ザリスキからハーバード大学を訪問するよう招待されたが、アメリカ政府転覆に協力しないという誓約書への署名を拒否したため、その申し出は実現しなかった。拒否すると刑務所行きになると警告されていた。本を読める限り、刑務所行きの可能性は気にしていなかった。[41]
ナンシー時代のグロタンディークを、当時高等師範学校で訓練を受けた学生たち（ピエール・サミュエル、ロジェ・ゴデマン、ルネ・トム、ジャック・ディクスミエ、ジャン・サーフ、イヴォンヌ・ブリュア、ジャン＝ピエール・セール、ベルナール・マルグランジュ）と比較して、レイラ・シュネップスは次のように述べた。
彼はこのグループや教授たちに全く知られておらず、恵まれない混沌とした環境からやってきて、彼らと比べても研究者としてのキャリアの初めの頃は無知だったため、突然スターダムにのし上がった彼の驚異的な昇り詰めは、なおさら信じ難いものであり、数学史上極めて特異なことである。[42]
1953年に彼が最初に行った位相ベクトル空間に関する研究は物理学やコンピュータサイエンスに応用され、量子物理学におけるグロタンディークの不等式とアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスの関係を解明するに至った。[43]
IHÉS 年
1958年、グロタンディークは、ジャン・デュドネとグロタンディークのために事実上設立された、民間資金による新しい研究機関である高等科学研究所（IHÉS）に着任した。[3]グロタンディークは、そこでのセミナー（若い世代の最も優秀なフランス人やその他の数学者の一部を基礎研究に取り込む事実上のワーキンググループ）の活発で非常に生産的な活動で注目を集めた。[17]グロタンディークは、従来の学術雑誌ルートでの論文発表を事実上やめました。しかし、彼は約10年間数学で支配的な役割を果たし、強力な学派を集めました。[44]
公式にはこの時期に、ミシェル・ドゥマズール（SGA3、群スキームの研究）、リュック・イリュジー（コタンジェント複体）、ミシェル・レイノー、ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（導来圏理論の共同創始者）、ピエール・ドリーニュが彼の教え子であった。SGAプロジェクトの共同研究者にはマイケル・アルティン（エタールコホモロジー）、ニック・カッツ（モノドロミー理論、レフシェッツペンシル）もいた。ジャン・ジローはそこで非可換コホモロジーのトルソル理論拡張も行った。デイヴィッド・マンフォード、ロビン・ハーツホーン、バリー・マズール、CPラマヌジャムなど他の多くの人々も関わっていた。
「黄金時代」
アレクサンダー・グロタンディークは、IHÉSのいわゆる「黄金時代」の時期に、代数幾何学、数論、位相幾何学、圏論、複素解析のいくつかの統一テーマを確立した。[36]彼の代数幾何学における最初の（IHÉS以前の）発見は、グロタンディーク＝ヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理であり、これはヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理を代数的に証明した一般化である。この文脈で、彼はK理論も導入した。その後、1958年の国際数学者会議での講演で概説したプログラムに従って、スキーム理論を導入し、 Éléments de géométrie algébrique（EGA ）で詳細に展開し、それ以降この分野で採用されている代数幾何学の新しい、より柔軟で一般的な基礎を提供した。[17]彼はさらに、スキームのエタールコホモロジー理論を導入し、ヴェイユ予想を証明するための重要なツールを提供し、またそれを補完する結晶コホモロジーと代数ド・ラームコホモロジーも導入した。これらのコホモロジー理論と密接に関連して、彼は位相幾何学の一般化としてトポス理論を生み出した（圏論的論理にも関連している）。彼はまた、圏論的ガロア理論によって、スキームの基本群の代数的定義を提供し、今では有名なエタール基本群を生み出し、さらにその一般化が存在すると予想した。これは今では基本群スキームとして知られている。彼はまた、彼の首尾一貫した双対性理論の枠組みとして、導来カテゴリーを導入し、これはヴェルディエによってさらに発展させられた。[45]
