初等代数学

初等代数学は大学代数学とも呼ばれ、^[1]代数学の基本概念を網羅しています。しばしば算術と対比されます。算術は特定の数を扱いますが、^{[2]代数学は}変数（固定値のない量）を導入します。 ^[3]

この変数の使用には、代数記法の使用と、算術で導入された演算（加算、減算、乗算、除算など）の一般規則の理解が必要です。抽象代数とは異なり、初等代数は実数と複素数の領域外の代数構造には関係ありません。

代数方程式は、米国では中等学校や大学入門レベルで一般的に教えられており、^[4]算数の理解を深めるものです。量を表すために変数を使用すると、量間の一般的な関係を形式的かつ簡潔に表現できるため、より広範囲の問題を解決できます。科学と数学における多くの定量的な関係は、代数方程式として表現されます。

代数記法は、数式を書くための規則と慣例、および式の各部分について説明する際に使用する用語を記述します。たとえば、式には次の要素があります。 ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$

係数は、変数を乗算する数値、または数値定数を表す文字です（演算子は省略されます）。項は加数または被加数であり、係数、変数、定数、指数のグループであり、プラス演算子とマイナス演算子によって他の項と区切ることができます。^[9]文字は変数と定数を表します。慣例により、アルファベットの先頭の文字（例）は通常、定数を表すために使用され、アルファベットの末尾の文字（例およびz ）は変数を表すために使用されます。^[10]これらは通常、イタリック体で印刷されます。^[11]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle x,y}$

代数演算は、加算、減算、乗算、除算、累乗などの算術演算[ ^12]と同じように機能し、^[13]代数変数と項に適用されます。乗算記号は通常省略され、2つの変数または項の間にスペースがない場合、または係数が使用されている場合は暗黙的に使用されます。たとえば、は と書かれ、 と書かれることもあります。^[14]${\displaystyle 3\times x^{2}}$${\displaystyle 3x^{2}}$${\displaystyle 2\times x\times y}$${\displaystyle 2xy}$

通常、最も高いべき乗（指数）を持つ項は左側に書かれます。たとえば、はxの左側に書かれます。係数が 1 の場合、通常は省略されます（例、と書かれます）。^[15]同様に、指数（べき乗）が 1 の場合も（例、と書かれます）。^[16]指数が 0 の場合、結果は常に 1 になります（例、 は常に1に書き直されます）。^[17]ただし、 は定義されていないため、式に使用すべきではなく、指数に変数が使用される可能性のある式を簡略化する際には注意が必要です。 ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 1x^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 3x^{1}}$${\displaystyle 3x}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle 0^{0}}$

代数式では、文字と記号しか使用できない場合など、必要な書式設定が利用できない、または暗示できない場合に、他のタイプの表記法が使用されます。この例として、指数は通常、プレーンテキストやTeXマークアップ言語では上付き文字を使用して書式設定されますが、キャレット記号^は指数を表すため、「x^2」と表記されます。^{[18] [19]}これは、Luaなどの一部のプログラミング言語にも適用されます。Ada ^[20]、Fortran ^[21] 、Perl ^[22]、Python ^[23]、Ruby ^[24]などのプログラミング言語では、2つのアスタリスクが使用されるため、「x**2」と表記されます。多くのプログラミング言語と計算機では、単一のアスタリスクを使用して乗算記号を表し、^[25]明示的に使用する必要があります。たとえば、「3*x」と表記されます。 ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 3x}$

^{初等代数学は算術[26]}を基礎として拡張し、変数と呼ばれる文字を導入して一般的な（指定されていない）数を表します。これはいくつかの理由で有用です。

1. 変数は値がまだ分かっていない数値を表すこともあります。例えば、今日の気温Cが前日の気温Pより20度高い場合、この問題は代数的に次のように記述できます。^[27]${\displaystyle C=P+20}$
2. 変数を使うと、関係する量の値を指定せずに一般的な問題を記述することができます。 ^[4]たとえば、5分は秒に等しいと具体的に述べることができます。より一般的な（代数的な）記述では、秒数、mは分数であると述べることができます。${\displaystyle 60\times 5=300}$${\displaystyle s=60\times m}$
3. 変数は変化する可能性のある量の間の数学的な関係を記述することを可能にする。^[28]例えば、円の円周cと直径dの関係は次のように記述される。${\displaystyle \pi =c/d}$
4. 変数はいくつかの数学的性質を記述することを可能にする。例えば、加算の基本的な性質は可換性であり、加算される数の順序は重要ではないと述べている。可換性は代数的に次のように表現される。^[29]${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$

