小数

十進法（基数10、10進法、10進法とも呼ばれる）は、10を基数（ベース）とする数体系です。十進法は、整数と非整数を表すための世界標準です。十進法で数を表す方法は、しばしば十進表記と呼ばれます。^[¹^]現在、最も一般的な十進法は、位置記数法であるヒンドゥー・アラビア数字体系です。ただし、ローマ数字や中国数字のような、位置記数法ではない基数10体系もあります。

十進数（単にdecimalまたは、あまり正確ではないがdecimal numberとも呼ばれる）は、一般的に、十進数表記における数値の表記を指します。整数でない小数は、小数点区切り記号（通常は "." または ","、例えば $25.9703$ または $3.1415$ ）で識別できます。^{[ 2 ]}英語では、 decimal という単語は、小数点区切り記号の後の数字を指すことが多く、例えば " $3.14$ is the approximation of $π$ to two decimals " または " two decimal places " のように使われます。

有限長の小数で正確に表せる数は、小数分数と呼ばれます。つまり、 $a$ $/ 10$ $n$ の形の分数で、 $a$ は整数、 $n$ は非負整数です。小数分数は、整数と小数部分の加算によっても得られます。結果として得られる和は、小数と呼ばれることもあります。

小数は、実数を近似するためによく用いられます。小数点以下の桁数を増やすことで、新しい桁を計算する方法さえあれば、近似誤差をいくらでも小さくすることができます。科学分野では、一般的に、与えられた小数点以下の桁数は、量がどの程度の精度で知られているかを示す指標となります。例えば、質量が1.32ミリグラムと与えられた場合、実際の質量は1.315ミリグラムから1.325ミリグラムの間にあると合理的に確信できることを意味しますが、1.320ミリグラムと与えられた場合は、1.3195ミリグラムから1.3205ミリグラムの間にある可能性が高いことを意味します。純粋数学でも同様です。例えば、22の平方根を小数点以下2桁まで計算すると答えは4.69になりますが、3桁まで計算すると答えは4.690になります。 4.69と4.690は同じ実数であるにもかかわらず、末尾の余分な0には意味がある。

原則として、任意の実数の小数展開は、小数点を超えて必要なだけ実行できます。展開が残りのすべての桁がゼロになる点に達した場合、余りを省略することができ、そのような展開は有限小数と呼ばれます。循環小数は、ある桁以降、同じ桁の並びが無限に繰り返される無限小数です (例: $5.123144144144144... = 5.123 144$ )。^{[ 3 ]}無限小数は、循環小数であるか、または有限個の非ゼロの桁を持つ場合に限り、2 つの整数の商である有理数を表します。

起源

古代文明の多くの数字体系は、おそらく両手に10本の指があり、人々が指を使って数え始めたため、10とその累乗を使って数を表現しています。例としては、まずエジプト数字、次にブラーフミー数字、ギリシャ数字、ヘブライ数字、ローマ数字、中国数字などがあります。^{[ 4 ]}これらの古い数字体系では、非常に大きな数を表現するのは難しく、大きな数を乗算または除算できるのは最高の数学者だけでした。これらの困難は、整数を表すためのヒンドゥー・アラビア数字体系の導入によって完全に解決されました。この体系は、十進分数または十進数と呼ばれるいくつかの非整数数を表現するように拡張され、十進数体系を形成しています。^[⁴^]

十進表記

数字を書く場合、十進法では通常、10 桁の数字、小数点、負の数の場合はマイナス記号「−」を使用します。アラビア数字の10桁は 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 です。[ 5 ]小数点区切り記号は、多くの^国(主に英語圏⁾ではドット「.」、^[ 6 $]$ 他の^国^では^コンマ「 $,$ 」です。^[²^]

非負の数を表すには、10進数には以下が含まれます。

（有限の）数字列（例えば「2017」）で、その数列全体が整数を表す場合：
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
または、2つの数字列を区切る小数点記号（例：「20.70828」）

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

。

$m > 0$ の場合、つまり最初の数列に少なくとも 2 桁が含まれている場合、最初の桁 $a m$ はゼロではないと一般的に想定されます。状況によっては、左側に 1 つ以上の 0 があると便利な場合があります。これは、小数で表される値を変更しません。たとえば、 $3.14 = 03.14 = 003.14 です$ 。同様に、小数点の右側の最後の桁がゼロの場合、つまり $b n = 0$ の場合、それを削除できます。逆に、小数点の後に末尾のゼロを追加しても、表される数値は変わりません。^{[注 1 ]}たとえば、 $15 = 15.0 = 15.00$ および $5.2 = 5.20 = 5.200 です$ 。