これらの研究やその他の研究成果はEGAで出版され、また、 IHÉSで彼が指導した代数幾何学セミナー（SGA ）のノートにもあまり洗練されていない形で掲載された。 [17]
政治活動
グロタンディークの政治的見解は急進的で平和主義的だった。彼はベトナムへのアメリカの介入とソ連の軍事拡張主義の両方に強く反対した。ベトナム戦争に抗議するため、彼はハノイが爆撃されている間、ハノイ周辺の森で圏論の講義を行った。 [46] 1966年、彼はフィールズ賞を受賞する予定だったモスクワでの国際数学者会議（ICM）への出席を辞退した。[7]彼はIHÉSが軍から部分的に資金提供を受けていることを知った後、1970年頃に科学者として引退した。[47]彼は数年後にモンペリエ大学の教授として学界に戻った。
軍事費の問題はおそらくグロタンディークがIHÉSを去った最も明白な説明だったが、彼を知る人たちは、決裂の原因はもっと根深いところにあったと言う。IHÉSの長期滞在客ピエール・カルティエは、IHÉS創立40周年を記念して出版された特別号にグロタンディークに関する一文を寄稿した。[48]その出版物でカルティエは、反軍事的無政府主義者の息子であり、権利を奪われた人々の中で育ったグロタンディークは、常に貧しい人々や虐げられた人々に対して深い同情心を持っていたと述べている。カルティエが言うように、グロタンディークはビュル＝シュル＝イヴェットを「金メッキの檻」として見るようになった。グロタンディークがIHÉSに在籍していた頃、ベトナム戦争への反対運動が激化しており、カルティエは、これが科学界の官僚となったことに対するグロタンディークの嫌悪感を強めたとも示唆している。[3]さらに、IHÉSで数年過ごした後、グロタンディークは新たな知的関心を求めていたようである。1960年代後半には、数学以外の科学分野に興味を持ち始めていた。 1964年にIHÉSの教授陣に加わった物理学者のデイヴィッド・ルーレは、グロタンディークが物理学について何度か話をしに来たと語っている。[b]グロタンディークは物理学よりも生物学に興味があり、生物学に関するセミナーをいくつか開催した。[48]
1970年、グロタンディークは他の2人の数学者、クロード・シュヴァレーとピエール・サミュエルとともに、 Survivre （後にSurvivre et vivreに改名）という政治団体を設立した。この団体は機関誌を発行し、反軍事問題や環境問題に取り組んでいた。また、科学技術の無差別な使用に対する強い批判を展開した。[49]グロタンディークはその後3年間この団体に尽力し、機関誌の主任編集者を務めた。[1]
グロタンディークは数学の研究を続けていたが、彼の数学者としてのキャリアは、IHÉSを去った時点でほぼ終了した。[8] IHÉSを去った後、グロタンディークは2年間コレージュ・ド・フランスの臨時教授となった。 [49]その後、モンペリエ大学の教授となり、数学界から次第に疎遠になっていった。CNRSの研究職に就いた数年後の1988年に正式に引退した。[1]
1980年代に書かれた原稿
1980 年代には数学の研究を従来の方法で出版しなかったが、数学と伝記の両方の内容を扱った、限定配布の影響力のある原稿をいくつか作成した。
1980年から1981年にかけて制作された『ガロア理論の長い行進』は1600ページに及ぶ手書きの原稿で、プログラムの要約につながる多くのアイデアが含まれています。[50]また、タイヒミュラー理論の研究も含まれています。
1983年、バンガー大学のロナルド・ブラウン、ティム・ポーターとの文通に刺激を受けて、グロタンディークはPursuing Stacksと題する600ページの原稿を執筆した。それはダニエル・キレン宛の手紙から始まった。この手紙とそれに続く部分はバンガーから配布された（下記の外部リンクを参照）。その中で、日記のような形式ばった方法で、グロタンディークは代数ホモトピー理論と代数幾何学の関係、およびスタックの非可換理論の見通しに関するアイデアを説明、展開した。G.マルツィニオティスが出版に向けて編集中のこの原稿は、後に彼のもう一つの記念碑的な作品であるLes Dérivateursにつながった。1991年に執筆されたこの約2000ページの大作は、 Pursuing Stacksで始まったホモトーピー的なアイデアをさらに展開したものである。[7]この研究の多くは、1990年代半ばのファビアン・モレルとウラジミール・ヴォエヴォツキーによるモティヴィックホモトピー理論のその後の発展を予見するものであった。