代数式は、算術演算（加算、減算、乗算、除算、累乗）の基本的な性質に基づいて評価および簡略化できます。たとえば、

• 追加された項は係数を使用して簡略化されます。たとえば、(3 は数値係数)のように簡略化できます。${\displaystyle x+x+x}$${\displaystyle 3x}$
• 乗算項は指数を使って簡略化されます。例えば、次のように表されます。${\displaystyle x\times x\times x}$${\displaystyle x^{3}}$
• 同類項は互いに加算されます。^[30]例えば、は と書きます。これは、 を含む項が互いに加算され、 を含む項が互いに加算されるためです。${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$${\displaystyle x^{2}+4ab}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle ab}$
• 括弧は分配法則を使って「掛け算」することができます。例えば、は次のように書くことができます。${\displaystyle x(2x+3)}$${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• 式は因数分解することができます。例えば、は両項を で割ることで次のように表すことができます。${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$${\displaystyle 3x^{2}}$${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

等式は、等号記号=（イコール記号）を使用して2つの式が等しいことを表します。^{[31]最もよく知られている等式の1つは、}直角三角形の辺の長さに関するピタゴラスの法則を説明しています。^[32]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

この式は、直角の反対側の辺である斜辺の長さの二乗を表す が、長さがaとbで表される他の 2 辺の二乗の和 (加算) に等しいことを示しています。 ${\displaystyle c^{2}}$

方程式とは、2 つの式が同じ値を持ち、等しいという主張です。方程式の中には、関係する変数のすべての値に対して成り立つもの ( など) があります。このような方程式は恒等方程式と呼ばれます。条件付き方程式は、関係する変数の一部の値に対してのみ成り立ちます。たとえば、 はおよびに対してのみ成り立ちます。方程式を成り立たせる変数の値が方程式の解であり、方程式を解くことで求めることができます。 ${\displaystyle a+b=b+a}$${\displaystyle x^{2}-1=8}$${\displaystyle x=3}$${\displaystyle x=-3}$

方程式のもう 1 つのタイプは不等式です。不等式は、方程式の一方の辺がもう一方の辺より大きいか小さいかを示すために使用されます。このために使用する記号は、は「より大きい」を表し、は「より小さい」を表します。標準的な等式と同様に、数値を加算、減算、乗算、または除算できます。唯一の例外は、負の数で乗算または除算する場合、不等号記号を反転する必要があることです。 ${\displaystyle a>b}$${\displaystyle >}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle <}$

定義により、等式は同値関係であり、反射的（すなわち）、対称的（すなわち ならば）、推移的（すなわちかつならば）であることを意味する。^[33]また、2つの記号が等しいものに対して使用される場合、最初の記号についての任意の真のステートメントで1つの記号を他の記号に置き換えてもステートメントが真のままであるという重要な特性も満たしている。これは次の特性を意味する。 ${\displaystyle b=b}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b=a}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b=c}$${\displaystyle a=c}$

• かつかつ;​​${\displaystyle a=b}$${\displaystyle c=d}$${\displaystyle a+c=b+d}$${\displaystyle ac=bd}$
• ならば、そして;${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a+c=b+c}$${\displaystyle ac=bc}$
• より一般的には、任意の関数fに対して、であれば となります。${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$

「より小さい 」と「より大きい」の関係は推移性を持つ：^[34]${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$

• ならば     、     ​   ​${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c}$${\displaystyle a<c}$
• もし     そして     ならば   ；^[35]${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c<d}$${\displaystyle a+c<b+d}$
• ならば     、     ​   ​${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle ac<bc}$
• ならば     、   。   ​   ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle c<0}$${\displaystyle bc<ac}$