負の数を表すには、 $m$ $の$ 前にマイナス記号を付けます。

数字 $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ 数を表す

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

。

10進数の整数部とは、小数点記号の左側に書かれた整数のことです（切り捨ても参照）。負でない10進数の場合、整数部は小数点以下の最大の整数です。小数点記号の右側の部分は小数部と呼ばれ、数値とその整数部の差に等しくなります。

数値の整数部分がゼロの場合、特に計算においては、整数部分が省略されることがあります（例えば、 $0.1234$ ではなく .1234 のように $）$ 。しかし、通常の文章では、小数点と他の句読点との混同を避けるため、このような表記は一般的に避けられます。

簡単に言うと、各桁が数値に占める割合は、その桁が数値の中でどの位置にあるかによって決まる。

小数

小数（特に明示的な分数を含む文脈では、 小数と呼ばれることもある）は、分母が10のべき乗である分数として表すことができる有理数である。^[⁷^]例えば、小数表現 $0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159$ 分数 $8 / 10、1489$ / $100、79$ $/$ $100000$ 、 $+$ $1618$ $/$ $1000$ $、$ $+$ $314159$ $/$ $100000$ $は$ 、 $小数$ を $表し$ $ます$ $。$ 有限桁の小数で表せない分数の例としては、 $3$ $が$ $10$ $の$ $べき乗$ $で$ は $ない$ $1/3$ $が$ $あり$ $ます$ $。$

より一般的には、区切り文字（小数点またはコンマ）の後に $n$ 桁の小数は、分母が $10$ $n$ の分数を表し、その分子は区切り文字を取り除いた整数です。

したがって、ある数が小数であるのは、それが有限の小数表現を持つ場合に限る。

完全に約分された分数で表すと、小数は分母が2のべき乗と5のべき乗の積である数です。したがって、小数の最小分母は

1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots

小数を用いた近似値

小数では、すべての実数を正確に表現することはできません。しかし、任意の精度で実数を近似することは可能です。例えば、小数3.14159は $πを近似しており、誤差は$ ^10⁻⁵未満です。そのため、小数は科学、工学、そして日常生活において広く用いられています。

より正確には、任意の実数 $x$ と任意の正の整数 $n$ に対して、小数点以下が $n$ 桁以下の2 つの小数 $L$ と $u$ が存在し、 $L$ $\leq$ $x$ $\leq$ $u$ かつ $($ $u$ $-$ $L$ $) = 10$ $-$ $n$ となります。

数値は、多くの場合、測定の結果として得られます。測定には既知の上限を持つ測定不確かさが伴うため、絶対測定誤差が $10$ $-$ $n$ で上限が定められている限り、測定結果は小数点以下 $n$ 桁の小数で適切に表現できます。実際には、測定結果は誤差範囲を示す小数点以下の桁数で示されることがよくあります。たとえば、0.080 と 0.08 は同じ数値を表しますが、小数点以下の数字 0.080 は 0.001 未満の誤差を持つ測定を示し、数字 0.08 は 0.01 で上限が定められている絶対誤差を示します。どちらの場合も、測定量の真の値は、たとえば 0.0803 または 0.0796 になる可能性があります (有効数字も参照)。

無限小数展開

実数 $x$ と整数 $n \geq 0$ に対して、 $[x] n$ $を、小数点以下がちょうどn$ 桁である $x$ 以下最大の数の (有限) 十進展開とします。d $i$ $を$ $[$ $x$ $]$ $i$ の最後の桁とします。 $[$ $x$ $]$ $n は$ $[$ $x$ $]$ $n$ $-1$ の右側に $d$ $n を$ 追加することで得られることは容易にわかります。このようにして、次のようになります。

[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n -1 d n

、

$[x] n -1$ と $[x] n$ の差は

\left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}

、

$これは、 d n = 0$ の場合は 0 となり、 $n が$ 無限大に近づくにつれて任意に小さくなります。極限の定義によれば、 $x は$ $n が$ 無限大に近づくときの $[x] n$ の極限です。これは次のように記述されます。 ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$ または

x = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n ...