1984年、グロタンディークはフランス国立科学研究センター（CNRS）の職に応募するために、提案書「プログラムのスケッチ」[50]を書いた。この提案書では、複素曲線のモジュライ空間を研究するための新しいアイデアが述べられている。グロタンディークはこの分野での研究を公表することはなかったが、この提案書は、子供の描画理論や遠アーベル幾何学の源泉となり、他の数学者がこの分野で研究するきっかけとなった。後に、この提案書は2巻本で出版され、「幾何学的ガロア作用」（ケンブリッジ大学出版、1997年）と題された。
この期間中、グロタンディークはベルティーニ型定理に関するEGAの草稿の一部を出版することに同意しました（EGA V、1992年から1993年にかけてUlam Quarterlyで出版され、後に2004年にGrothendieck Circle Webサイトで公開されました）。
グロタンディークは、大作自伝『収穫と種蒔き』（1986年）で、数学への取り組み方や数学界での経験について述べている。数学界は当初、彼をオープンかつ温かく受け入れてくれたが、次第に競争と地位に支配されていると感じ始めた。彼は、自分の研究が「埋葬」されたと感じたことや、自分がその界を去った後に元学生や同僚に裏切られたことについて不満を述べている。[17] 『収穫と種蒔き』は、 2022年にガリマール社から出版され[51]、フランスの科学史家アラン・エルマンのおかげで[7] 、インターネットでも入手できるようになった。[52]ライラ・シュネプスによる英訳が、2025年にMITプレスから出版される予定。[53]部分的な英訳はインターネットで見つけることができる。[54]この本の全4巻の日本語訳は、サバイヴル時代からのグロタンディークの友人である辻雄一（1938–2002）によって完成された。最初の3巻（本のパート0からパートIIIに相当）は1989年から1993年にかけて出版され、第4巻（パートIV）は完成し、未出版ではあるもののタイプ原稿のコピーが流通している。グロタンディークは翻訳に協力し、序文を書いた。その中で、彼は辻を「最初の真の協力者」と呼んでいる。[55] [56] [57] [58] [59] [60] 『レコルトとセメール』の一部はスペイン語に翻訳され、[61]モスクワで出版されたロシア語訳にもなっている。[62]
1988年、グロタンディークはメディアに宛てた公開書簡でクラフォード賞を辞退した。彼は自分や他の著名な数学者たちは追加の資金援助を必要としていないと書き、科学界の倫理観の低下を批判した。その倫理観は、科学の盗用が当たり前のこととなり容認されていると彼が考えるものだ。また、この書簡では、今世紀末までに全く予期せぬ出来事が起これば、文明は前例のない崩壊を迎えるだろうという彼の信念も表明した。しかし、グロタンディークは、自分の見解は「王立アカデミーの資金管理の目的を批判する意図はまったくない」とし、「クラフォード賞の受諾を断ったことで、あなた方と王立アカデミーに迷惑をかけたかもしれないことを残念に思います」と付け加えた。[63]
1987年に書かれた315ページの原稿「夢の鍵盤」[64]は、グロタンディークが夢の源泉について考察した結果、神が存在するという結論に至った経緯を記したものである。[65]この原稿の注釈の一部として、グロタンディークは18人の「ミュータント」の生涯と業績について記述している。彼らは時代をはるかに先取りし、新しい時代を告げる先見の明のある人物として彼が尊敬していた人々である。[1]彼のリストに載っていた唯一の数学者はベルンハルト・リーマンであった。[66]聖体のみで生き延びたとされるカトリックの神秘主義者マルト・ロバンの影響を受けたグロタンディークは、1988年に餓死寸前まで追い込まれた。[1]彼が精神的な事柄にますます関心を寄せるようになったことは、1990年1月に250人の友人に送った「Lettre de la Bonne Nouvelle」と題する手紙にも表れている。その中で彼は神との遭遇について述べ、1996年10月14日に「新時代」が始まると宣言した。[7]
1990年に出版されたグロタンディーク記念論文集は、1988年の彼の60歳の誕生日を記念して出版された3巻からなる研究論文集であった。[67]