不等式を逆にすると、とを入れ替えることができる。^[36]例えば： ${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$

• ${\displaystyle a<b}$は以下と同等である${\displaystyle b>a}$

置換とは、式の中の項を置き換えて新しい式を作ることです。式a * 5でa を3 に置き換えると、意味が15の新しい式3*5が作成されます。文の項を置換すると、新しい文が作成されます。元の文が項の値に関わらず真であれば、置換によって作成された文も真です。したがって、定義は記号で作成し、置換によって解釈することができます。 がaとそれ自身の積としての の定義を意味する場合、 aを3に置き換えると、この文の読者は3 × 3 = 9を意味することがわかります。項の値に関わらず文が真かどうかは、多くの場合不明です。また、置換によって、可能な値に対する制限を導出したり、文がどのような条件で成り立つかを示したりすることができます。たとえば、x + 1 = 0という命題において、x を1に置き換えると、 1 + 1 = 2 = 0となり、これは偽です。つまり、x + 1 = 0ならばx は1にはなり得ないということです。 ${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$${\displaystyle a^{2},}$${\displaystyle 3^{2}}$

xとy が整数、有理数、または実数の場合、xy = 0はx = 0またはy = 0を意味します。 abc = 0を考えます。次に、x をaに、y をbcに代入すると、 a = 0またはbc = 0 であることがわかります。次に、 x = b、y = cと再度代入すると、 bc = 0の場合はb = 0またはc = 0 であることがわかります。したがって、abc = 0の場合はa = 0または ( b = 0またはc = 0 ) となり、abc = 0はa = 0またはb = 0またはc = 0を意味します。

元の事実が「 ab = 0 はa = 0またはb = 0を意味する」と述べられていた場合、「 abc = 0を検討してください」と言うときに、置換時に用語の矛盾が生じます。それでも、上記のロジックは、a = aおよびb = bcとする代わりに、 aをaに、 bcをbに置き換えると(そして bc = 0 の場合は、 a を b に、 b を c に置き換えると)、 abc = 0 の場合、 a = 0またはb = 0またはc = 0になることを示すのに依然として有効です。これは、ステートメント内の項を置換することは、ステートメントの項を置換された項と等しくすることと常に同じではないことを示しています。この状況では、元の方程式のa項に式a を代入すると、置換されたa はステートメント「ab = 0はa = 0またはb = 0を意味する」のaを参照しないことは明らかです。

次のセクションでは、遭遇する可能性のある代数方程式のいくつかの種類の例を示します。

線形方程式は、プロットすると直線を描くことからそのように呼ばれています。解くのが最も簡単な方程式は、変数が 1 つだけの線形方程式です。線形方程式には定数と指数のない単一の変数のみが含まれます。例として、次の式を考えてみましょう。

言葉による問題: 子供の年齢を 2 倍にして 4 を加えると、答えは 12 になります。子供は何歳ですか?

同等の式：xは子供 の年齢を表す${\displaystyle 2x+4=12}$

この種の方程式を解くには、方程式の両辺に同じ数を加算、減算、乗算、または除算して、方程式の片側の変数を分離します。変数が分離されると、方程式のもう一方の辺は変数の値になります。^[37]この問題とその解決方法は次のとおりです。

言葉で言うと、子供は4歳です。

1 つの変数を持つ線形方程式の一般的な形式は、次のように記述できます。${\displaystyle ax+b=c}$

同じ手順（両辺からbを引いてaで割る）に従うと、一般解は次のように表される。${\displaystyle x={\frac {cb}{a}}}$

2変数の線形方程式には多くの（つまり無限の数の）解が存在します。^[38]例えば：

言葉の問題: 父親は息子より 22 歳年上です。彼らは何歳ですか?