、

$これは、 x$ の無限小数展開と呼ばれます。

逆に、任意の整数 $[x] 0$ および任意の数字列に対して ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$ （無限）式 $[x] 0 . d 1 d 2 ... d n ...$ は、実数 $x$ の無限小数展開です。この展開は、 $n$ が十分に大きい場合（ある自然数 $N$ より大きいすべての $n$ について）、すべての $d$ $n$ が 9 に等しくなく、すべての $d$ $n が$ 0 に等しくない場合に一意です。

$n$ $>$ $N$ のすべての $d n$ が9 に等しく、 $[$ $x$ $]$ $n$ $= [$ $x$ $]$ $0$ $.$ $d$ $1$ $d$ $2$ $...$ $d$ $n$ である場合、数列の極限は ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$ $は、最後の桁が 9 でない数字 ( d N)$ $をd N + 1$ に置き換え、それ以降の 9 をすべて 0 に置き換えることによって得られる小数です( 0.999...を参照)。

このような小数、すなわち $n$ $>$ $N$ の場合 $d n = 0は、$ $d$ $N を$ $d$ $N$ $- 1$ に置き換え、それ以降のすべての 0 を 9 に置き換えることによって、同等の無限小数展開に変換できます( 0.999...を参照)。

要約すると、小数でないすべての実数は、一意の無限小数展開を持ちます。各小数には、正確に 2 つの無限小数展開があります。1 つは、上記の $[x] n$ の定義によって得られる、ある桁以降に 0 のみを含むもの、もう 1 つは、小数点以下がちょうどn 桁である $x$ より小さい最大の数として $[x] n$ を定義することによって得られる、ある桁以降に $9のみを含むものです。$

有理数

長除法では、有理数の無限小数展開を計算できます。有理数が小数である場合、除算は最終的に停止し、小数が得られます。この小数は、無限に多くのゼロを追加することで無限展開にすることができます。有理数が小数でない場合、除算は無限に続く可能性があります。ただし、連続する余りはすべて除数より小さいため、可能な余りの数は有限であり、ある桁以降は、商の中で同じ数字の並びが無限に繰り返されます。つまり、循環小数になります。たとえば、

1 81 = 0.012345679 012 ... (グループ 012345679 が無限に繰り返される)。

その逆もまた真である。ある数の十進数表現において、同じ数字の並びが無限に繰り返される場合、その数は有理数である。

または、分子と分母の両方を 6 で割ると、⁠ 692 / 1665 ⁠となります。

小数計算

現代のコンピュータのハードウェアおよびソフトウェアシステムのほとんどは、内部的にバイナリ表現を一般的に使用しています（ただし、ENIACやIBM 650などの初期のコンピュータの多くは、内部的に10進数表現を使用していました）。^{[ 8 ]} コンピュータ専門家による外部使用のために、このバイナリ表現は、関連する8進数または16進数システムで表示されることがあります。

しかし、ほとんどの場合、バイナリ値は人間への表示や人間からの入力のために、対応する10進数値に変換されます。コンピュータプログラムはデフォルトでリテラルを10進数で表現します。（例えば、123.1はコンピュータプログラムではそのように記述されますが、多くのプログラミング言語ではこの数値を正確にエンコードすることはできません。）

コンピュータのハードウェアとソフトウェアの両方で、10 進数値を格納したり算術演算を行ったりするために、実質的に 10 進数である内部表現も使用されます。多くの場合、この算術演算は、特にデータベースの実装において、バイナリ符号化 10 進数 (BCD )の何らかのバリアントを使用してエンコードされたデータに対して行われます^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} 。しかし、他の 10 進数表現も使用されています ( IEEE 754 浮動小数点演算規格の新しい改訂版などで使用されている 10 進浮動小数点など)。^[¹¹^]

コンピュータでは、小数部分の桁数が固定されている値を加算（または減算）した結果の小数部分が常に同じ精度で計算されるように、10進数演算が使用されます。これは、例えば帳簿管理のために最小通貨単位の整数倍を結果に必要とする金融計算において特に重要です。これは、2進数では不可能です。なぜなら、2進数の負のべき乗は、 $10$ 有限のバイナリ小数表現がなく、一般的に乗算（または除算）は不可能です。^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}正確な計算については、任意精度演算を参照してください。