グロタンディークの数学的およびその他の著作2万ページ以上がモンペリエ大学に保管されており、未出版のままとなっている。[68]これらは保存のためにデジタル化されており、モンペリエラン研究所のアレクサンダー・グロタンディークポータルを通じてオープンアクセスで自由に利用できる。[69] [70]
隠遁生活と死
1991年、グロタンディークは数学界の以前の知り合いとは住所を明かさない新しい住所に引っ越した。[1]その後、彼を訪ねる人はほとんどいなかった。[71]タンポポのスープを主食にしていたグロタンディークが、地元の村人たちからより多様な食事で生活を支える手助けを受けた。[72]ある時、レイラ・シュネップスとピエール・ロシャックが彼の居場所を突き止め、短い文通を続けた。こうして彼らは「彼と接触した最後の数学界関係者」の一人となった。[73]彼の死後、ピレネー山脈の麓にある小さな村、アリエージュ県ラセールの一軒家に一人で住んでいたことが明らかになった。[74]
2010年1月、グロタンディークはリュック・イリュジーに「非公開宣言」と題する書簡を送り、彼が不在の時に出版された資料はすべて彼の許可なく出版されたと主張した。彼は、自分の作品の全部または一部を複製しないこと、この作品のコピーを図書館から撤去することを求めた。[75]彼は自分の作品専用のウェブサイトを「忌まわしい」と評した。[76]彼の命令は2010年に覆された可能性がある。[77]
2014年9月、ほぼ完全に聴覚と視覚を失ったグロタンディークは、近所の人にリボルバーを買って自殺するよう頼んだ。[78] 2014年11月13日、86歳で、アリエージュ県サン・リジエ[78]または サン・ジロンの病院で亡くなった。[26] [79]
市民権
グロタンディークはワイマール時代のドイツで生まれた。1938年、10歳のとき、難民としてフランスに移住した。 1945年のナチスドイツ崩壊で国籍記録が破棄され、戦後、フランス国籍を申請しなかった。そのため、少なくとも職業生活の大半は無国籍となり、ナンセンパスポートで渡航した。[4] [ 5] [6]フランス国籍を保持することに消極的だった理由の1つは、特にアルジェリア戦争（1954-62）のためにフランス軍に従軍することを望まなかったためだと言われている。 [3] [6] [15]結局、兵役義務年齢をはるかに超えた1980年代初頭に、フランス国籍を申請した。[3]
家族
グロタンディークは母親と非常に親しく、博士論文を彼女に捧げた。母親は1957年に難民キャンプで結核にかかり亡くなった。[49]
彼には5人の子供がいた。ナンシーに住んでいた時に家主との間に1人の息子が生まれた。 [3]妻ミレイユ・デュフォーとの間にはヨハンナ（1959年）、アレクサンダー（1961年）、マチュー（1965年）の3人の子供が生まれた。 [1] [41]そして、1970年代初頭にコミューンで一緒に暮らしていたジュスティーヌ・スカルバとの間に1人の子供が生まれた。[1]
数学的な作業
グロタンディークの初期の数学的研究は関数解析であった。1949年から1953年にかけて、彼はナンシーでジャン・ディドネとローラン・シュワルツの指導の下、この分野の博士論文に取り組んだ。彼の主要な貢献には、位相ベクトル空間の位相テンソル積、シュワルツ超関数の基礎となる核空間の理論、位相ベクトル空間間の線型写像の研究におけるL p空間の応用などがある。数年のうちに、彼は関数解析のこの分野の第一人者となり、ディドネは彼のこの分野における影響力をバナッハのそれに匹敵するほどであった。[80]
しかし、グロタンディークが最も重要で影響力のある研究を行ったのは代数幾何学と関連分野である。1955年頃から彼は層理論とホモロジー代数の研究を始め、影響力のある「東北論文」（ 1957年に東北数学雑誌に掲載されたSur quelques points d'algèbre homologique）を発表し、その中で彼はアーベル圏を導入し、その理論を応用して、この文脈では層コホモロジーが特定の導来関数として定義できることを示した。[17]