同等の方程式: yは父親の年齢、x は息子の年齢です。${\displaystyle y=x+22}$

これは、単独では解くことができません。息子の年齢がわかれば、2 つの未知数 (変数) はなくなります。問題は、1 つの変数のみを持つ線形方程式になり、上記のように解くことができます。

2 つの変数 (未知数) を持つ線形方程式を解くには、2 つの関連する方程式が必要です。たとえば、次のことが明らかになったとします。

言葉の問題

10年後には父親は息子の2倍の年齢になるだろう。

同等の方程式

${\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{両辺から 10 を引く}}\\y&=2x+20-10&&{\text{括弧を倍数にする}}\\y&=2x+10&&{\text{簡略化する}}\end{aligned}}}$

ここで、それぞれ2つの未知数を持つ2つの関連する線形方程式があり、一方を他方から減算することで、1つの変数のみを持つ線形方程式を作成することができます（消去法と呼ばれます）。^[39]

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&{\text{最初の式}}\\y=2x+10&{\text{2番目の式}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}}$

つまり、息子は 12 歳で、父親は 22 歳年上なので、34 歳でなければなりません。10 年後には、息子は 22 歳になり、父親は息子の 2 倍の 44 歳になります。この問題は、方程式の関連プロットに示されています。

この種の方程式を解く他の方法については、以下の「線形方程式のシステム」を参照してください。

二次方程式とは、指数が2の項（例えば ）を含む方程式である[ ^40]。この方程式の名前は、ラテン語のquadrus （平方）に由来する。 ^[41]一般に、二次方程式は の形式で表現できる。^[42]ただし、 aは0ではない（もし0であれば、方程式は二次ではなく線形になる）。このため、二次方程式には項 が含まれなければならず、これは二次項と呼ばれる。したがって であり、したがってaで割って方程式を標準形式に変形する ことができる。${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$${\displaystyle ax^{2}}$${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

ここで、およびである。これを平方完成法と呼ばれる方法で解くと、二次方程式の公式が得られる。${\displaystyle p={\frac {b}{a}}}$${\displaystyle q={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

ここで「±」の記号は、

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

二次方程式の解です。

二次方程式は因数分解を使って解くこともできます（因数分解の逆の過程は展開ですが、2 つの線形項の場合はフォイル化と呼ばれることもあります）。因数分解の例として、次のものがあります。

${\displaystyle x^{2}+3x-10=0,}$

これは同じことだ

${\displaystyle (x+5)(x-2)=0.}$

零積の性質から、または のいずれかが解であることがわかります。なぜなら、 の因数のちょうど 1 つが零に等しくなければならないからです。すべての二次方程式は複素数系では 2 つの解を持ちますが、実数系では解を持つ必要はありません。たとえば、 ${\displaystyle x=2}$${\displaystyle x=-5}$

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

実数の二乗が −1 になることはないから、実数解は存在しない。二次方程式には、次のように重複度2 の根を持つものがある。

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

この方程式では、−1は2の累乗根である。これは、方程式を因数分解して書き直すと、−1が2回現れることを意味する。

${\displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}$

すべての二次方程式は、複素数で正確に2つの解を持ちます（ただし、互いに等しい場合もあります）。複素数には、実数、虚数、および実数と虚数の和が含まれます。複素数は、二次方程式と二次方程式の公式を教えるときに初めて登場します。たとえば、二次方程式

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

解決策がある

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}$

は実数ではないので、 xのこれらの解は両方とも複素数です。 ${\displaystyle {\sqrt {-3}}}$

指数方程式は、に対して^[43]の形を持ち、その解は ${\displaystyle a^{x}=b}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$

のとき。解に到達する前に、与えられた方程式を上記のように書き直すために、基本的な代数的手法が用いられる。例えば、 ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

次に、方程式の両辺から1を引いて、両辺を3で割ると、

${\displaystyle 2^{x-1}=3}$

どこから

${\displaystyle x-1=\log _{2}3}$

または

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.}$

対数方程式は、の形の方程式であり、解は ${\displaystyle log_{a}(x)=b}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle X=a^{b}.}$

例えば、

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6}$

そして、方程式の両辺に2を加えて、両辺を4で割ると、

${\displaystyle \log _{5}(x-3)=2}$

どこから

${\displaystyle x-3=5^{2}=25}$

そこから得られる

${\displaystyle x=28.}$

根号方程式は、平方根、立方根、、n乗根、など根号記号を含む方程式です。n乗根は指数形式で書き直すことができるため、 と同等になります。通常の指数（累乗）と組み合わせると、 （xの 3 乗の平方根）は と書き直すことができます。^{[44]したがって、根号方程式の一般的な形式は、} mとnが整数であるとき、（ と同等）です。この方程式には実数解があります。 ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}}$${\displaystyle x^{\frac {3}{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}$${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}=a}$