歴史

多くの古代文化では、人間の両手に10本の指があることから、10を基数とした数字で計算が行われていました。^{[ 14 ]}インダス文明（紀元前3300年頃～1300年頃）で使用されていた標準的な重量は、1/20、1/10、1/5、1/2、1、2、5、10、20、50、100、200、500の比率に基づいており、彼らの標準的な定規であるモヘンジョダロ定規は10等分されていました。^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}紀元前 3000 年頃から見られるエジプトの象形文字は、純粋な十進法を使用しており、^{[ 18 ]}ミノア人の線文字 A (紀元前1800 ～ 1450 年頃) ^[¹⁹^]^[²⁰^]やミケーネ人の線文字 B (紀元前 1400 ～ 1200 年頃)も同様である。中央ヨーロッパのウネティツェ文化(紀元前 2300 ～ 1600 年) は、貿易で標準化された重量と十進法を使用していた。^[²¹^]古代ギリシャの数字体系も、ローマ数字と同様に、中間基数 5 を含む 10 の累乗を使用していた。^[²²^]特筆すべきは、博学者アルキメデス（紀元前287～212年頃）が、 10 ⁸に基づく十進位取り記数法を砂計算書で発明したことである。^[²²^]^[²³^]ヒッタイトの象形文字（紀元前15世紀以降）も厳密に十進法であった。^[²⁴^]

エジプトのヒエラティック数字、ギリシャ文字の数字、ヘブライ文字の数字、ローマ数字、中国数字、初期のインドのブラーフミー数字はすべて非位取り十進法であり、多数の記号を必要とした。たとえば、エジプト数字では、10、20～90、100、200～900、1,000、2,000、3,000、4,000、10,000に対して異なる記号が使用された。^{[ 25 ]} 世界最古の位取り十進法は中国の棒計算であった。^{[ 26 ]}

小数の歴史

紀元前2世紀から、中国の長さの単位の一部は10の倍数に基づいていました。紀元3世紀までに、これらの計量単位は位置に関係なく長さの小数部分を表すために使用されました。^{[ 27 ]}長さの小数部分を用いた計算は、紀元3～5世紀の孫子算経に記述されているように、位置計数棒を使用して行われました。紀元5世紀の数学者祖崇之は $π$ の7桁の近似値を計算しました。秦九韶の著書『九節数学論』（1247年）は、計数棒を使用して、測定値ではなく数値を表す小数を明示的に記述しています。^[²⁸^]数値0.96644は次のように表されます。

寸

。

中国科学史家は、十進分数の概念が中国から中東に伝わった可能性があると推測している。^{[ 26 ]}

アル・フワーリズミーは西暦9世紀初頭に、分子を上に、分母を下に書き、横棒のない分数をイスラム諸国に導入した。この形式の分数は数世紀にわたって使用され続けた。^{[ 26 ]}^{[ 29 ]}

位取り小数法は、10 世紀にアラブの数学者アブル・ハサン・アル・ウクリディシが著した書物に初めて登場する。 ^{[ 30 ]}ユダヤ人の数学者イマヌエル・ボンフィルスは1350 年頃に小数法を用いたが、それを表す記法は開発しなかった。^{[ 31 ]}ペルシャの数学者ジャムシード・アル・カシは15 世紀にこの理論を大きく発展させた。アル・カシは著書『算術の鍵』（ミフタフ・アル・ヒサーブ）の中で、小数を完全な体系として体系的かつ包括的に扱った最初の例を示し、ヨーロッパにおける同様の発展に 175 年近く先んじた。^{[ 32 ]}

現代ヨーロッパの十進法表記の先駆けは、16世紀にシモン・ステヴィンによって導入された。ステヴィンの影響力のある小冊子『De Thiende』（「十分の一の技術」）は、1585年にオランダ語で初版が出版され、フランス語に翻訳されて『La Disme』となった。^{[ 33 ]}

ジョン・ネイピアは、1620年に死後出版された対数表の作成に関する著書の中で、小数の整数部分と小数部分を区切るためにピリオド（.）を使用することを導入した。^{[ 34 ]}^{： p.8、アーカイブp.32}

自然言語

インドでは、10 種類の記号を用いてあらゆる自然数を表現する方法が生まれた。 ^{[ 35 ]}いくつかのインドの言語は、単純な十進法を示している。ドラヴィダ語族の言語では、10 から 20 までの数は、10 への加算という規則的なパターンで表現される。^{[ 36 ]}