ホモロジー手法と層理論は、ジャン・ルレーによって層が定義された後、ジャン＝ピエール・セール[81]らによって代数幾何学にすでに導入されていた。グロタンディークはそれらをより高いレベルの抽象度にまで引き上げ、彼の理論の重要な構成原理に変えた。彼は個々の多様体の研究から相対的な観点（射によって関連した多様体のペア）へと注意を移し、多くの古典的な定理の広範な一般化を可能にした。[49]最初の主要な応用は、完全多様体上の連接層のコホモロジーが有限次元であることを示すセールの定理の相対バージョンであった。グロタンディークの定理は、適切な写像による連接層の高次の直接像が連接していることを示しており、これは 1 点空間上のセールの定理に帰着する。
1956年、彼は同じ考え方を、ヒルツェブルッフによって当時任意の次元に一般化されていたリーマン-ロッホの定理に適用した。グロタンディーク-リーマン-ロッホの定理は、1957年にボンで行われた最初の数学実験会でグロタンディークによって発表された。 [49]それは、アルマン・ボレルとセールが共著した論文の中で印刷物として登場した。この結果が、彼の代数幾何学における最初の仕事であった。グロタンディークは、当時は流動的でクロード・シュヴァレーのセミナーで議論されていた代数幾何学の基礎を再構築するためのプログラムを計画し、実行した。彼は、1958年の国際数学者会議での講演でそのプログラムの概要を説明した。
代数幾何学に関する彼の基礎研究は、これまでのどのバージョンよりも抽象度が高い。彼は非閉ジェネリックポイントの使用を採用し、それがスキーム理論につながった。グロタンディークはまた、冪零点の体系的な使用の先駆者でもあった。これらは「関数」として値 0 しか取れないが、純粋に代数的な設定では無限小の情報を伝える。彼のスキーム理論は、その表現力と技術的な深さにより、この分野の最良の普遍的基礎として確立されている。その設定では、双有理幾何学、数論、ガロア理論、可換代数の技法、および代数的位相幾何学の方法の類似物をすべて統合的に使用できる。[17] [82] [83]
グロタンディークは数学に対する抽象的なアプローチの熟達と定式化と表現における完璧主義で知られている。[44] 1960年以降、彼の研究は学術雑誌という従来のルートで出版されることは比較的少なく、最初はセミナーノートの複製版として流通していた。彼の影響は相当程度個人的なものであった。彼の影響は、例えば現代のD加群理論など、数学の他の多くの分野に波及した。「数学界のアインシュタイン」と称賛されたが、彼の研究は反発も招き、多くの数学者がより具体的な分野や問題を探し求めた。[84] [85]
ＥＧＡ、社会保障、ＦＧＡ
グロタンディークの出版された著作の大部分は、記念碑的ではあるものの未完成である、Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) とSéminaire de géométrie algébrique ( SGA ) に集められています。ブルバキセミナーで行われた講演を集めたコレクションFondements de la Géometrie Algébrique ( FGA )にも重要な資料が含まれています。[17]
グロタンディークの研究には、エタールおよびl進コホモロジー理論の発明が含まれており、これらは、多様体の位相的特徴とそのディオファントス（数論的）性質との間の関連を主張したアンドレ・ヴェイユの観察を説明するものである。 [49]たとえば、有限体上の方程式の解の数は、複素数上の解の位相的性質を反映している。ヴェイユは、そのような関連を証明するには新しいコホモロジー理論が必要であることを認識していたが、グロタンディークによってそのような理論が表現されるまで、彼も他の専門家もこれを実現する方法がわからなかった。
このプログラムはヴェイユ予想の証明で最高潮に達し、最後のヴェイユ予想はグロタンディークが数学から大きく退いた後の1970年代初頭にグロタンディークの弟子ピエール・ドリーニュによって解決された。 [17]
数学における主要な貢献
グロタンディークの回顧録『レコルトとセメール』では、彼は自身の貢献のうち「偉大なアイデア」に該当すると信じる12の貢献を挙げている。[86]年代順に並べると次のようになる。
- 位相テンソル積と核空間
- 「連続」と「離散」の二重性（導出カテゴリ、「六つの演算」）
- グロタンディーク・リーマン・ロッホ定理 のヨガK理論と交差理論の関係
- スキーム
- トポイ
- エタールコホモロジーとl進コホモロジー
- モチーフとモチーフガロア群（グロタンディークの⊗圏）
- 結晶と結晶コホモロジー、「ド・ラーム係数」、「ホッジ係数」のヨガ...