たとえば、次の場合:

${\displaystyle (x+5)^{2/3}=4}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}}$

そしてこうして

${\displaystyle x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13}$

2 つの変数を持つ線形方程式系を解くにはさまざまな方法があります。

消去法を使用して線形方程式系を解く例を示します。

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

2 番目の式の項を 2 倍します。

${\displaystyle 4x+2y=14}$

${\displaystyle 4x-2y=2.}$

2 つの方程式を足し合わせると次のようになります。

${\displaystyle 8x=16}$

これは次のように単純化される

${\displaystyle x=2.}$

という事実はわかっているので、元の2つの方程式のどちらか（ xの代わりに2を 使用）から、この問題の完全な解は次の ようになります。${\displaystyle x=2}$${\displaystyle y=3}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

これは、この特定のシステムを解決する唯一の方法ではありません。yはxより前に解決できた可能性があります。

同じ線形方程式系を解く別の方法は、置換法です。

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

yに相当するものは、2 つの方程式のいずれかを使用して推測できます。2 番目の方程式を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle 2x-y=1}$

方程式の各辺から次 の式を引きます。${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}$

そして-1を掛けます:

${\displaystyle y=2x-1.}$

元のシステムの最初の方程式で このy値を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}$

方程式の両辺に 2 を加えると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}$

これは次のように単純化される

${\displaystyle x=2}$

この値を方程式の 1 つに使用すると、前の方法と同じ解が得られます。

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

これは、この特定のシステムを解く唯一の方法ではありません。この場合も、y をx の前に解くことができた可能性があります。

上記の例では解が存在します。しかし、解が存在しない連立方程式も存在します。このような連立方程式は矛盾と呼ばれます。わかりやすい例は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

0≠2なので、システムの2番目の方程式には解がありません。したがって、システムには解がありません。ただし、矛盾するシステムはすべて一目でわかるわけではありません。例として、システムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

2番目の式の両辺を2倍にして最初の式に加えると、

${\displaystyle 0x+0y=4\,,}$

明らかに解決策はありません。

唯一の解（つまり、 xとyの値が一意のペア）を持つシステムとは対照的に、無限に多くの解を持つシステムも存在します。例:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}}$

2番目の方程式で yを分離します。

${\displaystyle y=-2x+6}$

そして、この値をシステムの最初の方程式で使用すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}$

等式は真ですが、 xの値は示されません。実際、任意のxに対して、 である限り解が存在することは簡単に確認できます ( xの値をいくつか入力するだけで) 。このシステムには無限の解が存在します。 ${\displaystyle y=-2x+6}$

線形方程式の数よりも多くの変数を持つシステムは、不確定システムと呼ばれます。そのようなシステムは、解が存在する場合、唯一の解ではなく、無限の解を持ちます。そのようなシステムの例は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}}$

これを解こうとすると、解が存在する場合はいくつかの変数を他の変数の関数として表現することになりますが、解が存在する場合でもその数は無限にあるため、 すべての解を数値的に表現することはできません。

変数よりも方程式の数が多いシステムは、過剰決定システムと呼ばれます。過剰決定システムに解がある場合、必然的にいくつかの方程式は他の方程式の 線形結合になります。

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• タルスキの高校代数問題

• レオンハルト・オイラー『 代数学原論』1770年。英訳Tarquin Press、2007年、ISBN 978-1-899618-79-8、オンラインデジタル版も^[45] 2006年、^[46] 1822年。  
• チャールズ・スミス『代数学に関する論文』、コーネル大学図書館歴史数学モノグラフ所蔵。
• レッドデン、ジョン。初等代数学、2016-06-10ウェイバックマシンにアーカイブ。フラットワールドナレッジ、2011

• ウィキメディア・コモンズの初等代数学に関連するメディア