ハンガリー語もまた、単純な十進法を採用しています。10から20までのすべての数字は規則的に表現され（例えば、11は「tizenegy」と表され、文字通り「10分の1」となります）、20から100までの数字も同様です（23は「huszonhárom」と表され、「20分の3」となります）。

中国語には、各位（10十、100百、1000千、10,000万）に単語があり、11 はten-one、23 はtwo-ten-threeと表され、89,345 は 8 (万)万9 (千)千3 (百)百4 (十)十5と表される、単純な十進法が見られ、ベトナム語にも多少の不規則性はあるものの存在します。日本語、韓国語、タイ語は、中国の十進法を取り入れています。十進法を持つ他の多くの言語では、10 から 20 までの数と十の位に特別な単語があります。たとえば、英語では 11 は「eleven」であり、「ten-one」や「one-teen」ではありません。

ケチュア語やアイマラ語などのインカの言語は、11を1の位で表し、23を3の位で表すなど、ほぼ単純な十進法を持っています。

一部の心理学者は、数字の英語名の不規則性が子供の数える能力を阻害する可能性があると示唆している。^{[ 37 ]}

その他の基地

一部の文化では、現在も、あるいは過去に、別の数の基数を使用している。

マヤ文明などのコロンブス以前のメソアメリカ文化では、20進法が用いられていた（おそらく20本の指とつま先すべてを使うことに基づいていた）。
カリフォルニアのユキ語とメキシコのオト・パメア語^[³⁸^]は、話者が指そのものではなく指の間のスペースを使って数を数えるため、 8進法（基数-8）システムを採用している。^[³⁹^]
ゲルマン語の最も初期の痕跡に非十進法の基数が存在することは、その数が十進法であることを意味する単語や注釈（「10 カウント」または「10 単位」と同源）の存在によって証明されています。これは、通常の数え方が十進法でない場合は当然のことですが、十進法の場合は珍しいことです。[40][41] この数え方が知られている場所では、「長い百^{」 = 120}^と「長い千」= 1200 に基づいています。「長い」などの記述は、キリスト教徒とともに「小さな百」= 100 が現れた後にのみ現れます。EVゴードンの『古ノルド語入門』^[⁴²^]には、このシステムに属する数の名前が記載されています。「180」と同族の表現は200と訳され、「200」と同族の表現は240と訳される。グッドア^[⁴³^]は中世スコットランドにおけるロングハンドレッドの使用法を詳しく述べており、繰り上がりがi C（つまり100）を120などと意味する計算例を挙げている。一般の人々がそのような数字に出くわしても驚かなかったということは、かなり一般的な使用法であったことを示唆している。また、ポンドの長い数ではなく、ストーンやポンドなどの中間単位を使用することで、100のような数字を避けることも可能である。グッドアは、拡張スコアを使用することで100を避けるvii scoreのような数字の例を挙げている。WHスティーブンソンによる「ロングハンドレッドとイングランドでの使用法」に関する論文もある。^[⁴⁴^]^[⁴⁵^]
チュマシャン諸語の多くまたはすべては、元々は4進法の数体系を使用しており、その体系では数字の名前は4と 16の倍数に従って構成されていた。^{[ 46 ]}
多くの言語^{[ 47 ]}は、グマティ語、ヌングブユ語^[⁴⁸^]、クウルン・コパン・ヌート語^[⁴⁹^]、サラベカ語など、 5進法（基数5）の数体系を使用しています。これらのうち、グマティ語は、25が5の上位グループである、真の5-25言語として知られている唯一の言語です。
ナイジェリア人の中には12進法を使用している人もいる。^{[ 50 ]} インドやネパールの一部の小さなコミュニティも、言語からわかるように12進法を使用していた。^{[ 51 ]}
パプアニューギニアのフリ語は 15進数であると報告されている。^[⁵²^] Nguiは15を意味し、ngui kiは15×2=30を意味し、ngui nguiは15×15=225を意味する。
カコリとしても知られるウンブ・ウング語は、24進数であると報告されている。^{[ 53 ]}トカプは24を意味し、トカプ・タルは24×2＝48を意味し、トカプ・トカプは24×24＝576を意味する。
ンギティ語は 32進数体系と4進数サイクルを持つと報告されている。 ^{[ 47 ]}
パプアニューギニアのンドム語は 6進数であると報告されている。^[⁵⁴^] Merは6を意味し、mer an thefは6×2=12を意味し、nifは36を意味し、nif thefは36×2=72を意味する。