- 「位相代数」: ∞スタック、微分子、新しいホモトピー代数へのインスピレーションとしてのトポイのコホモロジー形式
- 飼いならされたトポロジー
- 遠アーベル代数幾何学のヨガ、ガロア・タイヒミュラー理論
- 正多面体やあらゆる種類の規則的な構成に対する「図式的」または「算術的」観点
ここでのヨガという用語は、経験的に使用される可能性のある一種の「メタ理論」を意味します。ミシェル・レイノーは、他の用語「アリアドネの糸」と「哲学」を効果的な同義語として書いています。[87]
グロタンディークは、これらのテーマのうち、範囲が最も広いのはトポイであると書いている。トポイは代数幾何学、位相幾何学、算術を統合するからである。最も広範囲に展開されたテーマはスキームであり、これは他の 8 つのテーマ (1、5、12 を除くすべて) の「卓越した」フレームワークであった。グロタンディークは、最初と最後のテーマである位相テンソル積と正則配置は、他のものよりも規模が小さかったと書いている。位相テンソル積は、さらなる展開のインスピレーションの源というよりもツールの役割を果たしていたが、正則配置は、それに専念する数学者の生涯では尽きることはないと彼は予想した。彼は、最も深いテーマは、モチーフ、遠アーベル幾何学、ガロア-タイヒミュラー理論であると信じていた。[88]
影響
グロタンディークは20世紀で最も偉大な数学者であると多くの人に考えられています。[11]死亡記事でデイヴィッド・マンフォードとジョン・テイトは次のように書いています。
20世紀を通じて数学はますます抽象的かつ一般化していったが、この傾向の最大の達人はアレクサンダー・グロタンディークであった。彼のユニークなスキルは、不必要な仮説をすべて排除し、最も抽象的なレベルでその内部パターンが明らかになるまで深く領域を掘り下げ、そしてマジシャンのように、古い問題の本質が明らかになった今、その解決方法がいかにして単純なものになるかを示したことであった。[11]
1970年代までに、グロタンディークの研究は代数幾何学や関連分野である層理論やホモロジー代数だけでなく[89] 、カテゴリカル論理の分野でも影響力を持つようになった[90] 。
数学者ラヴィ・ヴァキルによれば、「数学の全分野がグロタンディークが構築した言語を話している。我々は彼が構築したこの大きな構造物に住んでいる。我々はそれを当然のことと思っている。建築家はいなくなったのだ」。同じ記事で、コリン・マクラティは「今日、多くの人々がグロタンディークの家に住んでいるが、それがグロタンディークの家だとは知らない」と述べている。[71]
幾何学
グロタンディークは代数幾何学の基礎を明らかにし、いくつかの注目すべき予想を証明するための数学的ツールを開発することで代数幾何学に取り組みました。代数幾何学は伝統的に、代数曲線や代数曲面などの幾何学的対象を、それらの対象に対する代数方程式の研究を通じて理解することを意味していました。代数方程式の特性は、環論の手法を使用して研究されます。このアプローチでは、幾何学的対象の特性はその関連する環の特性と関連しています。対象が定義される空間 (実空間、複素空間、射影空間など) は対象に外在的ですが、環は内在的です。
グロタンディークは、固有空間（「スペクトル」）とそれに伴う環を主な研究対象とすることで、代数幾何学に新たな基礎を置いた。そのために、彼は、非公式には空間のすべての開集合に可換環が関連付けられている位相空間と考えることができるスキームの理論を開発した。スキームは、現代の代数幾何学の実践者にとって基本的な研究対象となっている。スキームを基礎として使用することで、幾何学は他の分野からの技術的進歩を吸収することができた。[91]
彼が古典的リーマン・ロッホ定理を一般化することで、複素代数曲線の位相的性質をその代数的構造に関連付け、現在では彼の名を冠して「グロタンディーク・ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホ定理」と呼ばれている。この定理を証明するために彼が開発したツールは、物体を環と関連付けることで物体の位相的性質を探求する代数的および位相的なK理論の研究の始まりとなった。 [92]ボン実験室でグロタンディークの考えに直接触れた後、ミヒャエル・アティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルッフによって位相的K理論が確立された。[93]
コホモロジー理論
グロタンディークは代数的手法を用いて位相的対象を研究する新しいコホモロジー理論を構築し、代数的数論、代数的位相幾何学、表現論の発展に影響を与えた。このプロジェクトの一環として、点集合位相の圏論的一般化であるトポス理論を創案し、集合論や数理論理学の分野に影響を与えた。[89]
ヴェイユ予想は、 1940年代後半に数論幾何学における一連の数学的問題として定式化された。これらは、代数曲線または高次元多様体上の点の数に関する局所ゼータ関数と呼ばれる解析的不変量の性質を記述する。グロタンディークによるℓ進エタールコホモロジーの発見は、ヴェイユコホモロジー理論の最初の例であり、ヴェイユ予想の証明への道を開き、最終的には1970年代に彼の学生ピエール・ドリーニュによって完成された。[92]グロタンディークの大規模なアプローチは「先見の明のあるプログラム」と呼ばれている。[94] ℓ進コホモロジーはその後、ラングランズプログラムへの応用とともに、数論学者にとって基本的なツールとなった。[95]
グロタンディークのモチーフの予想理論は、「ℓ進」理論となることを意図していたが、素数「ℓ」を選択しなかった。これはヴェイユ予想への意図された道筋を提供しなかったが、代数的K理論、モチーフ的ホモトピー理論、モチーフ的積分における現代の発展の背景となっている。 [ 96]この理論、ダニエル・キレンの研究、およびグロタンディークのチャーン類の理論は、位相的アイデアの別の代数的類似物である代数的コボルディズムの理論の背景であると考えられている。[97]
カテゴリー理論
グロタンディークは、様々な数学的構造にまたがる普遍的性質の役割を重視したため、圏論は数学全般を体系化する原理として主流となった。圏論の用途の1つとして、多くの異なる数学体系に見られる類似の構造や技法を記述するための共通言語を作成するという点が挙げられる。[98]彼のアーベル圏の概念は、現在ではホモロジー代数の基本的な研究対象となっている。[99]圏論という独立した数学分野の出現は、意図的ではないものの、グロタンディークの影響によるものとされている。[100]
大衆文化において
プエルトリコ系コスタリカ人作家カルロス・フォンセカの小説『Colonel Lágrimas』（英語ではColonel Tears ）はグロタンディークを題材としている。 [101]
ベンジャミン・ラバトゥットの著書『世界を理解するのをやめるとき』では、グロタンディークの業績と生涯に1章を割き、日本の数学者望月新一に言及しながらグロタンディークの物語を紹介しています。この本は科学的探究の世界を軽くフィクション化したもので、全米図書賞の最終候補にもなりました。[102]
コーマック・マッカーシーの『パッセンジャー』とその続編『ステラ・マリス』では、主人公の一人がグロタンディークの弟子である。[103] [104]
彼を称えて「グロタンディーク研究所」が設立された。[105]
出版物
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参照
- ∞-群
- λリング
- AB5カテゴリー
- アーベルカテゴリ
- アクセス可能なカテゴリ
- 代数幾何学
- 代数スタック
- 近似特性 – 数学的概念
- バルソッティ・テイトグループ
- チャーンクラス
- 結晶（数学） - 特定の繊維カテゴリの直交断面
- 結晶コホモロジー – 基本体上のスキームに対するヴェイユコホモロジー理論。その値は基本体上のウィットベクトルの環上のモジュールであり、ザリスキー開集合を分割されたべき構造を持つザリスキー開集合の無限小厚化に置き換えます。
- デルタ関数
- デリバター – ホモロジー代数の提案された枠組み
- 派生カテゴリ – ホモロジー構成
- 降下（数学）
- デヴィサージュ
- DF空間 – 特殊局所凸空間のクラス
- ダンフォード・ペティス特性
- 消去可能な関数
- 素晴らしい指輪
- 繊維圏 – 圏論における概念
- 形式的に滑らかな地図
- 基本群
- 基本的なグループスキーム
- ゴレンシュタイン環 – 可換代数における局所環
- グロタンディークの東北論文 – アレクサンダー・グロタンディークによる 1957 年の数学論文
- K理論
- ヒルベルトスキーム
- ホモトピー仮説
- 無限小コホモロジー – グロタンディーク (1966) によって導入された代数多様体のコホモロジー理論