注記

↑場合によっては、余分なゼロは測定の精度を示すために使用されます。たとえば、「15.00 m」は測定誤差が1センチメートル（0.01 m）未満であることを示している可能性がありますが「15 m」は長さがおよそ15メートルであり、誤差が10センチメートルを超える可能性があることを意味する可能性があります。

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[7] 場合によっては、余分なゼロは測定の精度を示すために使用されます。たとえば、「15.00 m」は測定誤差が1センチメートル（0.01 m）未満であることを示している可能性がありますが「15 m」は長さがおよそ15メートルであり、誤差が10センチメートルを超える可能性があることを意味する可能性があります。

[1] ヨン、ラム・レイ。セ、アンティアン（2004 年 4 月）。儚い足音。世界科学。 268.土井：10.1142/5425。ISBN 978-981-238-696-02023年4月1日にオリジナルからアーカイブされました。2022年3月17日に取得。

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[3] 5.123 144の括弧(上線)は、「144」のシーケンスが無限に繰り返されることを示しています。5.123 144 144 144 144 ...。

[:0-4] 1 2ロックハート、ポール（2017）。算術。マサチューセッツ州ケンブリッジ、ロンドン、イングランド：ハーバード大学出版局ベルナップ・プレス。ISBN 978-0-674-97223-0。

[5] アラビア語圏など一部の国では数字に別の文字が使われています。

[6] Weisstein, Eric W. "Decimal" . mathworld.wolfram.com . 2020年3月18日のオリジナルからアーカイブ済み。 2020年8月22日取得。

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[15] ダンツィヒ、トビアス (1954)、数／科学の言語（第4版）、フリープレス（マクミラン出版）、12ページ、ISBN 0-02-906990-4{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

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[20] グラハム・フレッグ著『数字：その歴史と意味』、クーリエ・ドーバー出版、2002年、 ISBN 978-0-486-42165-0 、 50ページ

[21] ジョルジュ・イフラ: 1 から 0 まで。「数字の普遍的な歴史」、ペンギンブックス、1988 年、 ISBN 0-14-009919-0、213～218ページ（クレタ数字）

[22] クラウス、ハラルド。カッチャー、サブリナ (2017)。「Spangenbarrenhort Oberding: Zusammenfassung und Ausblick」。スパンゲンバレンホートオーバーディング。エルディング美術館。238 ～ 243ページ。ISBN 978-3-9817606-5-1。

[Greek_numerals-23] 1 2 「ギリシャ数字」。2019年7月21日にオリジナルからアーカイブ済み。2019年7月21日に取得。

[24] メニンガー、カール：ザールヴォルトとツィファー。アイネ・クルトゥゲシヒテ・デア・ザール、ヴァンデンフックとルプレヒト、3位。編、1979年、 ISBN 3-525-40725-4 、 150～153ページ

[25] ジョルジュ・イフラ: 1 から 0 まで。「数字の普遍的な歴史」、ペンギンブックス、1988 年、 ISBN 0-14-009919-0、218頁以降。（ヒッタイト象形文字体系）

[26] ラム・レイヨン他著『儚い足跡』137-139ページ

[Lam-27] 1 2 3 Lam Lay Yong、「ヒンドゥー・アラビア算術と伝統的な中国算術の発展」、中国科学、1996年、38ページ、Kurt Vogel記法

[jnfractn1-28] ジョセフ・ニーダム(1959)「19.2 小数、計量、および大きな数の取り扱い」『中国の科学と文明』第3巻「数学と天地の科学」ケンブリッジ大学出版局、82-90頁。

[29] ジャン＝クロード・マルツロフ著『中国数学史』、シュプリンガー社、1997年、 ISBN 3-540-33782-2

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[Berggren-31] Berggren, J. Lennart (2007). "中世イスラムにおける数学". Katz, Victor J. (編) 『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学：資料集』所収。プリンストン大学出版局。530頁。ISBN 978-0-691-11485-9。

[32] Gandz, S. : イマヌエル・ボンフィルス・オブ・タラスコンによる小数部の発明と指数計算の応用 (c. 1350), Isis 25 (1936), 16–45.