- アレクサンダー・グロタンディークにちなんで名付けられたものの一覧
- 局所コホモロジー – 代数幾何学の概念
- 中井予想
- モジュライスキーム – スキームのグロタンディークカテゴリにおけるモジュライ空間
- 動機（代数幾何学） – コホモロジー理論を統一するための構造
- 原子力オペレーター
- 核宇宙
- パラファクタル局所環
- 射影テンソル積
- 固有写像 – 代数幾何学において、代数多様体の固有写像の類似物
- スタックの追求 – 数学の重要なテキスト
- 準有限射
- 引用スキーム
- ラマヌジャン・サミュエル定理 – 局所環の因子が主因子となるための条件
- スキーム（数学）
- セクション予想
- 半安定アーベル多様体
- 層コホモロジー
- スタック（数学）
- 代数的サイクルに関する標準的な予想
- プログラムのスケッチ
- タンナキアン形式主義
- 絶対純度の定理
- 形式関数に関する定理
- 超自然的空間
- ヴェイユ予想
- 代数曲線上のベクトル束
- ザリスキの主定理
注記
- ^ ピエール・カルティエの証言によると、彼の母親はユダヤ系ドイツ人であったとされている。「彼の人生について私が知っていることは、グロタンディーク自身から得たものだ」[15]
- ^ルーエルは 力学系におけるストレンジアトラクターの概念を発明し、オランダの数学者フロリス・タケンスとともに1970年代に乱流の新しいモデルを生み出した。
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外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、アレクサンダー・グロタンディークに関連するメディアがあります。
Wikiquote にアレクサンダー・グロタンディークに関する引用があります。
- https://www.grothendieckcircle.org は、アレクサンドル・グロタンディークの生涯と作品を紹介するウェブサイトです。
- オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「アレクサンダー グロタンディーク」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
- 数学系譜プロジェクトのアレクサンダー・グロタンディーク
- グロタンディークセミナーは数学だけでなくグロタンディークの見解に関する巡回セミナーです
- グロタンディークサークル、数学と伝記の情報、写真、彼の著作へのリンクのコレクション
- 「Pursuing Stacks」の起源: これは、1991 年まで続いたバンガーの Ronnie Brown および Tim Porter との英語での文通に応えて「Pursuing Stacks」が書かれた経緯を説明したものです。Alexander Grothendieck: some recollections も参照してください。
- レコルトとセマイユ
- 「レコルトとセマイユ」、スペイン語訳
- 「歌の鍵盤」、フランス語原文とスペイン語訳
- 「La Clef des Songes」の英語要約
- 2009 年に IHES でヴィンフリート・シャルラウが行った、グロタンディークの生涯の写真を交えた講義のビデオ
- 生物学者にスキームを説明できるか —デイヴィッド・マンフォードとジョン・テイトによるグロタンディークの伝記
- アーカイブ グロタンディーク
- 「アレクサンダー・グロタンディークとは誰か？」、ウィンフリート・シャルラウ、Notices of the AMS 55(8)、2008年。
- 「アレクサンダー・グロタンディーク：名前だけが知られる国」ピエール・カルティエ、Notices of the AMS 62(4)、2015年。
- アレクサンドル・グロタンディーク 1928–2014、第1部、AMSの通知63(3)、2016年。
- A. グロタンディーク、マテオ・カルモナ著
- レ・アーカイブ・インサイサブル・d・アレクサンドル・グロタンディーク
- クタテラゼSS反逆の天才：アレクサンダー・グロタンディークを偲んで
- アレクサンドル グロタンディーク 数学アン カテドラル ゴシック
- レ・アーカイブ・インサイサブル・d・アレクサンドル・グロタンディーク