[33] ラシェド、ロシュディ (1994).アラビア数学の発展：算術と代数の間. クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ. p. 149.

[van-34] BL ファン・デル・ワールデン(1985)。代数の歴史。フワリズミからエミー・ネーターへ。ベルリン: Springer-Verlag。

[constructionIA-35] ネイピア、ジョン (1889) [1620]。『対数の素晴らしき規範の構築』。ウィリアム・レイ・マクドナルド訳。エジンバラ：ブラックウッド＆サンズ–インターネットアーカイブ経由。このようにピリオドで区切られた数では、ピリオドの後に書かれているものはすべて分数であり、その分母は1で、その後にピリオドの後の数字と同じ数の暗号が続きます。

[36] 「インドの数字」。古代インドの数学。

[37] 「付録：ドラヴィダ語族の同族語セット」、ウィクショナリー、無料辞書、2024年9月25日、 2024年11月9日取得

[38] Azar, Beth (1999). 「英語の単語は数学のスキル開発を妨げる可能性がある」 . APA Monitor . 30 (4). 2007年10月21日にオリジナルからアーカイブ済み。

[39] Avelino, Heriberto (2006). "パメ語の数体系の類型論とメソアメリカの言語領域としての限界" (PDF) . Linguistic Typology . 10 (1): 41– 60. doi : 10.1515/LINGTY.2006.002 . S2CID 20412558 . 2006年7月12日にオリジナルからアーカイブされた(PDF) 。

[40] Marcia Ascher。「民族数学：数学的アイデアの多文化的な視点」。カレッジ数学ジャーナル。JSTOR 2686959。

[41] McClean, RJ (1958年7月)、「ゲルマン語の数字に関する考察」、German Life and Letters、11 (4): 293–99、doi : 10.1111/j.1468-0483.1958.tb00018.x、ゲルマン語の一部には、十進法と二十進法が古代に融合した痕跡が見られる。。

[42] ヴォイルズ、ジョセフ（1987年10月）「前ゲルマン語および原ゲルマン語における基数詞」、英語・ゲルマン語文献学ジャーナル、86（4）：487–95、JSTOR 27709904 。

[43] ゴードンの『古ノルド語入門』、 2016年4月15日にWayback Machineにアーカイブ済み、 293ページ

[44] グッドアレ、ジュリアン（1994年11月）。「中世および近世スコットランドにおけるロングハンドレッド」。スコットランド考古学協会紀要。123 ：395–418。doi ： 10.9750 / psas.123.395.418。

[45] Stevenson, WH (1890). 「ロングハンドレッドとそのイングランドでの使用法」. Archaeological Review . 1889年12月: 313–22 .

[46] Poole, Reginald Lane (2006). 12世紀の財務省：1911年ミカエルマス学期にオックスフォード大学で行われたフォード講義。クラーク、ニュージャージー州：Lawbook Exchange。ISBN 1-58477-658-7OCLC 76960942

[47] 1819年頃にスペイン人司祭によって書き留められた、ベンチュレーニョ語の32までの数字のリストが現存している。 「チュマシャン数字」マディソン・S・ビーラー著、『ネイティブ・アメリカンの数学』、マイケル・P・クロス編（1986年）、 ISBN 0-292-75531-7。

[Hammarstrom_2010-48] 1 2ハマルストロム、ハラルド（2007年5月17日）。「数体系における希少性」。ヤン・ヴォールゲムート、マイケル・シソウ編『普遍性の再考：希少性が言語理論に与える影響』（PDF）。言語類型論への経験的アプローチ。第45巻。ベルリン：ムートン・デ・グリュイター（2010年出版）。 2007年8月19日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。

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[50] ドーソン、J.「オーストラリア先住民：ビクトリア州西部地区のいくつかの先住民部族の言語と習慣（1881年）」、p. xcviii。

[51] 松下修司 (1998).十進法と十二進法：2つの記数法の相互作用. 第2回AFLANG会議、1998年10月、東京. 2008年10月5日のオリジナルからアーカイブ。 2011年5月29日取得。

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[54] Bowers, Nancy; Lepi, Pundia (1975). "Kaugel Valley systems of reckoning" (PDF) . Journal of the Polynesian Society . 84 (3): 309– 24. 2011年6月4日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。

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起源